Xreferat.com » Рефераты по математике » Функция многих переменных

Функция многих переменных

. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные.


План.

1. Определение функции многих переменных.

2. Предел функции многих переменных. Непрерывность функции многих переменных.

3. Частные производные.


Обозначим через D некоторое множество точек в п-мерном пространстве.

Если задан закон f , в силу которого каждой точке М(хФункция многих переменных;...;хФункция многих переменных)Функция многих переменных D ставится в соответствие число и, то говорят, что на множестве D определена функция и= f(хФункция многих переменных;...;хФункция многих переменных).

Множество точек М(хФункция многих переменных;...;хФункция многих переменных), для которых функция и= f(хФункция многих переменных;...;хФункция многих переменных) определена, называют областью определения этой функции и обозначают D(f).

Функции многих переменных можно обозначать одним символом и=f(М), указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М.

Функции двух переменных можно изобразить графически в виде некоторой поверхности.

Графиком функции двух переменных z=f(х;у) в прямоугольной системе координат Оху называется геометрическое место точек в трехмерном пространстве, координаты которых (х;у;z) удовлетворяют уравнению z=f(х;у).

Обозначим через Функция многих переменных(М;МФункция многих переменных) расстояние между точками М и МФункция многих переменных. Если п=2, М(х;у), МФункция многих переменныхФункция многих переменныхФункция многих переменных), то

Функция многих переменных(М;МФункция многих переменных)=Функция многих переменных.

В п-мерном пространстве

Функция многих переменных(М;МФункция многих переменных)=Функция многих переменных.

Пусть на множестве D задано функцию и=f(М).

Число А называется пределом функции и=f(М) в точке МФункция многих переменных, если для произвольного числа Функция многих переменных>0 найдётся такое число Функция многих переменных>0, что для всех точек МФункция многих переменных D, которые удовлетворяют условию 0<Функция многих переменных(М;МФункция многих переменных)<Функция многих переменных, выполняется неравенство

Функция многих переменныхФункция многих переменныхФункция многих переменных.

Свойства пределов функций одной переменной сохраняются и для функций многих переменных, то есть если функции f(М) и g(М) имеют в точке МФункция многих переменных конечные пределы, то

1. Функция многих переменных= сФункция многих переменных,

2. Функция многих переменных=Функция многих переменныхФункция многих переменныхФункция многих переменных,

3. Функция многих переменных=Функция многих переменныхФункция многих переменных.

4. Функция многих переменных если Функция многих переменныхФункция многих переменных.

Заметим, что если предел Функция многих переменных существует, то он не должен зависеть от пути, по которому точка М стремится к точке МФункция многих переменных.

Функция и=f(М) называется непрерывной в точке МФункция многих переменных, если

Функция многих переменных= f(МФункция многих переменных).

Функция и=f(М) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке МФункция многих переменныхD.

Точки, в которых непрерывность функции нарушается, называются точками разрыва функция. Точки разрыва могут быть изолированными, создавать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д. Например, функция z=Функция многих переменных имеет разрыв в точке (0;0), а функция z=Функция многих переменных имеет разрыв на параболе Функция многих переменных

3. Множество точек М, которые удовлетворяют неравенству Функция многих переменных(М;МФункция многих переменных)<Функция многих переменных, называют Функция многих переменных-окрестностью точки МФункция многих переменных.

Пусть функция двух переменных z=f(x;у) (для большего количества переменных всё аналогично) определена в некоторой окрестности точки М (x;у). Дадим переменной х приращение Функция многих переменныхтак, чтобы точка (х+Функция многих переменных;у) принадлежала этой окрестности. При этом функция z=f(x;у) изменится на величину

Функция многих переменных,

которая называется частичным приращением функции z=f(x;у) по переменной х.

Аналогично величину

Функция многих переменных

называют частичным приращением функции по переменной у.

Если существует предел

Функция многих переменныхФункция многих переменных,

то его называют частной производной функции z=f(x;у) в точке М (x;у) по переменной х и обозначают такими символами:

Функция многих переменных,Функция многих переменных,Функция многих переменных,Функция многих переменных.

Аналогично

Функция многих переменных= Функция многих переменныхФункция многих переменных.

Из таких определений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что при вычислении частной производной по одной переменной остальные переменные считаются постоянными.

Частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей.

Частные производные от частных производных Функция многих переменных, Функция многих переменных функции z=f(x;у) называются частными производными второго порядка. Функция двух переменных может иметь четыре частные производные второго порядка, которые обозначают так:

Функция многих переменных, Функция многих переменных,

Функция многих переменных, Функция многих переменных.

Производные Функция многих переменных и Функция многих переменных называются смешанными. Можно доказать, что если они непрерывны, то равны между собой.

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и т. д.


Лекция 11. Тема – Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы.


План.

1. Дифференцируемость функции. Полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков.

2. Производная в направлении. Градиент и его свойства.

3. Локальные экстремумы функции высших порядков.


1. Пусть функция z=f(x;у) непрерывна в некоторой окрестности точки М (x;у) вместе со своими частными производными Функция многих переменных(х;у),Функция многих переменных(х;у). Выберем приращение Функция многих переменныхи Функция многих переменныхтак, чтобы точка (х+Функция многих переменных;у+Функция многих переменных) принадлежала рассматриваемой окрестности.

Если полное приращение функции z=f(x;у) в точке М (x;у)

Функция многих переменных= f(x+Функция многих переменных;у+Функция многих переменных)- f(x;у)

можно записать в виде

Функция многих переменных=Функция многих переменных(х;у)Функция многих переменных+ Функция многих переменных(х;у)Функция многих переменных+Функция многих переменных,

где Функция многих переменных- бесконечно малые функции при Функция многих переменныхФункция многих переменных, Функция многих переменныхФункция многих переменных, то функция z=f(x;у) называется дифференцированной в точке М (x;у), а линейная относительно Функция многих переменныхи Функция многих переменных часть её полного приращения Функция многих переменных называется полным дифференциалом функции и обозначается

dz=Функция многих переменныхФункция многих переменных+Функция многих переменныхФункция многих переменных.

Дифференциалами независимых переменных называют приращения этих переменных dх=Функция многих переменных, dу=Функция многих переменных. Поэтому

dz=Функция многих переменных dх +Функция многих переменных dу,

или в других обозначениях

dz=Функция многих переменных dх +Функция многих переменных dу.

Для функции трёх переменных и= f(x;у; z)

dи=Функция многих переменных dх +Функция многих переменных dу+Функция многих переменных dz.

Полный дифференциал функции z=f(x;у)

dz=Функция многих переменных dх +Функция многих переменных dу,

который ещё называют дифференциалом первого порядка, зависит от независимых переменных х, у и от их дифференциалов dх, dу. Заметим, что дифференциалы dх, dу не зависят от х, у.

Дифференциалы второго порядка определяют по формуле

d2 z= d(dz).

Тогда

d2 z= d(Функция многих переменныхdх+Функция многих переменных dу)= Функция многих переменных(Функция многих переменныхdх+Функция многих переменных dу) dх+Функция многих переменных(Функция многих переменныхdх+Функция многих переменных dу) dу=Функция многих переменныхdх2+Функция многих переменных dу dх+

+Функция многих переменных dх dу+Функция многих переменныхdу2,

откуда

d2 z=Функция многих переменныхdх2+2Функция многих переменных dх dу+Функция многих переменныхdу2.

Символически это можно записать так:

d2 z=(Функция многих переменныхdх+Функция многих переменных dу)2 z.

Аналогично можно получить формулу для полного дифференциала п-го порядка:

dп z= d(dп-1 z) =(Функция многих переменныхdх+Функция многих переменных dу)п z.

2. Производная функции z=f(x;у) в направлении вектора Функция многих переменных вычисляется по формуле

Функция многих переменныхФункция многих переменныхФункция многих переменных+Функция многих переменныхФункция многих переменных,

где Функция многих переменных, Функция многих переменных- направляющие косинусы вектора Функция многих переменных:

Функция многих переменных= Функция многих переменных, Функция многих переменных= Функция многих переменных.

Если частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей, то производная в направлении вектора Функция многих переменных

Похожие рефераты: