Функция многих переменных
2. Как известно из алгебры, многочлен Qn(x) степени п может быть разложен на линейные и квадратичные множители
Qn(x) = (х-х)k…(х-хr)k(x2+px+q)l…( x2+p x+q)l,
где , х, p, q - действительные числа; k, I - натуральные числа; k+…+ k+2(I+…+ I)=n, р2- 4 q<0.
Рассмотрим правильную рациональную дробь
знаменатель которой уже разложен на линейные и квадратичные множители. Тогда эту дробь можно разложить на сумму элементарных дробей по таким правилам:
множителю (х-а) k соответствует сумма дробей вида
++…+;
множителю (x2+px+q) I соответствует сумма дробей вида
++…+,
где А, М, N - неопределённые коэффициенты.
Искать эти неопределённые коэффициенты можно исходя из того, что равные многочлены имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х.
Пример. Вычислить интеграл
.
Решение.
+,
х+5=А(х+2)+В(х+1),
А=4, В=-3.
= 4-3= 4ln-3ln+C.
1. Интегралы вида
где R(х, у) – рациональная функция относительно х и у, , сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки
ax+b=t.
2. Интегралы вида
где R – рациональная функция, p, q - целые числа, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки
=t,
где п – общий знаменатель дробей ,,… .
3. Интегралы вида
(6.1)
всегда сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой, универсальной тригонометрической подстановки
, , ,
х=2arctgt, dx=.
Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда приводит к цели, но в силу своей универсальности она часто требует неоправданно громоздких вычислений. Поэтому во многих случаях удобнее пользоваться другими подстановками. Рассмотрим некоторые из них.
Если в интеграле (6.1) R(-sin x, cos x)= - R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку cos x=t.
Если R(sin x,-cos x)= - R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку sin x=t.
Если R(-sin x, -cos x)= R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку
tg x=t, , ,
х=arctgt, dx=.
4. Рассмотрим более детально интегралы вида
,
где т, п – целые числа.
Если т – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку cos x=t.
Если п – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку sin x=t.
Если оба показателя т и п – чётные неотрицательные числа, то надо делать понижение степени синуса и косинуса по формулам
, .
4) Для нахождения интегралов вида
,
удобно пользоваться формулами
5. В интегралах
, , ,
надо подынтегральную функцию записать в виде суммы функций с помощью формул
Лекция 14. Тема – Задача о площади криволинейной трапеции. Определённый интеграл его геометрический смысл и свойства.
Формула Ньютона-Лейбница.
План.
1. Задача о площади криволинейной трапеции. Определение и существование определённого интеграла.
2. Геометрический смысл определённого интеграла. Свойства определённого интеграла.
3. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная линией у= f(x) и прямыми х=а, х=b, у=0. Будем считать, что f(x)на [a;b].
у у= f(x)
0 а х хх b x
Разобьём отрезок [a;b] произвольным образом на п частей точками а=х<x<…< х< х<… <х=b.
На каждом отрезке [х; х] возьмём произвольную точку и вычислим значение f(). Тогда площадь Sзаштрихованного прямоугольника, будет равна
S= f(), где = х- х.
Площадь S всей трапеции приблизительно равна
S.
Пусть . Естественно считать, что
S. (6.2)
К пределам вида (6.2) приводят много других задач, поэтому возникает необходимость всестороннего изучения таких пределов независимо от конкретного содержания той или иной задачи.
Пусть функция у= f(x) определена на отрезке [a;b]. Разобьём этот отрезок на п произвольных частей точками
а=х<x<…< х< х<… <х=b.
На каждом из созданных отрезков [х; х] возьмём произвольную точку и составим сумму
, где = х- х,
которую будем называть интегральной суммой функции f(x).
Обозначим . Если существует конечный предел интегральной суммы , при , который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b], ни от выбора точек, то этот предел называется определённым интегралом функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается символом, где функция f(x) называется интегрированной на отрезке [a;b].
То есть, по определению,
=.
Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования.
Относительно существования определённого интеграла имеет место такая теорема
Теорема 6.3. Если функция f(x) ограничена на отрезке [a;b] и непрерывна на нём везде, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.
2. Если f(x), то равен площади соответствующей криволинейной трапеции: =S. Если f(x)<0, то = -S.
Отсюда следует, что если на симметричном относительно начала координат отрезке [-a;а], а>0 задана нечётная функция, то=0. Например, Если функция f(x) чётная, то =2.
Свойства определённого интеграла
Будем считать, что все интегралы, которые рассматриваются, существуют.
1.