Xreferat.com » Рефераты по математике » Функция многих переменных

Функция многих переменных

alt="Функция многих переменных" width="115" height="43" align="BOTTOM" border="0" />-Функция многих переменных.

2. Как известно из алгебры, многочлен Qn(x) степени п может быть разложен на линейные и квадратичные множители

Qn(x) = Функция многих переменных(х-хФункция многих переменных)kФункция многих переменных…(х-хr)kФункция многих переменных(x2+pФункция многих переменныхx+qФункция многих переменных)lФункция многих переменных…( x2+pФункция многих переменных x+qФункция многих переменных)lФункция многих переменных,

где Функция многих переменных, хФункция многих переменных, pФункция многих переменных, qФункция многих переменных - действительные числа; kФункция многих переменных, IФункция многих переменных - натуральные числа; kФункция многих переменных+…+ kФункция многих переменных+2(IФункция многих переменных+…+ IФункция многих переменных)=n, рФункция многих переменных2- 4 qФункция многих переменных<0.

Рассмотрим правильную рациональную дробь

Функция многих переменных

знаменатель которой уже разложен на линейные и квадратичные множители. Тогда эту дробь можно разложить на сумму элементарных дробей по таким правилам:

множителю (х-а) k соответствует сумма дробей вида

Функция многих переменных+Функция многих переменных+…+Функция многих переменных;

множителю (x2+px+q) I соответствует сумма дробей вида

Функция многих переменных+Функция многих переменных+…+Функция многих переменных,

где АФункция многих переменных, МФункция многих переменных, NФункция многих переменных - неопределённые коэффициенты.

Искать эти неопределённые коэффициенты можно исходя из того, что равные многочлены имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х.

Пример. Вычислить интеграл

Функция многих переменных.

Решение.

Функция многих переменныхФункция многих переменныхФункция многих переменных+Функция многих переменных,

х+5=А(х+2)+В(х+1),

Функция многих переменных А=4, В=-3.

Функция многих переменных= 4Функция многих переменных-3Функция многих переменных= 4lnФункция многих переменных-3lnФункция многих переменных+C.

1. Интегралы вида

Функция многих переменных

где R(х, у) – рациональная функция относительно х и у, Функция многих переменных, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки

ax+b=tФункция многих переменных.

2. Интегралы вида

Функция многих переменных

где R – рациональная функция, pФункция многих переменных, qФункция многих переменных - целые числа, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки

Функция многих переменных=tФункция многих переменных,

где п – общий знаменатель дробей Функция многих переменных,Функция многих переменных,… .

3. Интегралы вида

Функция многих переменных (6.1)

всегда сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой, универсальной тригонометрической подстановки

Функция многих переменных, Функция многих переменных, Функция многих переменных,

х=2arctgt, dx=Функция многих переменных.

Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда приводит к цели, но в силу своей универсальности она часто требует неоправданно громоздких вычислений. Поэтому во многих случаях удобнее пользоваться другими подстановками. Рассмотрим некоторые из них.

Если в интеграле (6.1) R(-sin x, cos x)= - R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку cos x=t.

Если R(sin x,-cos x)= - R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку sin x=t.

Если R(-sin x, -cos x)= R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку

tg x=t, Функция многих переменных, Функция многих переменных,

х=arctgt, dx=Функция многих переменных.

4. Рассмотрим более детально интегралы вида

Функция многих переменных,

где т, п – целые числа.

Если т – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку cos x=t.

Если п – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку sin x=t.

Если оба показателя т и п – чётные неотрицательные числа, то надо делать понижение степени синуса и косинуса по формулам

Функция многих переменных, Функция многих переменных.

4) Для нахождения интегралов вида

Функция многих переменных, Функция многих переменных

удобно пользоваться формулами

Функция многих переменных Функция многих переменных


5. В интегралах

Функция многих переменных, Функция многих переменных, Функция многих переменных, Функция многих переменных

надо подынтегральную функцию записать в виде суммы функций с помощью формул

Функция многих переменных

Функция многих переменных

Функция многих переменных

Лекция 14. Тема – Задача о площади криволинейной трапеции. Определённый интеграл его геометрический смысл и свойства.

Формула Ньютона-Лейбница.


План.

1. Задача о площади криволинейной трапеции. Определение и существование определённого интеграла.

2. Геометрический смысл определённого интеграла. Свойства определённого интеграла.

3. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.


Функция многих переменных1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная линией у= f(x) и прямыми х=а, х=b, у=0. Будем считать, что f(x)Функция многих переменныхна [a;b].

Функция многих переменныхФункция многих переменныхФункция многих переменныхФункция многих переменныхФункция многих переменныхФункция многих переменных у у= f(x)


Функция многих переменныхФункция многих переменных


0 а хФункция многих переменных хФункция многих переменныхФункция многих переменныххФункция многих переменных b x

Разобьём отрезок [a;b] произвольным образом на п частей точками а=хФункция многих переменных<xФункция многих переменных<…< хФункция многих переменных< хФункция многих переменных<… <хФункция многих переменных=b.

На каждом отрезке [хФункция многих переменных; хФункция многих переменных] возьмём произвольную точку Функция многих переменных и вычислим значение f(Функция многих переменных). Тогда площадь SФункция многих переменныхзаштрихованного прямоугольника, будет равна

SФункция многих переменных= f(Функция многих переменных)Функция многих переменных, где Функция многих переменных= хФункция многих переменных- хФункция многих переменных.

Площадь S всей трапеции приблизительно равна

SФункция многих переменныхФункция многих переменных.

Пусть Функция многих переменных. Естественно считать, что

SФункция многих переменных. (6.2)

К пределам вида (6.2) приводят много других задач, поэтому возникает необходимость всестороннего изучения таких пределов независимо от конкретного содержания той или иной задачи.

Пусть функция у= f(x) определена на отрезке [a;b]. Разобьём этот отрезок на п произвольных частей точками

а=хФункция многих переменных<xФункция многих переменных<…< хФункция многих переменных< хФункция многих переменных<… <хФункция многих переменных=b.


На каждом из созданных отрезков [хФункция многих переменных; хФункция многих переменных] возьмём произвольную точку Функция многих переменных и составим сумму

Функция многих переменных, где Функция многих переменных= хФункция многих переменных- хФункция многих переменных,

которую будем называть интегральной суммой функции f(x).

Обозначим Функция многих переменных. Если существует конечный предел интегральной суммы Функция многих переменных, при Функция многих переменных, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b], ни от выбора точекФункция многих переменных, то этот предел называется определённым интегралом функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается символомФункция многих переменных, где функция f(x) называется интегрированной на отрезке [a;b].

То есть, по определению,

Функция многих переменных=Функция многих переменных.

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования.

Относительно существования определённого интеграла имеет место такая теорема

Теорема 6.3. Если функция f(x) ограничена на отрезке [a;b] и непрерывна на нём везде, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.

2. Если f(x)Функция многих переменных, то Функция многих переменных равен площади соответствующей криволинейной трапеции: Функция многих переменных=S. Если f(x)<0, то Функция многих переменных= -S.

Отсюда следует, что если на симметричном относительно начала координат отрезке [-a;а], а>0 задана нечётная функция, тоФункция многих переменных=0. Например, Функция многих переменныхЕсли функция f(x) чётная, то Функция многих переменных=2Функция многих переменных.

Свойства определённого интеграла

Будем считать, что все интегралы, которые рассматриваются, существуют.

1. Функция
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: