Функция многих переменных

С=-2

Функция , где С – произвольная постоянная, называется общим решением уравнения (7.1) в области D, если:

функция является решением уравнения (7.1) для всех значений переменной С из некоторого множества;

для произвольной точки () существует единственное значение С=С0, при котором функция удовлетворяет начальному условию

Решение , полученное из общего решения при С=С0, называется частным решением уравнения (7.1).

С геометрической точки зрения решение определяет некоторое бесконечное множество кривых, которые называются интегральными кривыми данного уравнения. Частное решение определяет только одну интегральную кривую, которая проходит через точку с координатами ().

Если общее решение уравнения (7.1) найдено в неявном виде Ф(х,у,С)=0, то такое решение называют общим интегралом дифференциального уравнения; равенство Ф(х,у,С0)=0 называют частным интегралом дифференциального уравнения.

Значит, для уравнения (7.1) можно поставить две задачи:

найти общее решение уравнения (7.1);

найти частное решение уравнения (7.1), которое удовлетворяет начальному условию .

Вторая задача называется задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения І порядка.

Пример 7.3. Решить задачу Коши

, у(0)=2.

Решение. Сначала ищем общее решение дифференциального уравнения: у=Сех.

Из начального условия имеем: 2= Се0 .

Решением задачи Коши является такая функция: у=2ех.

Если уравнение (7.1) можно решить относительно у’, то его записывают в виде

и называют уравнением первого порядка, решенным относительно производной, или уравнением в нормальной форме.

Теорема 7.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если функция непрерывна в некоторой области D, которая содержит точку М(), то задача Коши

,

имеет решение. Если, кроме этого, в точке М непрерывна частная производная , то это решение единственное.

Процесс нахождения решений дифференциальных уравнений называется интегрированием этих уравнений. Если этот процесс сводится к алгебраическим операциям и вычислению конечного числа интегралов и производных, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. Однако класс таких уравнений очень ограничен. Поэтому для решения дифференциальных уравнений широко применяют разные приближённые методы интегрирования дифференциальных уравнений с использованием вычислительной техники.

Рассмотрим некоторые типы уравнений, интегрируемых в квадратурах.

2. Дифференциальное уравнение вида

называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными.

Чтобы найти его общее решение, достаточно проинтегрировать обе его части.

.

Дифференциальное уравнение вида

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Чтобы найти его общее решение, надо сначала отделить переменные

а затем проинтегрировать

Пример 7.4. Найти общее решение уравнения

Решение. Сначала отделим переменные

,

а затем проинтегрируем

, , у=Сlnx.

3. Функция называется однородной функцией п-го измерения относительно переменных х и у, если для произвольного числа выполняется тождество

Пример 7.5.

1) =,

- однородная функция третьего измерения.

2) =- однородная функция нулевого измерения.

Уравнение y’=называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функция является однородной функцией нулевого измерения, то есть, если

(7.2)

Очевидно, уравнение вида

будет однородным тогда и только тогда, когда функции Р(х,у) и Q(х,у), будут однородными функциями одного и того же измерения. Например, уравнение

однородное. Считая, в соотношении (7.2) , получим

Поэтому можно дать ещё одно определение однородного уравнения: однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

(7.3)

Применим в уравнении (7.3) подстановку

, ,

Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными

,

которое всегда интегрируется в квадратурах:

,

.

После интегрирования надо сделать обратную замену, то есть вместо и нужно подставить

Вывод. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка всегда сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой ,.

Пример 7.6. Найти общее решение уравнения

Решение. Применим подстановку ,. Тогда получим

,

, ,

, , .

Пример 7.7. Решить задачу Коши

, у(1)=2.

Решение. Поскольку обе функции

однородные измерения два, то данное уравнение однородное. Запишем его в виде

и применим подстановку ,. Тогда получим

,

, , .

Из начального условия найдём постоянную интегрирования:

Подставив найденное значение С в общее решение, получим решение задачи Коши:

Лекция 16. Тема – Уравнения Бернулли. Комплексные числа. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

План.

1.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.

2. Комплексные числа.

3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

(7.4)

где - известные функции переменной х.

Термин «линейное уравнение» поясняется тем, что неизвестная функция у и её производная у’ входят в уравнение в первой степени, то есть линейно.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка всегда интегрируемо в квадратурах, поскольку его можно всегда свести к двум уравнениям с разделяющимися переменными таким образом (методом Бернулли).

Будем искать решение уравнения (7.4) в виде произведения

(7.5)

где - неизвестные функции х. Находя производную

и подставляя значение у и у’ в уравнение (7.5), получим

(7.6)

Выберем функцию так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю. Для этого надо решить уравнение с разделяющимися переменными.

Решая его, находим

. (7.7)

Постоянную интегрирования в выражении (7.7) не пишем, поскольку нам достаточно найти только какую-нибудь одну функцию , которая преобразовывает в ноль выражение в скобках в уравнении (7.6).

Подставляя (7.7) в (7.6), получим

(7.8)

Подставляя (7.7) и (7.8) в (7.5), найдём общее решение уравнения (7.4):

(7.9)

Замечание. На практике помнить формулу (7.9) не обязательно: достаточно лишь помнить, что линейные дифференциальные уравнения первого порядка, а также уравнения Бернулли, решаются методом Бернулли с помощью подстановки .

Уравнением Бернулли называется уравнение