Xreferat.com » Рефераты по математике » Функция многих переменных

Функция многих переменных

вида

Функция многих переменных

где Функция многих переменных- известные функции х, Функция многих переменных.

2. Комплексным числом называется выражение

Функция многих переменных, (7.10)

где х, у – действительные числа, а символ i – мнимая единица, которая определяется условием Функция многих переменных. При этом число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Функция многих переменных, а у – мнимой частью z и обозначается Функция многих переменных(от французских слов: reel – действительный, imaginare – мнимый). Выражение (7.10) называется алгебраической формой комплексного числа.

Два комплексных числа Функция многих переменныхи Функция многих переменных, которые отличаются только знаком мнимой части, называются сопряжёнными.

Два комплексных числа Функция многих переменныхи Функция многих переменныхсчитаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:

Функция многих переменных Функция многих переменных

Комплексные числа можно изображать на плоскости. Так число (7.10) изображается в прямоугольной системе координат точкой М(х;у). Такая плоскость называется комплексной плоскостью переменной z, ось Ох называется действительной, у

а ось Оу – мнимой.

При у=0 комплексное число Функция многих переменныхявляется одновременно

у Функция многих переменных М(х;у)

действительным числом. Поэтому действительные числа являются Функция многих переменныхФункция многих переменных

отдельным случаем комплексных, они изображаются на оси Ох. Функция многих переменных

Функция многих переменныхКомплексные числа Функция многих переменных, в которых х=0, называются чисто Функция многих переменных Функция многих переменных

мнимыми; такие числа изображаются на оси Оу.

0 х х

Полярные координаты точки М(х;у) на комплексной плоскости называются модулем и аргументом комплексного числа и обозначаются

Функция многих переменных

Поскольку Функция многих переменных, то по формуле (7.10) имеем

Функция многих переменных.

Это выражение называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Модуль комплексного числа определяется однозначно, а аргумент – с точностью до 2Функция многих переменных:

Функция многих переменных.

Здесь Функция многих переменных- общее значение аргумента, а Функция многих переменных- главное значение аргумента, которое находится на промежутке [0;Функция многих переменных и отсчитывается от оси Ох против часовой стрелки.

Если Функция многих переменных, то считают, что Функция многих переменныха Функция многих переменных- неопределён.

Арифметические действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме, выполняются по обычным правилам действий над двучленами с учётом того, что Функция многих переменных. Так, если

Функция многих переменных, Функция многих переменных, то

1) Функция многих переменных

2) Функция многих переменных

3) Функция многих переменных

4) Функция многих переменных.

Рассмотрим действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Пусть

Функция многих переменных, Функция многих переменных.

Тогда

Функция многих переменных=Функция многих переменных

Функция многих переменных

Значит, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на произвольное конечное число множителей. В частности,

Функция многих переменных.

Последняя формула называется формулой Муавра.

При делении комплексных чисел имеем

Функция многих переменных.

Рассмотрим извлечение корня из комплексного числа. Если для данного комплексного числа Функция многих переменных надо найти корень п-й степени Функция многих переменных, то по определению корня и формуле Муавра имеем

Функция многих переменныхФункция многих переменныхФункция многих переменных.

Отсюда

Функция многих переменных, Функция многих переменных .

Поскольку r и Функция многих переменных положительные, то Функция многих переменных, где под корнем понимают его арифметическое значение. Поэтому

Функция многих переменных.

Давая k значения 0,1,2,…, п -1, получим п разных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от найденных на число, кратное 2Функция многих переменных, поэтому значения корня будут совпадать с уже найденными.

Известно, что показательную функцию с мнимым показателем можно выразить через тригонометрические функции по формуле Эйлера Функция многих переменных. Отсюда следует, что всякое комплексное число можно записать в форме Функция многих переменных, которая называется показательной формой комплексного числа z.

3. Уравнение вида

Функция многих переменных (7.11)

где р, q – постоянные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения сначала надо составить характеристическое уравнение

Функция многих переменных (7.12)

В зависимости от корней Функция многих переменных уравнения (7.12) общее решение уравнения (7.11) приобретает один из таких видов:

1) Функция многих переменных, если Функция многих переменныхдействительные и Функция многих переменных;

2) Функция многих переменных, если Функция многих переменныхдействительные и Функция многих переменных;

3) Функция многих переменных, если Функция многих переменных, Функция многих переменных (Функция многих переменных).

Пример 7.8. Решить уравнение

Функция многих переменных (7.13)

Решение. Сначала составим и решим соответствующее характеристическое уравнение:

Функция многих переменных D = 32- 4*5= -11, Функция многих переменных

Характеристическое уравнение имеет два сопряжённых корня:

Функция многих переменных.

Поэтому общее решение уравнения (7.13) будет таким:

Функция многих переменных.

Лекция 17. Тема – Ряды. Числовые ряды. Признаки сходимости. Степенные ряды.


План.

1. Основные понятия. Необходимое условие сходимости ряда.

2. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Признак Лейбница.

3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена.


1. Пусть задана последовательность чисел:

Функция многих переменных

Выражение

Функция многих переменных

называется числовым рядом; числа Функция многих переменных называются членами ряда; число Функция многих переменныхназывается общим членом ряда.

Сумма п первых членов ряда

Функция многих переменных

называется п-ой частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел

Функция многих переменных,

то число S называют суммой ряда Функция многих переменных, а сам ряд называют сходящимся. Если же предел Функция многих переменныхне существует или равен бесконечности, то говорят, что ряд расходящийся.

Рассмотрим ряд

Функция многих переменных.

Это сумма геометрической прогрессии, q – знаменатель прогрессии. Если Функция многих переменных, прогрессия называется убывающей. Сумму Функция многих переменныхпервых п членов этой прогрессии находят по формуле

Функция многих переменных.Функция многих переменных (8.1)

Если Функция многих переменных, то Функция многих переменныхи Функция многих переменных. Значит, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия всегда сходится. Если Функция многих переменных, то Функция многих переменных и прогрессия расходится.

Если числовой ряд сходится, то разность Функция многих переменных между его суммой S и частичной суммой Функция многих переменных называется п-м остатком ряда, то есть

Функция многих переменных= S-Функция многих переменных.

Остаток ряда Функция многих переменных является той погрешностью, которая получится, если вместо S взять Функция многих переменных. Поскольку Функция многих переменных, то, взяв достаточно много первых членов сходящегося ряда, можно сумму этого ряда вычислить с любой точностью.

Отсюда становится понятным, что основной задачей теории рядов является исследование сходимости ряда. Задача нахождения суммы сходящегося ряда имеет второстепенное значений, поскольку после установления сходимости ряда его сумма может быть легко найдена.

Свойства рядов

Если ряды Функция многих переменныхи Функция многих переменныхсходятся и их суммы U и V, то ряд Функция многих переменныхтакже сходится и его сумма равна U Функция многих переменных V.

Если ряд Функция многих переменныхсходится и его сумма равна S, то ряд Функция многих переменных, где А=const, также сходится и его сумма равна АS.

Конечное количество членов ряда на его сходимость не влияет.

Теорема 8.1. (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд Функция многих переменныхсходящийся, то предел его общего члена равен нулю

Функция многих переменных.

Доказательство.

Функция многих переменных.

Отсюда Функция многих переменных. Если ряд

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: