Функция многих переменных
где - известные функции х, .
2. Комплексным числом называется выражение
, (7.10)
где х, у – действительные числа, а символ i – мнимая единица, которая определяется условием . При этом число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается , а у – мнимой частью z и обозначается (от французских слов: reel – действительный, imaginare – мнимый). Выражение (7.10) называется алгебраической формой комплексного числа.
Два комплексных числа и , которые отличаются только знаком мнимой части, называются сопряжёнными.
Два комплексных числа и считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:
Комплексные числа можно изображать на плоскости. Так число (7.10) изображается в прямоугольной системе координат точкой М(х;у). Такая плоскость называется комплексной плоскостью переменной z, ось Ох называется действительной, у
а ось Оу – мнимой.
При у=0 комплексное число является одновременно
у М(х;у)
действительным числом. Поэтому действительные числа являются
отдельным случаем комплексных, они изображаются на оси Ох.
Комплексные числа , в которых х=0, называются чисто
мнимыми; такие числа изображаются на оси Оу.
0 х х
Полярные координаты точки М(х;у) на комплексной плоскости называются модулем и аргументом комплексного числа и обозначаются
Поскольку , то по формуле (7.10) имеем
.
Это выражение называется тригонометрической формой комплексного числа z.
Модуль комплексного числа определяется однозначно, а аргумент – с точностью до 2:
.
Здесь - общее значение аргумента, а - главное значение аргумента, которое находится на промежутке [0; и отсчитывается от оси Ох против часовой стрелки.
Если , то считают, что а - неопределён.
Арифметические действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме, выполняются по обычным правилам действий над двучленами с учётом того, что . Так, если
, , то
1)
2)
3)
4) .
Рассмотрим действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Пусть
, .
Тогда
=
Значит, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на произвольное конечное число множителей. В частности,
.
Последняя формула называется формулой Муавра.
При делении комплексных чисел имеем
.
Рассмотрим извлечение корня из комплексного числа. Если для данного комплексного числа надо найти корень п-й степени , то по определению корня и формуле Муавра имеем
.
Отсюда
, .
Поскольку r и положительные, то , где под корнем понимают его арифметическое значение. Поэтому
.
Давая k значения 0,1,2,…, п -1, получим п разных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от найденных на число, кратное 2, поэтому значения корня будут совпадать с уже найденными.
Известно, что показательную функцию с мнимым показателем можно выразить через тригонометрические функции по формуле Эйлера . Отсюда следует, что всякое комплексное число можно записать в форме , которая называется показательной формой комплексного числа z.
3. Уравнение вида
(7.11)
где р, q – постоянные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения сначала надо составить характеристическое уравнение
(7.12)
В зависимости от корней уравнения (7.12) общее решение уравнения (7.11) приобретает один из таких видов:
1) , если действительные и ;
2) , если действительные и ;
3) , если , ().
Пример 7.8. Решить уравнение
(7.13)
Решение. Сначала составим и решим соответствующее характеристическое уравнение:
D = 32- 4*5= -11,
Характеристическое уравнение имеет два сопряжённых корня:
.
Поэтому общее решение уравнения (7.13) будет таким:
.
Лекция 17. Тема – Ряды. Числовые ряды. Признаки сходимости. Степенные ряды.
План.
1. Основные понятия. Необходимое условие сходимости ряда.
2. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Признак Лейбница.
3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена.
1. Пусть задана последовательность чисел:
Выражение
называется числовым рядом; числа называются членами ряда; число называется общим членом ряда.
Сумма п первых членов ряда
называется п-ой частичной суммой ряда.
Если существует конечный предел
,
то число S называют суммой ряда , а сам ряд называют сходящимся. Если же предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что ряд расходящийся.
Рассмотрим ряд
.
Это сумма геометрической прогрессии, q – знаменатель прогрессии. Если , прогрессия называется убывающей. Сумму первых п членов этой прогрессии находят по формуле
. (8.1)
Если , то и . Значит, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия всегда сходится. Если , то и прогрессия расходится.
Если числовой ряд сходится, то разность между его суммой S и частичной суммой называется п-м остатком ряда, то есть
= S-.
Остаток ряда является той погрешностью, которая получится, если вместо S взять . Поскольку , то, взяв достаточно много первых членов сходящегося ряда, можно сумму этого ряда вычислить с любой точностью.
Отсюда становится понятным, что основной задачей теории рядов является исследование сходимости ряда. Задача нахождения суммы сходящегося ряда имеет второстепенное значений, поскольку после установления сходимости ряда его сумма может быть легко найдена.
Свойства рядов
Если ряды и сходятся и их суммы U и V, то ряд также сходится и его сумма равна U V.
Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд , где А=const, также сходится и его сумма равна АS.
Конечное количество членов ряда на его сходимость не влияет.
Теорема 8.1. (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд сходящийся, то предел его общего члена равен нулю
.
Доказательство.
.
Отсюда . Если ряд