Xreferat.com » Рефераты по математике » Функция многих переменных

Функция многих переменных

сходящийся, то Функция многих переменныхи Функция многих переменных. Поэтому Функция многих переменныхФункция многих переменных-Функция многих переменных- S=0.

Следствие. Если Функция многих переменных, то ряд Функция многих переменныхрасходящийся.

Замечание. Условие Функция многих переменныхявляется необходимым условием сходимости ряда, но не достаточным, то есть выполнение этого условия не гарантирует сходимости ряда.

Пример 8.1. Рассмотрим ряд Функция многих переменных.

Хотя необходимое условие сходимости ряда выполняется,

Функция многих переменных,

но Функция многих переменных, Функция многих переменныхФункция многих переменныхФункция многих переменных и ряд является расходящимся, несмотря на то, предел его общего члена равен нулю.

2. Первый признак сравнения. Пусть члены рядов Функция многих переменныхи Функция многих переменныхудовлетворяют условию

Функция многих переменных п=1,2,3,… .

Тогда, если рядФункция многих переменныхсходящийся, то сходящийся и ряд Функция многих переменных, а если ряд Функция многих переменныхрасходящийся, то расходящийся и ряд Функция многих переменных.

Второй признак сравнения. Пусть члены рядов Функция многих переменныхи Функция многих переменныхположительны, причём существует конечный предел

Функция многих переменных.

Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Сравнивать ряди удобно с рядами Функция многих переменныхи Функция многих переменных, сходимость которых известна.

Ряд Функция многих переменных является суммой бесконечной геометрической прогрессии. Он сходится при Функция многих переменных(когда прогрессия убывающая) и расходится приФункция многих переменных.

Ряд Функция многих переменныхназывается обобщенным гармоническим рядом. Он сходится при Функция многих переменных и расходится при Функция многих переменных.

Признак Даламбера. Если для членов ряда Функция многих переменныхс положительными членами Функция многих переменныхсуществует предел

Функция многих переменных,

то ряд будет сходящимся при Функция многих переменныхи расходящимся при Функция многих переменных.

Радиальный признак Коши. Если для членов ряда Функция многих переменныхс положительными членами Функция многих переменныхсуществует предел

Функция многих переменных,

то ряд будет сходящимся при Функция многих переменныхи расходящимся при Функция многих переменных.

Интегральный признак Коши. Если Функция многих переменных, где Функция многих переменных- положительная невозрастающая непрерывная функция, то ряд Функция многих переменныхи интеграл Функция многих переменных сходятся или расходятся одновременно.

Применим интегральный признак Коши для исследования обобщенного гармонического рядаФункция многих переменных.

1. Функция многих переменных, Функция многих переменных - гармонический ряд.

Функция многих переменных=Функция многих переменных, Функция многих переменных=Функция многих переменных=Функция многих переменных- расходится.

2. Функция многих переменных, Функция многих переменных=Функция многих переменных, Функция многих переменных

Значит, ряд Функция многих переменных сходится при Функция многих переменных и расходится при Функция многих переменных.

Знакочередующимися называют ряды, в которых знаки членов строго чередуются

Функция многих переменных, где Функция многих переменных. (8.2)

Признак Лейбница. Если для членов ряда (8.2) выполняется два условия:

1) Функция многих переменных.

2) Функция многих переменных,

то этот ряд сходится, его сумма положительна и не превышает Функция многих переменных.

Следствие. Если сумму S сходящегося ряда (8.2) заменить суммой SФункция многих переменных его п первых членов, то допущенная при этом погрешность не превышает абсолютной величины первого из отброшенных членов, то есть

Функция многих переменных.

Это следствие широко используется при приближённых вычислениях.

Знакопеременными называются ряды, у которых члены имеют разные знаки.

Знакопеременный ряд Функция многих переменныхназывается абсолютно сходящимся, если сходится ряд Функция многих переменных, составленный из абсолютных величин его членов.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходящийся, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходящийся.

Теорема 8.2. Любой абсолютно сходящийся ряд сходится.

Для чего надо различать абсолютную и условную сходимость? Как ответ на этот сформулируем две теоремы.

Теорема 8.3. Абсолютно сходящийся ряд остаётся абсолютно сходящимся при произвольной перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

Теорема 8.4. Члены условно сходящегося ряда всегда можно переставить так, чтобы его сумма равнялась наперёд заданному числу. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что новый ряд будет расходящимся.

Интересные свойства условно сходящихся рядов показывает такой пример.

Пример 8.2. Пусть 1-Функция многих переменных.

Запишем ряд иначе:

Функция многих переменных=

=Функция многих переменных(1-Функция многих переменных,

Функция многих переменных Функция многих переменных 2=1?

Значит, переставляя члены условно сходящегося ряда, получили неверный результат.

3. Ряд Функция многих переменных, членами которого является функцией от х, называется функциональным рядом. Давая переменной х конкретные числовые значения, получим разные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.

Множество всех значений х, для которых ряд Функция многих переменныхсходящийся, называется областью сходимости этого ряда.

Функциональный ряд вида Функция многих переменных (8.3)

где Функция многих переменных- числа, называется степенным рядом.

Переобозначив Функция многих переменныхна х, ряд (8.3)всегда можно свести к виду Функция многих переменных (8.4)

Для простоты будем изучать ряды вида (8.4). Ряд (8.4) всегда сходится, по крайней мере, в точке х=0.

Теорема Абеля.(1802-1829). Если ряд (8.4) сходящийся при Функция многих переменных, то он абсолютно сходящийся для всех значений х, что удовлетворяют неравенству Функция многих переменных, то есть в интервале Функция многих переменных. Если при Функция многих переменных ряд (8.4) расходящийся, то он расходящийся для всех значений х, что удовлетворяют неравенству Функция многих переменных.

Из теоремы Абеля следует, что если ряд (8.4) сходится хотя бы в одной точке Функция многих переменных, то существует такое число R>0, что при Функция многих переменныхряд сходится абсолютно, а при Функция многих переменных расходится. Это число R называют радиусом сходимости степенного ряда, а интервал Функция многих переменных- его интервалом сходимости.

Радиус сходимости ряда (8.5) можно найти по формулам

Функция многих переменных или Функция многих переменных. (8.5)

Вывод. Чтобы найти область сходимости ряда (8.5) надо:

найти интервал сходимостиФункция многих переменныхряда, применяя к ряду Функция многих переменных признаки Даламбера и Коши, или пользуясь формулами (8.5);

исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости, то есть в точках Функция многих переменных.

В середине интервала сходимости степенные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать, причём полученные при этом ряды будут иметь тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Если функция f(х) в интервале Функция многих переменныхимеет производные всех порядков и существует такое число М>0, чтоФункция многих переменных, Функция многих переменныхФункция многих переменных, п=0, 1, 2,…, где Функция многих переменных, то функцию f(х) можно разложить в ряд Тейлора

Функция многих переменных.

При Функция многих переменныхряд Тейлора имеет вид

Функция многих переменных

и называется рядом Маклорена.

Приведём примеры рядов Маклорена некоторых элементарных функций.

Функция многих переменных Функция многих переменныхФункция многих переменных;

Функция многих переменных Функция многих переменных Функция многих переменныхФункция многих переменных;

Функция многих переменных Функция многих переменных Функция многих переменныхФункция многих переменных;

Функция многих переменных Функция многих переменныхФункция многих переменных;

Функция многих переменных= Функция многих переменных Функция многих переменныхФункция многих переменных

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: