Xreferat.com » Рефераты по математике » Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Карпова Ирина Викторовна, старший преподаватель кафедры алгебры ХГПУ

1. Алгебраическим выражением называется выражение, составленное из конечного числа букв и чисел, соединенных знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечение корня.

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Все алгебраические выражения (А.В) по действиям, которые производятся над буквами можно классифицировать следующим образом:

Буквы, входящие в А.В могут принимать значения из некоторого числового множества, которое называется множеством допустимых значений или областью определения А.В.

Так, в рассмотренных выше примерах 1) и 2) значениями букв, входящих в А.В могут быть любые числа. В общем случае область определения (О.О.) целых алгебраических выражений может быть любым числовым множеством.

Так как делить на выражение равное нулю нельзя, то с и b в пр.3) могут принимать любые числовые значения, кроме с=0 и b=0, таким образом О.О. А.В из пр.3) с¹0, b¹0. На этом же основании О.О. А.В из пр.4) x+y¹0 или х¹y.

В общем случае О.О. дробно-рационального А.В не включает те значения, входящих в выражение букв, при которых знаменатель дробей в выражении обращается в нуль.

Область определения А.В из пр.5) а¹b, b¹0 и а>0 т.к. выражение стоящее под знаком корня четной степени должно быть, по определению арифметического корня, неотрицательным.

О.О. А.В из пр.6) х+1³0 или х³-1.

В общем случае О.О. иррационального выражения включает только те значения букв, при которых выражения, стоящие под знаком корня четной степени принимают неотрицательные значения.

Тождеством называется равенство двух А.В справедливое для любых допустимых значений, входящих в него букв.

Равенство (a+b)2=a2+2ab+b2 справедливое для любых a и b есть тождество.

Равенство Тождественные преобразования алгебраических выражений является тождеством только для а¹1.

Тождественным преобразованием А.В называется замена одного А.В другим тождественно ему равным, но отличным по форме.

a3+3a2b=a2(a+3b)

Тождественные преобразования алгебраических выражений при с¹0.

Целью тождественных преобразований (Т.П) может быть приведение выражению вида, более удобного для численных расчетов или дальнейших преобразований.

К Т.П относятся:

приведение подобных членов

раскрытие скобок

разложение на множители

приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

избавление от иррациональности в знаменателе и т.п.

2. Рассмотрим тождественные преобразования А.В.

Для успешного осуществления Т.П. целых А.В нужно помнить:

Формулы сокращенного умножения

(a ± b)2 = a2 + 2ab + b2

a3 ± b3 = (a ± b)( a2Тождественные преобразования алгебраических выраженийab+b2)

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

Свойства степени с целыми показателями

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Формулы корней квадратного трехчлена ax2 + bx + c

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Теорему Виета х1 и х2 — корни ax2 + bx + c в том и только том случае, если

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Разложение квадратного трехчлена ax2 + bx + c на множители.

Если х1, х2 — корни трехчлена, то ax2 + bx + c = а(х–х1)(х–х2)

Рассмотрим несколько примеров тождественных преобразований целых А.В.

Пример 1. Разложить многочлен на множители Тождественные преобразования алгебраических выражений

Решение:

Задача заключается в том, чтобы сгруппировать слагаемые так, чтобы они имели общий множитель, который можно будет затем вынести за скобки, прейдя от суммы к произведению.

Итак.

Объединим крайние слагаемые в одну группу, а средние в другую: Тождественные преобразования алгебраических выражений

2) Вынесем за скобки во второй группе общий множитель 2ab, получим: Тождественные преобразования алгебраических выражений

3) Вынесем за скобки общий множитель первого и второго слагаемого (a2 + b2):

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Полученное выражение есть произведение двух сомножителей, а значит многочлен f(a,b) разложили на множители.

Ответ: Тождественные преобразования алгебраических выражений

Пример 2. Разложить на множители f(a)= a3 – 7а2 + 7а +15

Решение:

Как бы мы не группировали слагаемые мы не получим группы слагаемых, имеющие одинаковые множители. Поэтому, сначала преобразуем сами слагаемые.

–7а2 = –3а2 – 4а2

7а = 12а – 5а

f (a) = a3 – 7а2 + 7а +15 = a3 – 3а2 – 4а2 + 12а – 5а +15

3) Сгруппируем слагаемые попарно, и из каждой скобки вынесем общий множитель.

f(a) = (a3 – 3а2) +( – 4а2 +12а) + (– 5а +15) = а2 (а – 3) – 4а (а – 3) – 5(а – 3)

4) В полученном выражении все слагаемые имеют общий множитель (а – 3), который и выносим за скобки. f(a) = (а – 3)(а2 – 4а – 5)

5) Мы получили разложение на множители f(a), но второй множитель в свою очередь может быть разложен на множители. Для этого, используя теорему Виета, разложим трехчлен (а2 – 4а – 5) на множители.

По теореме Виета корнями трехчлена (а2 – 4а – 5) являются а1=5 и а2= –1. Тогда имеем (а2 – 4а – 5) = (а – 5)(а + 1) и f(a) = (а – 3)(а – 5)(а + 1)

Ответ: a3 – 7а2 + 7а +15 = (а – 3)(а – 5)(а + 1).

Пример 3. Разложить на множители f(a,b,c) = ab(a+b) – bc(b+c) + ac(a – c).

Решение:

1) Заметим, что выражение, стоящее в первых скобках есть сумма выражений, стоящих во второй и в третьей скобках a+b=(b+c)+(a–c). Подставим это вместо а+b.

f(a,b,c)=ab((b+c)+(a–c))–bc(b+c)+ac(a–c)=ab(b+c) + ab(a–c)–bc(b+c)+ac(a–c)

2) Сгруппируем 1-е и 3-е слагаемые и 2-е и 4-е и вынесем общие множители за скобки.

f(a,b,c)=(b+c)(ab–bc)+(a–c)(ab–ac)=(b+c)(a–c)b+(a–c)(b+c)a=(a–c)(b+c)(b+a)

Полученное есть произведение трех сомножителей.

Ответ: ab(a+b) – bc(b+c) + ac(a – c)=(a–c)(b+c)(b+a).

Пример 4. Разложить на множители f(a,b)=4a2–12ab+5b2.

Решение:

1) Выделим полный квадрат

f(a,b)=(2a)2–2(2a)(3b)+(3b)2 –4b2 =(2a–3b)2 –4b2.

2) Воспользуемся формулой разности квадратов:

f(a,b)=((2a–3b)–2b)((2a–3b)+2b)=(2a–5b)(2a–b).

Ответ: 4a2–12ab+5b2=(2a–5b)(2a–b).

Пример 5. Разложить на множители f(a)=а3+9а2+27а+19.

Решение:

Так как выражение зависит только от а, которое входит в выражение в 3-ей, 2-ой и 1-ой степенях, попытаемся выделить полный куб, воспользуясь формулой (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.

1) f(a)=a3+3a2 ×3+3a×32+33 –8

2) т.к. 8=23, то воспользуемся формулой разности кубов: a3 –b3=(a–b)(a2+ab+b2).

f(a)=(a+3)3–23=(a+3–2)((a+3)2+2(a+3)+22)=(a+1)(a2+8a+19).

Ответ: а3+9а2+27а+19=(a+1)(a2+8a+19).

3. Рассмотрим примеры тождественных преобразований дробно-рациональных выражений.

При выполнении Т.П. таких выражений надо следить за областью определения выражения, т.к. может происходить расширение области определения. Это может произойти, например, при сокращении дроби.

Так область определения дробиТождественные преобразования алгебраических выражений все х¹1 и х¹ –2.

Вместе с тем Тождественные преобразования алгебраических выражений.

Сократив дробь, получим Тождественные преобразования алгебраических выражений. Область определения полученной дроби: х¹-2, т.е шире, чем О.О. первоначальной дроби.

Поэтому дроби Тождественные преобразования алгебраических выражений и Тождественные преобразования алгебраических выражений равны при х¹1 и х¹-2.

Изменение области определения выражения возможно и в результате некоторых других преобразований, поэтому, выполнив преобразования выражения, нужно всегда уметь ответить на вопрос, на каком множестве оно тождественно полученному.

Пример 1. Сократить дробь Тождественные преобразования алгебраических выражений

Решение:

1) Найдем О.О. Для этого нужно потребовать, чтобы знаменатель дроби был отличен от 0. a+b¹0 Þ a¹b. Таким образом О.О. f(a) все a¹b.

2) Чтобы сократить дробь, разложим числитель на множители

2а2+ab-b2=2a2+2ab-ab-b2=(2a2+2ab)+(-ab-b2)=2a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(2a-b)

3) Тождественные преобразования алгебраических выражений

Ответ: Тождественные преобразования алгебраических выражений.

Пример 2. Упростить выражение

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Решение:

Найдем область определения: а2+3а+2¹0, а2+4а+3¹0, а2+5а+6¹0.

Используя т. Виета найдем значения а, при которых трехчлены обращаются в нуль

а2+3а+2=0 при а1=–2, а2=–1

а2+4а+3=0 при а1=–3, а2=–1

а2+5а+6=0 при а1=–3, а2=–2

таким образом область определения f(а): а¹–2, а¹–1, а¹–3

Приведем сумму дробей, стоящую в скобках, к общему знаменателю, предварительно определив его, используя 1)

а2+3а+2=(а+2)(а+1)

а2+4а+3=(а+3)(а+1)

а2+5а+6=(а+3)(а+2) тогда общий знаменатель: (а+2)(а+3)(а+1).

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Разложим числитель первой и второй дроби на множители:

2а2+6а+4=2(а2+3а+2)=2(а+2)(а+1)

(а–3)2+12а=а2–6а+9+12а=а2+6а+9=(а+3)2

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Ответ: Тождественные преобразования алгебраических выражений 

при а¹–3, а¹–2, а¹–1.

Пример 3. Упростить выражение Тождественные преобразования алгебраических выражений

Решение:

Найдем область определения:

х–у¹0 Þ х¹у

х+у¹0 Þ х¹–у

х2–у2¹0 Þ х¹у, х¹–у

х2+у2¹0 Þ х¹0, у¹0.

Итак, область определения х¹0, у¹0, х¹у, х¹–у.

Приведем дроби, стоящие в скобках к общему знаменателю и воспользуемся формулами сокращенного умножения

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Воспользуемся правилом деления дробей: Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Ответ: Тождественные преобразования алгебраических выражений при х¹0, у¹0, х¹у, х¹–у.

Пример 4. Упростить выражение

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Найдем область определения выражения:

а¹0 Þ

b+с¹0 Þ b¹–с

Тождественные преобразования алгебраических выражений Þ b+с–а¹0 Þ b+с¹а

а¹0 и b+с¹0

2bс¹0 Þ b¹0, с¹0.

Таким образом, область определения: а¹0, b¹0, с¹0, b¹–с, b+с¹а.

Приведем дроби, стоящие в числителе и знаменателе первой дроби, а также сумму, стоящую в скобках, к общим знаменателям

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Воспользуемся правилом деления дробей и приведем четырехэтажную дробь к двухэтажной. В числителе второй дроби выделим полный квадрат суммы b и с

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Числитель второй дроби, воспользовавшись формулой разности квадратов, разложим на множители

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Ответ: Тождественные преобразования алгебраических выражений при а¹0, b¹0, b¹–с, с¹0, b+с¹а.

Пример 5. Упростить выражениеТождественные преобразования алгебраических выражений

Найдем область определения выражения, для этого потребуем

Тождественные преобразования алгебраических выражений

первые два выражения, как сумма трех неотрицательных слагаемых равны нулю только при х=0 и у=0.

Рассмотрим третье выражение

Тождественные преобразования алгебраических выражений

тогда Тождественные преобразования алгебраических выражений когда Тождественные преобразования алгебраических выражений. Отсюда имеем х¹0, у¹0.

Т.о. обл. определения х¹0, у¹0.

2) Знаменатель третьей дроби мы заложили на множители, находя область определения выражения. Разложим на множители числитель первой дроби, а в числителе и в знаменателе второй представим

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Воспользуемся правилами деления дробей

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Ответ: Тождественные преобразования алгебраических выражений

Пример 6. Упростить выражение Тождественные преобразования алгебраических выражений

Решение:

Найдем область определения:

b-c ¹ 0 Þ b ¹ c

c-a ¹ 0 Þ c ¹ a

a-b ¹ 0 Þ a ¹ b

2) Приведем дроби к общему знаменателю (b-c)(c-a)(a-b)

Тождественные преобразования алгебраических выражений

3) Воспользуемся формулами сокращенного умножения

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Ответ: f(a,b,c) = 0 при b ¹ c, c ¹ a, a ¹ b.

4. Для успешного выполнения тождественных преобразований иррациональных выражений нужно помнить:

1. Определение арифметического корня n-ой степени:

Если Тождественные преобразования алгебраических выражений и n – натуральное число большее 1, то существует только одно неотрицательное число x такое, что выполняется равенство Тождественные преобразования алгебраических выражений. Это число х называется арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа а и обозначается Тождественные преобразования алгебраических выражений.

Пример.

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Если n – нечетное натуральное число большее 1 и а < 0, то под Тождественные преобразования алгебраических выражений понимают такое отрицательное число х, что Тождественные преобразования алгебраических выражений.

Пример. Тождественные преобразования алгебраических выражений

2. Из определения 1. Следует, что если в алгебраическом выражении есть корни четной степени, то подкоренные выражения таких корней должны быть неотрицательными, что учитывается при определении области определения алгебраического выражения.

Пример. Тождественные преобразования алгебраических выражений

Область определения выражения Тождественные преобразования алгебраических выражений

3. Определение модуля числа.

Модулем числа а называется само число а, если Тождественные преобразования алгебраических выражений и противоположное ему число, если а < 0 т.е. Тождественные преобразования алгебраических выражений

4. Свойства арифметического корня:

Если n, k, m – натуральные числа, Тождественные преобразования алгебраических выражений то:

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений , если b ¹ 0.

Замечание. Если a < 0, b < 0, то свойства 1° и 2° принимают вид

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений

3°  Тождественные преобразования алгебраических выражений

4°  Тождественные преобразования алгебраических выражений

5°  Тождественные преобразования алгебраических выражений

6°  Тождественные преобразования алгебраических выражений

Замечание. Если показатели корней нечетные числа, то свойства 1°– 6° выполняются для a < 0, b < 0 и ab < 0.

7°  Если n – четное число т.е. n = 2k, то Тождественные преобразования алгебраических выражений

Пример. Тождественные преобразования алгебраических выражений т.к. Тождественные преобразования алгебраических выражений, то Тождественные преобразования алгебраических выражений, тогда по определению модуля Тождественные преобразования алгебраических выражений и Тождественные преобразования алгебраических выражений.

Пример 1. Упростить выражение: Тождественные преобразования алгебраических выражений

Решение.

1) Сначала, используя свойства арифметического корня, упростить каждый из имеющихся радикалов:

Тождественные преобразования алгебраических выражений

2) Тождественные преобразования алгебраических выражений

3) Раскроем скобки и приведем подобные

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Ответ: Тождественные преобразования алгебраических выражений

Пример 2. Упростить выражение Тождественные преобразования алгебраических выражений

Решение: Выражение упростится, если окажется, что под этим корнем содержится полный квадрат разности или суммы каких-нибудь чисел.

Представим Тождественные преобразования алгебраических выражений в виде полного

Похожие рефераты: