Xreferat.com » Рефераты по математике » Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

Н.В. Перцев, Омский государственный педагогический университет, кафедра математического анализа

1. Введение

В работе автора [1] предложена математическая модель, описывающая динамику численности некоторых популяций с ограниченным временем жизни особей. Модель представляет собой систему интегро-дифференциальных уравнений

Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

с начальным условием

Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

где Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, а оператор Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийимеет вид Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций.

В настоящей работе приводятся результаты изучения вопросов существования, единственности, неотрицательности и ограниченности решений системы уравнений (1) с начальным условием (2). Рассмотрены также достаточные условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения, которые применяются к исследованию вопроса о вырождении популяций. Для изучения поведения решений используются принцип сжимающих отображений, монотонный метод [2, с. 43] и свойства М - матриц [3, с. 132].

2. Основные результаты

Введем некоторые обозначения.Пусть Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций- длина вектора Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций- норма матрицы A = ( ai j ), [4, с. 196], A+ - матрица, составленная из элементов Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Rm+ - множество векторов Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийс неотрицательными компонентами. Если Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, то запись u>0 означает, что ui>0 при всех Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций. Неравенства между векторами из Rm понимаются как неравенства между их комнонентами. Для фиксированного T>0 под C+T будем понимать пространство неотрицательных непрерывных на отрезке [0,T] функций Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийс нормой Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, где K>0 - некоторая константа, [2, с. 11]. В системе (1) Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, при Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийпод Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийпонимается правосторонняя производная. Далее, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций. Функции Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийпредполагаются непрерывными в своих областях определения.

От системы уравнений (1) с начальным условием (2) перейдем к эквивалентной системе интегральных уравнений вида

Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

где (Fx)(t) =

Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

Здесь Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийпри Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, h(t) = 0 при Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций- отрезок интегрирования, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций. Примем в дальнейшем, что выполнено следующее предположение :

H) элементы матрицы Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийопределены, непрерывны и ограничены, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций; функции Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийудовлетворяют условию Липшица Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, где D - некоторое выпуклое подмножество Rm+.

Пусть M1 и M2 такие постоянные, что Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций. Зададим матрицы A,B,Q по формулам : Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, где Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийпри Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийи Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийпри Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Q = I - A B, I - единичная матрица. Положим

(Lx)(t) =

Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

где Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций. Тогда Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийи для всех Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийтаких, что Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, верно неравенство Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций.

Теорема 1. Пусть предположение H) выполняется на множестве D = Rm+. Тогда система уравнений (3) имеет единственное непрерывное решение x=x(t), определенное на Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, и справедливы оценки Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, где Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций.

Теорема 2. Пусть предположение H) выполняется на некотором прямоугольнике Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийи существует Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, такой, что Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций. Тогда система уравнений (3) имеет единственное непрерывное, ограниченное решение x=x(t), определенное на Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, и справедливы оценки Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций.

Теорема 3. Пусть предположение H) выполняется либо на множестве D = Rm+, либо на некотором прямоугольнике D = D0. Пусть, кроме того, f(0) = 0 и Q является невырожденной М - матрицей. Тогда система уравнений (1) имеет нулевое решение x(t) = 0, которое является экспоненциально устойчивым, иначе для всех Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийверно Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, где Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций.

Приведем краткую схему доказательства этих теорем. В условиях теоремы 1 будем искать функцию w(t), удовлетворяющую неравенствам Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций. Выберем Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций. Используя оценку Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, приходим к неравенству Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, где Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций. Имеем, что при Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийИсследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций(поэлементно). Единичная матрица I является невырожденной М - матрицей. В силу непрерывной зависимости найдется такое a0>0, что (I - A0(a0) B) также будет невырожденной М - матрицей. Используя свойства невырожденных М - матриц, получаем, что существует Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, такой, что верно неравенство Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций. Отсюда следует, что Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийпри всех Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций. Зафиксируем T>0 и обозначим через CwT множество всех функций Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, удовлетворяющих неравенству Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций. Тогда из неравенств Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийследует, что Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций. Пусть множество Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций. Для всех Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийверно, что Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, где Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций. Полагая Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, получаем, что отображение F является сжимающим. При доказательстве теоремы 2 функция w(t) ищется в виде w(t) = b0, где Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций. Если существует Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, такой, что Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, то Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяцийи является сжимающим отображением на CwT. Используя далее принцип сжимающих отображений, убеждаемся в справедливости утверждений теорем 1 и 2.

Для доказательства теоремы 3 строится оценка на решение Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, где Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций, функция w(t) такова, что

Похожие рефераты: