Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций
, где 
, 
при 
при 
. Матрица (I -
A1(a) B) непрерывно зависит от a и 
(поэлементно)
при 
. Так как Q
является невырожденной М - матрицей, то найдется a = a0 >0 такой, что (I -
A1(a0) B) также будет невырожденной М - матрицей. Используя свойства
невырожденных М - матриц, можно показать, что существуют 
и 
такие, что
выполняется неравенство 
. В итоге
получаем, что справедливы оценки на решение 
.
3. Заключение
Установленные выше результаты указывают на корректность применения представленной модели в целях описания динамики численности популяций. Это связано с тем, что решения модели обладают такими важными свойствами, как существование, единственность, неотрицательность и ограниченность, которые соответствуют смыслу моделируемых процессов.
Важным
следствием теоремы 3 являются достаточные условия, при которых популяция
вырождается, т.е. ее численность x(t) такова, что 
при 
.
Предположение H) задает ограничения на интенсивности процессов рождения и
гибели особей, тогда как условие f(0) = 0 означает, что нет внешних источников
поступления новых особей. Заметим, в частности, что предположение H) и условие
f(0) = 0 выполняются для линейных процессов рождения и гибели особей. В
нелинейном случае этому предположению и условию удовлетворяют f(x) и 
, заданные в
виде некоторых многочленов, рациональных функций либо функций с непрерывными
частными производными. Функции такого вида широко используются в моделях
биологических процессов, см., например, [5,6].
Нетрудно
показать, что матрица Q будет невырожденной М - матрицей для малых 
или при
достаточно малых ненулевых элементах матрицы B. Если в условиях теоремы 3 D =
Rm+, то экспоненциальная оценка на решение x(t) справедлива при любом начальном
значении x(0). Если же D = D0, то эта оценка выполняется для x(0), лежащих в
некоторой окрестности точки x = 0. В обоих случаях конкретный вид начального
распределения особей по возрасту 
не влияет на
экспоненциальную оценку (вектор зависит только
от значений x(0)). В рамках принятых предположений можно сделать следующий
вывод: если в некоторых популяциях особи являются короткоживущими или
интенсивности процесса рождения особей достаточно малы, то такие популяции
обязательно вырождаются, причем независимо от начального распределения особей по
возрасту.
В завершение рассмотрим пример. Одной из классических моделей динамики популяций является так называемая логистическая модель или модель Ферхюльста, которая описывается дифференциальным уравнением
с
начальным условием 
, где 
, см.,
например, [5, c. 14]. Если учитывать ограниченность времени жизни особей, то в
соответствии с (1) следует рассмотреть уравнение
с
начальным условием (2). Здесь в качестве множества D можно рассматривать
произвольный отрезок [0, d], 
. Пусть 
. Из теоремы 3
следует, что решение x(t) данного интегро-дифференциального уравнения таково,
что при для любых
начальных значений x(0). Можно показать, что этот результат справедлив и для 
. Неравенства 
задают на
плоскости 
область
параметров, при которых популяция вырождается. Кроме того, можно показать, что
для 
решение 
при , независимо
от значений x(0), где x* - единственный положительный корень уравнения 
С ростом t
решение x(t) приближается к x* либо монотонно, либо с затухающими колебаниями.
Отметим, что решение логистической модели таких колебаний не имеет.
В заключение укажем, что система уравнений (1) с начальным условием (2) является обобщением некоторых из моделей, рассмотренных в работе [7].
Список литературы
Перцев Н.В. Применение одного дифференциального уравнения с последействием в моделях динамики популяций // Фундаментальная и прикладная математика / Ред. А.К. Гуц. Омск, 1994. С.119 - 129.
Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.
Berman A., Plemmous R.J. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. New York, Academic Press, 1979.
Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.
Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987.
Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983.
Cooke K., Yorke A. Some equations Modelling Growth Processes and Gonorhea Epidemics // Math. Biosci., 1973. V.16. P.75 - 101.