Xreferat.com » Рефераты по математике » Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности

Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности

Приднестровский государственный университет им.Т.Г.Шевченко

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ


КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: "Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности"


Выполнил:

студент 303 группы

Рудницкий Александр

Петрович

Проверил: зав. кафедрой

философии

Граневский В.В.


Тирасполь, 2009

Содержание


1. Введение

2. Формула Бернулли

3. Локальная формула Муавра-Лапласа

4. Формула Пуассона

5. Теорема Бернулли о частоте вероятности

Список литературы

Приложения


1.Введение


При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых одно и то же испытание повторяется неоднократно. В результате каждого испытания может появиться или не появиться некоторое событие А, причем нас не интересует результат каждого отдельного испытания, а общее число появлений события А в результате серии опытов. Например, если производится группа выстрелов по одной и той же цели, нас, как правило, не интересует результат каждого выстрела, а общее число попаданий. В подобных задачах требуется уметь определять вероятность любого заданного числа появлений события в результате серии опытов. Такие задачи и будут рассмотрены. Они решаются весьма просто в случае, когда испытания являются независимыми.

Определение. Испытания называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из испытаний не зависит от того, какие исходы имели другие испытания.

Например, несколько бросаний монеты представляют собой независимые испытания.


2. Формула Бернулли


Пусть произведено два испытания(n=2). В результате возможно наступление одного из следующих событий: Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности

Соответствующие вероятности данных событий такие: Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.

Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности или Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности - наступление события только в одном испытании.

Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности - вероятность наступления события два раза.

Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности - вероятность наступления события только один раз.

Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности - вероятность наступления события нуль раз.

Пусть теперь n=3. Тогда возможно наступление одного из следующих вариантов событий:


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


Соответствующие вероятности равны Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.

Очевидно, что полученные результаты при n=2 и n=3 являются элементами


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятностии Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


Теперь допустим, произведено n испытаний. Событие А может наступить n раз, 0 раз, n-1 раз и т.д. Напишем событие, состоящее в наступлении события А m раз


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности

Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности

Необходимо найти число испытаний, в которых событие А наступит m раз. Для этого надо найти число комбинаций из n элементов, в которых А повторяется m раз, а Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности n-m раз.


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности - вероятность наступления события А.


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности(1)


Последняя формула называется формулой Бернулли и представляет собой общий член разложения Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности:


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


Из формулы (1) видно, что ее удобно использовать, когда число испытаний не слишком велико.

Примеры

1. Бросается монета 7 раз. Найти вероятность наступления орла три раза.

Решение.


n=7, m=3

Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности

Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности

Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.

2. Каждый день акции корпорации АВС поднимаются в цене или падают в цене на один пункт с вероятностями соответственно 0,75 и 0,25. Найти вероятность того, что акции после шести дней вернутся к своей первоначальной цене. Принять условие, что изменения цены акции вверх и вниз – независимые события.

Решение. Для того, чтобы акции вернулись за 6 дней к своей первоначальной цене, нужно, чтобы за это время они 3 раза поднялись в цене и три раза опустились в цене. Искомая вероятность рассчитывается по формуле Бернулли


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности


3. Моторы многомоторного самолёта выходят из строя во время полёта независимо один от другого с вероятностью р. Многомоторный самолёт продолжает лететь, если работает не менее половины его моторов. При каких значениях р двухмоторный самолёт надёжней четырёхмоторного самолёта?

Решение. Двухмоторный самолёт терпит аварию, если отказывают оба его мотора. Это происходит с вероятностью р2. Четырёхмоторный самолёт терпит аварию, если выходят из строя все 4 мотора а это происходит с вероятностью р4, либо выходят из строя три мотора из 4-х. Вероятность последнего события вычисляется по формуле Бернулли: Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности. Чтобы двухмоторный самолёт был надёжнее, чем четырёхмоторный, нужно, чтобы выполнялось неравенство


р2<р4+4p3(1–p)


Это неравенство сводится к неравенству (3р–1)(р–1)<0. Второй сомножитель в левой части этого неравенства всегда отрицателен (по условию задачи). Следовательно, величина 3р–1 должна быть положительной, откуда следует, что должно выполняться условие р>1/3. Следует отметить, что если бы вероятность выхода из строя мотора самолёта превышала одну треть, сама идея использования авиации для пассажирских перевозок была бы очень сомнительной.

4. Бригада из десяти человек идёт обедать. Имеются две одинаковые столовые, и каждый член бригады независимо один от другого идёт обедать в любую из этих столовых. Если в одну из столовых случайно придёт больше посетителей, чем в ней имеется мест, то возникает очередь. Какое наименьшее число мест должно быть в каждой из столовых, чтобы вероятность возникновения очереди была меньше 0,15?

Решение. Решение задачи придётся искать перебором возможных вариантов. Сначала заметим, что если в каждой столовой по 10 мест, то возникновение очереди невозможно. Если в каждой столовой по 9 мест, то очередь возникнет только в случае, если все 10 посетителей попадут в одну столовую. Из условия задачи следует, что каждый член бригады выбирает данную столовую с вероятностью 1/2. Значит, все соберутся в одной столовой с вероятностью 2(1/2)10=1/512. Это число много меньше, чем 0,15, и следует провести расчёт для восьмиместных столовых. Если в каждой столовой по 8 мест, то очередь возникнет, если все члены бригады придут в одну столовую, вероятность этого события уже вычислена, или 9 человек пойдут в одну столовую, а 1 человек выберет другую столовую. Вероятность этого события рассчитывается с помощью формулы Бернулли Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности. Таким образом, если в столовых по 8 мест, то очередь возникает с вероятностью 11/512, что пока ещё меньше, чем 0,15. Пусть теперь в каждой из столовых по 7 мест. Кроме двух рассмотренных вариантов, в данном случае очередь возникнет, если в одну из столовых придёт 8 человек, а в другую 2 человека. Это может произойти с вероятностью Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности. Значит, в этом случае очередь возникает с вероятностью 56/512=0,109375<0,15. Действуя аналогичным образом, вычисляем, что если в каждой столовой 6 мест, то очередь возникает с вероятностью 56/512+120/512=176/512=0,34375. Отсюда получаем, что наименьшее число мест в каждой столовой должно равняться семи.

5. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности, Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


По формуле Бернулли требуемая вероятность равна


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


6. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение. Вероятность рождения девочки


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности, тогда Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности, Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности,

Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности, Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


Следовательно, искомая вероятность


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


7. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.

Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - "появление нестандартной детали", его вероятность Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности, тогда Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности. Отсюда по формуле Бернулли находим


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


8. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности


9. Независимые испытания продолжаются до тех пор, пока событие А не произойдет k раз. Найти вероятность того, что потребуется n испытаний (n і k), если в каждом из них Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.

Решение. Событие В – ровно n испытаний до k-го появления события А – есть произведение двух следующий событий:

D – в n-ом испытании А произошло;

С – в первых (n–1)-ом испытаниях А появилось (к-1) раз.

Теорема умножения и формула Бернулли дают требуемую вероятность:


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


10. Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных. n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.

Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p=7/100=0,07 (вероятность того, что аккумулятор выйдет из строя), n = 5 (число испытаний), k = 5-3 =2 (число "успехов", неисправных аккумуляторов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что в n испытаниях событие произойдет k раз).


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности


Получаем


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности


11. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут: а) три элемента; б) не менее четырех элементов; в) хотя бы один элемент.

Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p = 0,2 (вероятность того, что элемент откажет), n = 5 (число испытаний, то есть число элементов), k (число "успехов", отказавших элементов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что для n элементов отказ произойдет в k элементах): Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности. Получаем а) Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности - вероятность того, что откажут ровно три элемента из пяти. б) Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности - вероятность того, что откажут не менее четырех элементов из пяти (то есть или четыре, или пять). в) Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности - вероятность того, что откажет хотя бы один элемент (нашли через вероятность противоположного события - ни один элемент не откажет).

12. Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?

Решение: Наивероятнейшее число побед k определяется из формулы Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности Здесь p =1/3 (вероятность победы), q = 2/3 (вероятность проигрыша), n - неизвестное число партий. Подставляя данные значения, получаем:


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности


Получаем, что n = 15, 16 или 17.


3. Локальная формула Муавра-Лапласа


Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли.

В 1730 г. другой метод решения при p=1/2 нашел Муавр; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного p, отличного от 0 и 1.

Эта формула применяется при неограниченном возрастании числа испытаний, когда вероятность наступления события не слишком близка к нулю или единице. Поэтому теорему, о которой идет речь, называют теоремой Муавра-Лапласа.

Теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна(тем точнее, чем больше n) значению функции


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности

При Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


Имеются таблицы, в которых помещены значения функции


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности,


соответствующие положительным значениям аргумента x(см. приложение1). Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности четна, т.е. Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.

Итак, вероятность того, что событие A появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности,

где Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


13. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию n=400; k=80; p=0,2; q=0,8. Воспользуемся формулой Лапласа:


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


Вычислим определяемое данными задачи значение x:


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


По таблице приложения1 находим Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.

Искомая вероятность


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


14. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле p=0,75.

Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.

Решение. По условию n=10; k=8; p=0,75; q=0,25.

Воспользуемся формулой Лапласа:


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


Вычислим определяемое данными задачи значение x:


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


По таблице приложения1 находим


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности


Искомая вероятность


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


15. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Решение. По условию n=243; k=70; p=0,25; q=0,75. Воспользуемся формулой Лапласа:


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


Найдем значение x:


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


По таблице приложения1 находим


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


Искомая вероятность


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


16. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

Решение. По условию n=2400; k=1400; p=0,6; q=0,4. Как и в предыдущем примере, воспользуемся формулой Лапласа:


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности


Вычислим x:


Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности.


По таблице приложения1 находим


Повторные и независимые испытания.
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: