Кручение стержней

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Кручение стержней имеющих в сечении правильный многоугольник

§1.1 Кручение призматических стержней

§1.2 Кручение стержней прямоугольного сечения

§1.3 Мембранная аналогия

§1.4 Кручение тонкостенных стержней открытого профиля

Глава 2. Кручение стержней имеющих в сечении круг и эллипс

§2.1 Кручение стержней круглого и эллиптического сечений

§2.2 Кручение тонкостенных труб

§2.3 Кручение круглых валов переменного диаметра

Глава 3. Кручение призматических и цилиндрических стержней

§3.1 Чистое кручение стержней постоянного сечения

§3.2 Чистое кручение круглых стержней (валов) переменного сечения

Глава 4. Задачи

Заключение

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Данная выпускная квалификационная работа состоит из четырех глав. В первой главе излагается прямой, обратный и полуобратный методы, применяемые при решении задач о кручении стержня прямоугольного сечения. Исследованы приближенные методы решения задач о кручении более сложных сечений.

Вторая глава посвящена изучению кручения стержней в сечении имеющих форму круга или эллипса. Применяют метод перехода к полярным координатам.

В третьей главе исследуется кручение призматических и цилиндрических стержней, исследуются общие построения данной теории и их различия.

В четвертой главе изучают теоретическое применение к решению задач.

Глава 1. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ, ИМЕЮЩИХ В СЕЧЕНИИ ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

§1.1 Кручение призматических стержней

Прямой метод решения задач теории упругости, заключающийся в интегрировании основных уравнений теории упругости совместно с заданными граничными условиями, не всегда возможен. Для многих задач удобно применять так называемые обратный и полуобратный методы. При пользовании обратным методом выясняют, каким граничным условиям соответствуют некоторые функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям. Таким путем можно получить ряд полезных результатов. Полуобратный метод, впервые предложенный Сен-Венаном, состоит в том, что делают некоторые допущения в отношении напряжений или перемещений. При этом дифференциальные уравнения настолько упрощаются, что решение их не представляет особых математических трудностей. Принимая те или иные допущения, мы, как правило, ограничиваем общность полученного решения; но обычно их можно формулировать таким образом, чтобы все же получить решение частных задач. Например, в рассматриваемой ниже задаче о кручении призматического стержня мы будем задаваться определенными функциями для перемещений и, v, w, сводя, таким образом, основные уравнения к одному дифференциальному уравнению. Но при таких допущениях мы можем найти решение задачи о кручении стержней только постоянного сечения; решения же для стержней, не являющихся призматическими, получить этим путем нельзя. Полуобратный метод является одним из самых эффективных методов решения задач теории упругости.

рис. 1

Предположим, что один конец стержня призматического сечения, длины L, закреплен в плоскости ху, а на другой конец действует пара, вектор-момент который направлен вдоль оси z (рис. 1). Мы полагаем, что закрепленный конец не может вращаться, но что оба конца могут свободно перемещаться друг относительно друга в направлении z. Под действием пары стержень будет закручиваться, причем образующие цилиндра будут превращаться в винтовые линии. Угол поворота любого поперечного сечения зависит от расстояния, на котором находится это сечение от закрепленного конца. При малой деформации можно считать, что угол закручивания пропорционален расстоянию между сечением и закрепленным концом. Таким образом,

z, (1)

рис. 2

где угол закручивания на единицу длины. Будем считать угол закручивания малым. Рассмотрим сечение стержня, которое находится на расстоянии z от закрепленного конца. Точка Р с координатами x, y, z в результате деформации перемещается в точку Р’(x+u, y+v, z+w). На рисунке 2 показана точка Р’1, являющаяся проекцией Р’ на плоскость xy.

Предположим, что в плоскости xy точка Р перемещается в Р’1 при повороте на угол закручивания , причем ОРОР’1= r. Если угол мал, то cos 1 и sin . Следовательно,

Подставляя значение (1), получаем

(2)

таким оказывается закон изменения u и v. В отношении w не будем пока делать никаких допущений, кроме того, что w зависит только от x и y и не зависит от z . Следовательно, можно записать

(3)

где - некоторая функция от x и y .Так как w определяет искажение (депланацию) торцевых сечений, то функцию можно назвать функцией депланацией. Необходимо выяснить, будут ли отвечать принятые выражения для перемещений, вместе с неизвестной еще функцией , напряженному состоянию, удовлетворяющему заданным граничным условиям. Эти условия в данном случае состоят в том, что на обоих торцах должны действовать, только крутящие моменты и что боковая поверхность стержня свободна от сил.

Пользуясь приведенными выше выражениями для перемещений, находим:

(4)

Из закона Гука следует:

(5)

Подставим эти значения в уравнения равновесия, которые будут выполняться, в случае, если функция удовлетворяет уравнению

для всех точек поперечного сечения R стержня, здесь

- оператор Лапласа.

Обратимся к граничным условиям. Так как

на боковой поверхности стержня, то уравнений примет следующий вид:

на контуре S,

где S - контурная линия поперечного сечения стержня.

Покажем, далее, что на двух других граничных поверхностях, а именно, на торцах стержня, определяемых плоскостями z=0 и z=L, напряжение (5) сводятся к скручивающей паре, и результирующие силы отсутствуют. Результирующая сила в направлении x равна

; (8)

это выражение можно привести к виду

. (9)

При получении уравнения (9) были использованы соотношения

рис. 3

здесь принято

в соответствии с уравнением (6).

Пусть f является некоторой функцией x и y; тогда можно выписать равенства (рис. 3):

где f1 и f2 - значение функции f на правой и левой частях контура. Выполним интегрирование по y для контурной кривой в границах от y=yA до y=yB. Если мы будем вести интегрирование функции f по контуру в направлении против часовой стрелки, то для правой части контура приращение dy - положительно, а для левой - отрицательно. В результате каждая из величин f1dy и (- f2dy) окажется положительной, и, следовательно,

. (10)

Аналогично,

(11)

Пользуясь формулами (10) и (11), придадим выражению (9) вид:

. (12)

Будем считать положительными направления вдоль нормали N во внешнюю сторону и вдоль контура – против часовой стрелки; тогда согласно рис.3,б получим

(13)

Равенство (12) принимает вид

при этом выражение

обращается в нуль на контуре S в соответствии с уравнением (7). Мы пришли, таким образом, к равенству

Таким же путем можно показать, что составляющая результирующей силы вдоль оси также равна нулю:

Следовательно, результирующие силы по торцам цилиндра обращаются в нуль.

Результирующий крутящий момент T по торцам стержня, отвечающий принятому распределению напряжений, равен:

(14)

Интеграл, фигурирующий в выражении (14), зависит от функции кручения и, следовательно, от вида поперечного сечения R стержня. Вводя обозначение

(15)

Получим

(16)

где J – постоянная кручения. Уравнение (16) показывает, что крутящий момент пропорционален углу закручивания на единицу длины, так что произведение является мерой жесткости стержня, подвергаемого кручению; величина эта называется крутильной жесткостью стержня.

§1.2 Кручение стержней прямоугольного сечения

Пусть поперечное сечение стержня представляет собой прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами 2a и 2b, направленными параллельно координатным осям, как показано на рис.7. Пользуемся полученными ранее уравнениями: для всей прямоугольной области

рис.7

(6)

и по контору

(7)

На контурных линиях AB и CD, где x=a, будет l=1 и m=0 , а на линиях BC и AD имеем l=0 и m=1 . Условие на контуре (7) можно переписать в следующем виде:

(31)

Этим условиям можно придать более удобную форму, вводя новую функцию так, что

. (32)

Легко показать, что для новой функции основное уравнение по всей прямоугольной области будет иметь вид:

; (33)

условия на контуре будут следующими:

при (34)

при (35)

Примем решение уравнения (33) в виде бесконечного ряда

(36)

каждый член, которого удовлетворяет дифференциальному уравнению; здесь Xn(x) и Yn(y) – функции соответственно только x и y. Очевидно, если решение для нельзя выразить в форме ряда (36), то мы не сможем найти решение для функции Xn и Yn , удовлетворяющее граничным условиям.

Подставляя Xn(x), Yn(y) в уравнение (33) и обозначая производные штрихами, находим

Или

Так как левая часть полученного уравнения является функцией только от x, а правая зависит только от y, то уравнение может быть удовлетворено лишь в том случае, если обе его части равны постоянной величине; обозначим ее через () (постоянную берем со знаком минус, так как иначе граничные условия не будут удовлетворяться). Таким образом, мы получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Эти дифференциальные уравнения легко решить с помощью известных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение их будут следующими:

(37)

(38)

Рассмотрим теперь условие на контуре (35). Во-первых, можно установить, что выражение

должно иметь одно и то же значение при y=b и y=-b. Это условие может быть выполнено, если производные являются симметричными функциям от y. Во-вторых, при будем иметь

Это условие удовлетворяется, если Xn(x) являются антисимметричными функциями относительно x. Исходя из этих соображений, находим, что c2=c4=0.Условие (34) будет выполнено, если , или

Отсюда находим

.

Поскольку c1 и c2 – произвольные постоянные, функцию можно записать в следующем виде:

(39)

Где

;

постоянные An следует определить таким образом, чтобы удовлетворялось граничное условие (35).

Дифференцируя функцию по y и подставляя из уравнения (35) получаем

; (40)

здесь для упрощения записи введено обозначение:

.

Коэффициенты An можно определить, пользуясь схемой, применяемой при разложении функции в ряд Фурье. Умножим обе части уравнения (40) на и проинтегрируем все члены по x. Учитывая соотношения

получим

при

= a при m=n

и

Вычислив значения интегралов в этом выражении, найдем

или

следовательно, решение будет иметь вид:

(41)

Постоянную кручения J можно определить по формуле (15):

Принимая во внимание равенство

приходим к формуле для J:

(42)

В таблице 1.1 даны значения K, соответствующие разным величинам отношения b/a .

Таблица 1.1

Ряд (42) можно записать в виде

Мы замечаем, что сумма меньше суммы так как при . Следовательно, первый член ряда дает значение суммы с точностью до 0,5%, и для практических расчетов можно пользоваться приближенной формулой

(43)

После некоторых выкладок находим следующие формулы для касательных напряжений:

(44)

Можно показать, что если b>a, то максимальные касательные напряжения имеют место посередине длинных сторон прямоугольника, при . Подставляя в уравнение (44) значения x=a и y=0, находим

и

(45)

рис.8

Бесконечный ряд в правой части уравнения, которой мы обозначим через K1/2, сходится очень быстро при b>a , и вычисление величины с достаточной точностью для любого отношения b/a не представляет трудностей. Значение K1, соответствующие различным величинам b/a , включены в табл. 1.1. Подставляя выражения

постоянной кручения J из уравнения (42) в уравнение (45), получаем

(46)

где K2 - второй числовой множитель, значения которого также даны в табл. 1.1.

Горизонтали поверхности, для которых , могут быть легко определены из уравнения для функции . Для стержня квадратного сечения, т.е. при a=b , горизонтали на рис.8; здесь сплошные линии соответствуют положительным значениям w, а пунктирные – отрицательным, по правилу знаков.

§1.3 Мембранная аналогия

Из примера, разобранного в предыдущем параграфе, становится очевидным, что задачи о кручении стержня более сложной формы поперечного сечения может оказаться весьма трудным. Для приближенного решения задач о кручения стержней различных сечений, часто встречающихся в технике, весьма эффективной оказались так называемая мембранная аналогия. Она основана на математической аналогии между задачами о кручении и о деформации упругой натянутой мембраны, подверженной равномерному поперечному давлению.

рис.9

Пусть тонкая однородная мембрана (рис.9) имеет постоянное натяжение и закреплена по контуру, который ограничивается кривой, лежащей в

плоскости xy. Если мембрана подвергается равномерному поперечному давлению p, то точки её срединной поверхности получат перемещения z, зависящие от x и y. Рассмотрим условие равновесия бесконечного малого элемента ABCD мембраны после деформации. Обозначим через F постоянное натяжение, приходящееся на единицу длины мембраны. Усилие F, действующее по стороне AD, наклонено к оси под углом . Так как деформации малы, то можно принять . Прогиб z меняется от точки к точке, поэтому усилие F для стороны BC наклонено под углом

.

Таким же путем находим, что углы наклона растягивающих усилий, приложенных по сторонам AB и CD, равны соответственно и .

Складывая составляющие вдоль оси сил, действующих по четырем сторонам, получаем

отсюда

… для области R. (47)

На контуре прогиб мембраны равен нулю. Поэтому граничное условие имеет вид:

z=0 на контуре S. (48)

Вернемся теперь к задаче о кручении. Основное дифференциальное уравнение будет:

для области R, (6)

а граничное условие имеет вид:

на контуре S. (7)

На первый взгляд эти соотношения и уравнения (47) и (48) не являются аналогичными. Однако им можно придать идентичную форму, если ввести новую функцию с помощью соотношений:

(49)

Из уравнений (49) имеем

Дифференциальное уравнение (6) обращается в тождество, так как

+ =

Таким образом, если функция определяется по формулам (49), то уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно.

Выражая касательные напряжения и через функцию , получаем

(50)

Если функция