Xreferat.com » Рефераты по математике » Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Для решения задач применяется выражение

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях

= qinside

представляющее собой комбинацию уравнения Максвелла с теоремой Гаусса: Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях- собственно теорема Гаусса, Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях- уравнение Максвелла (Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях).

Eсли Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях- некоторый вектор, то Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях- поток вектора Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаяхчерез поверхность. В частности, в вышеприведенном выражении стоит поток вектора Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях. Векторный элемент площади Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях. Орт нормали Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаяхзависит от геометрии задачи:

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях


Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях

=

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях




Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях




Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях



Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях

Задача. Заряд q расположен в точке (0, 0, l). Найти поток вектора Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаяхчерез круг радиуса R c центром в начале координат, лежащий в плоскости xy.

Решение: В плоскости xy зарядом создается поле

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях




При вычислении потока нам потребуется величина Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях, где Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях- вектор нормали к кругу, который во всех точках ориентирован одинаково, а именно по Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаяхили Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях. Примем для определенности

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях




Тогда, поскольку Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях, а Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях, имеем:

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях




В последнем выражении сделан переход к полярным координатам: r - это расстояние от начала координат в плоскости xy. Теперь можно производить интегрирование по площади круга:

Φ =

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях



=

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях



=

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях


Задача. Вычислить поток вектора Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаяхчерез сферу радиуса R.

Ответ: Φ = 4π Ra

Теорема Гаусса верна всегда (это математический закон), но помогает только в симметричных случаях, когда очевидна геометрия поля. В декартовом случае заряд должен изменяться только вдоль одной координаты (например x), в цилиндрическом - только в зависимости от удаления от оси цилиндра r, а в сферическом тоже только от r, но r - удаление от центра шара. Тогда при правильном выборе гауссовой поверхности поток вычисляется очень просто, так как Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаяхпараллелен вектору Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаяхна части поверхности и ортогонален ему на другой её части.

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях

Выбор гауссовой поверхности при расчете поля в точке x (или r):

- плоскостная геометрия: цилиндрическая поверхность любой формы сечения yz и любой его площади (S), занимающая область (–∞... x) вдоль оси x;

- сферическая геометрия: сфера радиуса r

- цилиндрическая геометрия: цилиндрическая поверхность круглого сечения радиуса r, имеющая произвольную длину L вдоль оси z.

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях

= Dr(r)· 4π r2 – сферическая геометрия


Dr(r)· 2π r L – цилиндрическая


Dx(x) · S – Dx(–∞)· S – плоская геометрия

Dx(–∞)≠ 0 только в некорректных задачах. При этом Dx (–∞) = –qinside(x = +∞)/2S.

Как записать qinside для разных геометрий? Если мы различаем между зарядами ρ, σ, λ, q (то есть не пытаемся всё свести к ρ, приписывая ему и бесконечные значения), то

qinside =

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях




Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях




Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях






qc - точечный заряд в центре, σi - заряды концентрических сфер радиусов Ri (таких сфер может быть произвольное количество), а Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаяхинтегрирует объемный заряд. Аналогично в другой геометрии: λa - заряженная нить по оси цилиндра z, σi - заряды цилиндров радиусов Ri.

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях

Задача. Пластина ширины 2a (ее ε≈ 1) заряжена как ρ(x) = α x2; при x = 0 (центр пластины) φ = 0. Найти φ(x), применяя теорему Гаусса.

Решение: Начать следует с нахождения поля как функции координаты Ex(x). Берем гауссову поверхность в виде цилиндрической поверхности, занимающей область (–∞... x) вдоль оси x и имеющей площадь сечения S в плоскости yz.

Поскольку

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях




мы имеем выражение теоремы Гаусса в виде

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях

=

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях


В зависимости от того, в какой диапазон попадает x (x<–a, –a<x<a, x>a), левая часть дает

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях

=

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях



=

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях



= 0, x<–a

Подставляя qinside в теорему Гаусса, с учетом Dx = ε0Ex получаем поле:

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях




Теперь можно найти φ c учетом условия φ|x = 0 = 0, применяя формулу

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях




в которой x может быть как больше, так и меньше нуля. Соответственно, для каждого из трех отрезков, на которых найдено Ex, получаем:

φ(x) =

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях



=

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях



=

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях


Как видим, в итоге получается тот же результат, который был ранее получен путем решения уравнения Пуассона.

Задача. Имеются две концентрические заряженные сферы (σ1, R1 и σ2, R2). Найти Er(r) и φ(r).

Решение: По теореме Гаусса,

qinside = 4π r2 Dr(r) = 4π ε0 r2 Er


причем

qinside = 0 при r<R1


4πσ1R12 при R1<r<R2


4πσ1R12+4πσ2R22 при r>R2

Cоответственно, поле на каждом из участков будет

Er = 0 при r<R1


Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях




Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях


При вычислении потенциала мы должны вычислить интеграл Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях. При этом необходимо правильно выписывать Er на каждoм участке:

φ(r) =

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях



=

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях


φ(r) =

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях



=

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях


φ(r) =

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях



=

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях


В этих выражениях для φ(r) возможны очевидные алгебраические упрощения, но мы оставим их в таком виде, поскольку в дальнейших задачах они нам потребуются именно такими.

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях

Задача. Имеется равномерно заряженный по объему (ρ0) бесконечно длинный цилиндр круглого сечения радиуса R. Найти поле Er(r) и потенциал φ(r); при вычислении потенциала положить φ|r = 0 = 0.

Решение: В цилиндрической системе координат при наличии только объемного заряда имеем:

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях

= Dr(r)· 2π r L = qinside
qinside =

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях


Здесь L - произвольно выбранная длина вдоль оси цилиндра, которая далее сокращается. При вычислении qinside необходимо раздельно рассматривать случаи r<R и r>R:

qinside =

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях




Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях


После этого, так как Dr = ε0Er, получаем поле:

Er(r) =

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях


Er(r) =

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях


Потенциал находится интегрированием Er с оговоренным в задаче условием φ|r = 0 = 0:

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях





φ(r) =

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях


φ(r) =

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях



=

Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях


Из вида получившегося φ(r) ясно, что на бесконечности потенциал оказывается бесконечным. Это следствие некорректности ситуации: описанный в задаче цилиндр имеет бесконечную длину и несет бесконечный суммарный заряд, чего на практике быть не может. Чтобы избежать проблем, возникающих при естественном условии φ|r = ∞ = 0, искусственно задано φ|r = 0 = 0.

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.