Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения
ТЕОРЕМА 2.
Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в точке Z0 для всех Z выполняется неравенство r < |Z-Z0 |, то она представляется рядом :
(16)
где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь угодно большое число). Если обозначить (17) , получим :
(18)
ТЕОРЕМА 3.
Если
однозначная
функция f(Z)
аналитическая
в кольце Z< |Z-Z0
|
(19)
f1 и f2 можно представить в виде двух рядов :
(20)
(21)
Ряд (19) – ряд Лорана, при этом ряд (20) сходится в круге радиуса R, ряд (21) сходится вне круга радиуса R функции f2(Z). Общая область сходимости ряда – кольцо между r и R.
f1(Z) – правильная часть.
f2(Z) – главная часть ряда Лорана.
Ряд Тейлора – частный случай ряда Лорана при отсутствии главной его части.
Классификация изолированных особых точек. Вычеты.
Определение
1. Особой точкой
функции f(Z) определенной
в области (замкнутой)
G, ограниченной
Жордановой
кривой, называется
точка Z=Z0
G в которой
аналитичность
функции f1(Z) нарушается.
Рабочая точка
Z=Z0 функции
f(Z), ограниченной
в круге |Z-Z0|
Устранимые особые точки. Ими называются особые точки, для которых существует , где А – конечное число.
Если для особой точки существует предел , то такая особая точка называется полюсом.
Если не существует, то точка Z=Z0 называется существенной особой точкой.
Если С-n=0, то особая точка есть устранимая особая точка.
Пусть f(Z0)=C0 и C-n для всех n=1,2,3,..,m отличного от 0, а для всех n m+1 C-n=0, тогда Z=Z0 будет являться полюсом порядка m.
При m>1 такой полюс будет называться простым.
, если m , то в этом случае в точке Z=Z0 имеем существенную особенность.
Определение
2. Вычетом функции
f(Z) в круге
|Z-Z0|
Если полюс имеет кратность m 1, то для определения вычетов используется формула :
(3)
при m=1 :
Основная теорема о вычетах.
Пусть f(z) аналитическая в области G кроме конечного числа полюсов Z = a1, a2, …, ak. –произвольный, кусочно-гладкий замкнутый контур содержащий внутри себя эти точки и целиком лежащий внутри области G. В этом случае интеграл равен сумме вычетов относительно a1, a2, …, ak и т.д. умноженный на 2i :
(5)
Пример :
Найти вычет
Особые точки : Z1=1, Z2= - 3.
Определим порядок полюсов – все полюсы первого порядка.
Используем формулу (3) :
Интегральные преобразования.
Операционное исчисление и некоторые его приложения.
Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :
Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).
Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S00 такие, что выполняется условие : |f(t)|
S0t
Рассмотрим функцию f(t)e-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b).
(1)
Применим к этому соотношению формулу Эйлера :
Проинтегрировав это равенство получим :
(2)
Оценим левую часть равенства (2) :
А согласно свойству (3) |f(t)| < Me S0t
В случае если a>S0 имеем :
Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).
Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р :
(3)
Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.
f(t) F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.
- это оператор Лапласа.
Смысл введения интегральных преобразований.
Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.
Теорема единственности: если две функции tиt имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.
Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.
Изображение функций 0(t), sin (t), cos (t).
Определение: называется единичной функцией.
Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение :
Изображение единичной функции
Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :
интегрируя по частям получим :
т.е.
Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию в области преобразований. Откуда :
Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.
где а – константа.
Таким образом :
и
Свойства линейности изображения.
Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.
Если , то , где
Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(+p) является изображением функции e-t f(t) (4)
Доказательство :
Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)
Что и требовалось доказать.
Таблица основных изображений:
F(p) | f(t) | F(p) | f(p) |
1 | |||
Изображение производных.
Теорема. Если , то справедливо выражение :
(1)
Доказательство :
(2)
(3)
Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем :
Что и требовалось доказать.
Пример: Решить дифференциальное уравнение :
Если x(0)=0 и x’(0)=0
Предположим, что x(t) – решение в области оригиналов и , где - решение в области изображений.
Изображающее уравнение :
Теорема о интегрировании оригинала. Пусть находится в области оригиналов, , тогда также оригинал, а его изображение .
Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.
Теорема о интегрировании изображений : Пусть – функция оригинал, которая имеет изображение и также оригинал, а - является сходящимся интегралом, тогда .
Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до в области изображений.
Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.
Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :
(1)
Свертка обозначается следующим образом :
(1’)
Равенства (1) и (1’) идентичны.
Свертка функции подчиняется переместительному закону.
Доказательство:
Теорема о умножении изображений. Пусть и , тогда произведение изображений представляется сверткой оригиналов .
Доказательство :
Пусть изображение свертки
(1)
Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.
Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).
Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.
Теорема Эфроса. Пусть функция находится в области оригиналов, , а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что , тогда .
В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда
(2)
Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.
Обратное преобразование Лапласа.
- Это прямое преобразование Лапласа.
Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :
, где s – некоторая константа.
Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.
Теоремы разложения.
Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения.
Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде