Xreferat.com » Рефераты по математике » Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Контрольная работа

«Многомерные и многосвязные системы»


Задание


Для многомерной системы, заданной матрицами А, В, С, получить:

1. Передаточную функцию Многомерные и многосвязные системы;

2. Частотную передаточную функцию Многомерные и многосвязные системы;

3. Годограф;

4. Импульсную характеристику Многомерные и многосвязные системы;

5. Переходную характеристику Многомерные и многосвязные системы;

6. ЛАЧХ Многомерные и многосвязные системы;

7. ФЧХ Многомерные и многосвязные системы.

Составить структурную схему системы.


Дано:


Многомерные и многосвязные системы;

Многомерные и многосвязные системы;

Многомерные и многосвязные системы.


Решение:


1. Передаточная функция

Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:


Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы.


Преобразуем по Лапласу матричные уравнения:


Многомерные и многосвязные системы; (1)

Многомерные и многосвязные системы, (2)


где


Многомерные и многосвязные системы; Многомерные и многосвязные системы; Многомерные и многосвязные системы


– лапласовы преобразования координат состояния Многомерные и многосвязные системы, выходных Многомерные и многосвязные системы и входных Многомерные и многосвязные системы сигналов.

Преобразуем уравнение (1):


Многомерные и многосвязные системы


Выносим за скобки:


Многомерные и многосвязные системы


где

Многомерные и многосвязные системы – единичная матрица.

Умножаем слева на обратную матрицу:


Многомерные и многосвязные системы


Откуда получаем:


Многомерные и многосвязные системы.


Подставляем в уравнение (2):


Многомерные и многосвязные системы


Получаем:


Многомерные и многосвязные системы


Выражение Многомерные и многосвязные системы называют передаточной функцией системы.

Находим её:


Многомерные и многосвязные системы

Находим обратную матрицу:


Многомерные и многосвязные системы


Подставляем:


Многомерные и многосвязные системы.


2. Частотная передаточная функция

Для получения частотной передаточной функции производим замену в передаточной функции Многомерные и многосвязные системы:


Многомерные и многосвязные системы,


получаем:


Многомерные и многосвязные системы.


Выделим действительную и мнимую части:


Многомерные и многосвязные системы,


для этого умножим числитель и знаменатель Многомерные и многосвязные системы на комплексно – сопряжённый знаменатель:

Многомерные и многосвязные системы;

Многомерные и многосвязные системы;

Многомерные и многосвязные системы;

Многомерные и многосвязные системы.


3. Годограф

Годограф – это график частотной передаточной функции Многомерные и многосвязные системы на комплексной плоскости при изменении частоты Многомерные и многосвязные системы от нуля до бесконечности.

Изменяя частоту, производим расчёт действительной Многомерные и многосвязные системы и мнимой Многомерные и многосвязные системы частей частотной передаточной функции.

Результат расчёта записываем в таблицу 1.


Таблица 1. Расчёт годографа

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

0 2,8750000 0,0000000 10 -0,0512719 0,4570747 200 -0,00018 0,020008
1 2,7230769 0,9846154 20 -0,0163435 0,2074170 300 -0,000078 0,013336
2 1,9500000 1,9000000 30 -0,0075500 0,1355448 400 -0,000044 0,010001
3 0,8344828 1,9862069 40 -0,0043030 0,1009350 500 -0,000028 0,008001
4 0,2250000 1,5500000 50 -0,0027705 0,0804792 600 -0,000019 0,006667
5 0,0130624 1,1611030 60 -0,0019302 0,0669441 700 -0,000014 0,005715
6 -0,0500000 0,9000000 70 -0,0014209 0,0573176 800 -0,000019 0,005000
7 -0,0645030 0,7269777 80 -0,0010893 0,0501171 900 -0,000009 0,004445
8 -0,0634615 0,6076923 90 -0,0008614 0,0445267 1000 -0,000007 0,004000
9 -0,0578113 0,5216604 100 -0,0006982 0,0400600 2000 -0,000002 0,002000

Можно построить график на комплексной плоскости – рис. 1.


Многомерные и многосвязные системы
Рис. 1. Годограф


4. Импульсная характеристика

Импульсная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:


Многомерные и многосвязные системы.


Найдём полюса передаточной функции:


Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы


Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.

Разложим передаточную функцию на простые дроби:

Многомерные и многосвязные системы.


Используя табличные значения, находим:


Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы.


Таким образом, получаем:


Многомерные и многосвязные системы.


Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 2.


Таблица 2. Импульсная характеристика

Многомерные и многосвязные системы

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Многомерные и многосвязные системы

-4 11,28 62,69 100,8 -167,1 -1236 -2395 2097 23854 54578 -15944

Строим график импульсной характеристики – рис. 2.


Многомерные и многосвязные системы

Рис. 2. Импульсная характеристика

5. Переходная характеристика

Переходная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции, делённой на р:


Многомерные и многосвязные системы.


Найдём полюса передаточной функции:


Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы; Многомерные и многосвязные системы.


Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.

Разложим передаточную функцию, делённую на р, на простые дроби:


Многомерные и многосвязные системы.


Приводим к общему знаменателю:


Многомерные и многосвязные системы.


Приравниваем коэффициенты при равных степенях р:


Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы.

Откуда находим:


Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы.


Используя табличные значения, находим:


Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы.


Таким образом, получаем:


Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы.


Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 3.


Таблица 3. Переходная характеристика

Многомерные и многосвязные системы

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Многомерные и многосвязные системы

0 0,654 17,59 62,52 69,32 -243 -1209 -1744 3830 24151 42653

Строим график переходной характеристики – рис. 3.

Многомерные и многосвязные системы
Рис. 3. Переходная характеристика


6. ЛАЧХ

Для получения ЛАЧХ найдём модуль частотной передаточной функции:


Многомерные и многосвязные системы.


далее находим 20 десятичных логарифмов от найденного модуля:


Многомерные и многосвязные системы.


Это и есть выражение для ЛАЧХ.

Расчёт значений ЛАЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 4. Размерность ЛАЧХ – децибелы (дБ).


Таблица 4. ЛАЧХ

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

-1 0,1 9,17406 0,1 1,25893 9,20891 1,2 15,8489 -11,426
-0,9 0,12589 9,17482 0,2 1,58489 9,08243 1,3 19,9526 -13,614
-0,8 0,15849 9,17601 0,3 1,99526 8,70564 1,4 25,1189 -15,738
-0,7 0,19953 9,17788 0,4 2,51189 7,83066 1,5 31,6228 -17,818
-0,6 0,25119 9,18077 0,5 3,16228 6,23375 1,6 39,8107 -19,869
-0,5 0,31623 9,18519 0,6 3,98107 3,94960 1,7 50,1187 -21,902
-0,4 0,39811 9,19182 0,7 5,01187 1,26946 1,8 63,0957 -23,923
-0,3 0,50119 9,20135 0,8 6,30957 -1,5050 1,9 79,4328 -25,936
-0,2 0,63096 9,21400 0,9 7,94328 -4,1982 2 100 -27,944
-0,1 0,79433 9,22792 1 10 -6,7459 2,1 125,893 -29,950
0 1 9,23483 1,1 12,5893 -9,1470 2,2 158,489 -31,953

Строим график ЛАЧХ – рис. 4.


Многомерные и многосвязные системы
Рис. 4. ЛАЧХ


7. ФЧХ

ФЧХ – угол поворота вектора Многомерные и многосвязные системы на комплексной плоскости в зависимости от частоты:

Многомерные и многосвязные системы.


Расчёт значений ФЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 5. Размерность ФЧХ – радианы (рад).


Таблица 5. ФЧХ

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы

-1 0,1 0,03263 0,1 1,25893 0,44997 1,2 15,8489 1,66382
-0,9 0,12589 0,04110 0,2 1,58489 0,58831 1,3 19,9526 1,64958
-0,8 0,15849 0,05177 0,3 1,99526 0,77030 1,4 25,1189 1,63592
-0,7 0,19953 0,06524 0,4 2,51189 0,99225 1,5 31,6228 1,62384
-0,6 0,25119 0,08227 0,5 3,16228 1,22480 1,6 39,8107 1,61359
-0,5 0,31623 0,10383 0,6 3,98107 1,42316 1,7 50,1187 1,60513
-0,4 0,39811 0,13123 0,7 5,01187 1,56064 1,8 63,0957 1,59824
-0,3 0,50119 0,16622 0,8 6,30957 1,63913 1,9 79,4328 1,59268
-0,2 0,63096 0,21126 0,9 7,94328 1,67427 2 100 1,58822
-0,1 0,79433 0,26981 1 10 1,68250 2,1 125,893 1,58466
0 1 0,34696 1,1 12,5893 1,67633 2,2 158,489 1,58182

Строим график ФЧХ – рис. 5.


Многомерные и многосвязные системы

Рис. 5. ФЧХ


8. Структурная схема системы

Записываем матричные уравнения системы:


Многомерные и многосвязные системы;

Многомерные и многосвязные системы.


Подставляем исходные данные:


Многомерные и многосвязные системы;

Многомерные и многосвязные системы.


Производим умножение матриц:


Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы.


Получили систему уравнений, на основе которой строим структурную схему – рис. 6.


Многомерные и многосвязные системы

Рис. 6. Структурная схема системы


Часть 2:

Осуществить синтез замкнутой системы с собственными числами

{–1; –4; ± 5j}.

Построить наблюдатель полного порядка.


Дано:

Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы.


Решение:


1. Синтез замкнутой системы

Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:


Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы.


Пусть управление линейно зависит от координат состояния системы:


Многомерные и многосвязные системы,


где

Многомерные и многосвязные системы – входной командный сигнал,

К – матрица коэффициентов обратной связи.

После замыкания эта система имеет структуру, изображённую на рис. 7.


Многомерные и многосвязные системы

Рис. 7. Структура исходной системы


Движение системы описывается линейным дифференциальным уравнением:


Многомерные и многосвязные системы.


Таким образом, динамические свойства системы полностью определяются матрицей А – ВК, её характеристическими числами.

Характеристический многочлен исходной системы равен:


Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы.


Спектр характеристических чисел (корни характеристического многочлена):

Многомерные и многосвязные системы.

Желаемый характеристический многочлен замкнутой системы Многомерные и многосвязные системы по условию имеет 4 собственных числа, но наша исходная система имеет третий порядок, поэтому одно из собственных чисел необходимо убрать, убираем собственное число (–1), тогда:


Многомерные и многосвязные системы.


Пусть матрица коэффициентов обратной связи Многомерные и многосвязные системы, тогда характеристический полином замкнутой системы:


Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы.


Приравниваем коэффициенты при равных степенях многочленов Многомерные и многосвязные системы и Многомерные и многосвязные системы:

Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы.

Решая полученную систему уравнений, получаем:

Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы.

Искомое управление принимает вид:


Многомерные и многосвязные системы.


Структура синтезированной системы представлена на рис. 8.

Она построена по уравнениям:

Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы,

Многомерные и многосвязные системы.


Многомерные и многосвязные системы

Рис. 8. Структура синтезированной системы


2. Построение наблюдателя полного порядка

Система


Многомерные и многосвязные системы


называется асимптотическим наблюдателем полного порядка, если для любого начального состояния х(0) и всех Многомерные и многосвязные системы оценка Многомерные и многосвязные системы с ростом времени асимптотически приближается к вектору состояния Многомерные и многосвязные системы.

Найдём структуру асимптотического наблюдателя, для чего определим ошибку восстановления Многомерные и многосвязные системы и найдём модель её изменения:


Многомерные и многосвязные системы

Многомерные и многосвязные системы.

Затем потребуем, чтобы Многомерные и многосвязные системы

Похожие рефераты: