Xreferat.com » Рефераты по математике » Применение неравенств при решении олимпиадных задач

Применение неравенств при решении олимпиадных задач

Министерство образования и науки Украины

Донецкий государственный институт искусственного интеллекта

Донецкий лицей «Интеллект»


Кафедра математики и информатики


Научная работа

на тему: «Применение неравенств при решении олимпиадных задач».

( электронный учебник )


Выполнила:

ученица 11-Г класса

Борисенкова О.Д.

Научный руководитель:

Степанов Т.Л.


Донецк 2006

СОДЕРЖАНИЕ


Введение

1 Постановка задачи

2 Актуальность

3 Реализация задачи

3.1 Теоретические сведения

3.2 Решение задач с применением данных неравенств

3.3 Сборник задач

3.4 Тесты

4 Инструкция по пользованию

Выводы

Список использованной литературы

ВВЕДЕНИЕ


При решении задач, предлагаемых на вступительных письменных экзаменах и олимпиадах по математике, могут быть использованы любые известные абитуриентам математические методы. При этом разрешается пользоваться и такими, которые не изучаются в общеобразовательной школе.

Все это свидетельствует о необходимости самостоятельного изучения абитуриентами математических методов, в основе которых лежат понятия и положения, не входящие в программу по математике общеобразовательной школы. К таким понятиям, например, относятся неравенства Коши, Коши-Буняковского, Бернулли и Йенсена.


1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ


Таким образом, целью данной работы является разработка электронного обучающего пособия, в котором будет предложен материал по выбранной теме. Т.е. в учебнике будут предоставлены теоретические сведения по всем неравенствам, примеры применения этих неравенств в решении олимпиадных задач, сборник задач для самостоятельного решения, решения к ним, а также тестовые вопросы, которые позволят оценить себя и проверить уровень полученных знаний.

Для реализации поставленной задачи был выбран язык электронной разметки текста HTML.


2. АКТУАЛЬНОСТЬ


Данная разработка рассчитана на учащихся, которые имеют довольно-таки высокий уровень знаний в области математики, причем как в пределах, так и вне школьной программы, но все равно хотят его повысить. Т.е. этот учебник будет очень полезным для самостоятельного изучения темы и подготовки к олимпиадам ІІ-ІІІ этапов.

Также очень удобен и прост в применении, для работы с ним не требуется никаких специальных программ или дополнительных приложений, кроме стандартного Internet-браузера.

Важным пунктом является то, что в учебнике собрана информация по теме неравенств, которую в принципе довольно-таки сложно найти, причем так, чтобы она была в одном и том же печатном издании. Большая часть сведений по некоторым неравенствам была найдена только в периодических изданиях, журналах. Здесь же все собрано воедино, информация представлена кратко, но исчерпывающе для того, чтобы разобраться и понять.


3. РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ


3.1 Теоретические сведения


Неравенство Йенсена

Теорема (неравенство Йенсена):

Пусть Применение неравенств при решении олимпиадных задач – функция, выпуклая на некотором интервале, x1, x 2, …, x n – произвольные числа из этого интервала, а α1, α2, …, αn – произвольные положительные числа, сумма которых равна единице. Тогда:


Применение неравенств при решении олимпиадных задач. (1)


Доказательство:

Рассмотрим на графике функции Применение неравенств при решении олимпиадных задач точки А1, А2, …, Аn с абсциссами х1, x2, …, xn. Расположим в этих точках грузы с массами, m2, …, mn. Центр масс этих точек имеет координаты


Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


Так как точки А1, А2, …, Аn принадлежат надграфику выпуклой функции, то и их центр масс также принадлежит надграфику (ибо надграфик – выпуклая фигура). А это означает, что ордината центра масс М не меньше ординаты точки на графике с той же абсциссой (рис. 1), т.е.


Применение неравенств при решении олимпиадных задач. (2)


Применение неравенств при решении олимпиадных задач
рис. 1


Для завершения доказательства остаётся положить m1= α1, …, mn= αn.

Однако есть два важных замечания. Во-первых, в процессе доказательства неравенства Йенсена (1) мы доказали неравенство (2). На самом деле эти неравенства равносильны. Положив в неравенстве (1) Применение неравенств при решении олимпиадных задач (i=1, 2, ..., n), мы получаем неравенство (2). Поэтому естественно эти два неравенства называются неравенствами Йенсена. Неравенство (1) выглядит более компактно, однако для приложений удобней пользоваться неравенством (2). Во-вторых, если функция Применение неравенств при решении олимпиадных задач вогнутая, то для неё неравенства Йенсена (1) и (2) меняются на противоположные. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть выпуклую функцию Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

Неравенство Коши-Буняковского

На первый взгляд, неравенство Йенсена не производит особого впечатления: слишком общо выглядит формулировка. Однако дальше можно убедиться, что это впечатление обманчиво.

Продемонстрировать силу неравенства Йенсена можно на конкретном примере. А именно, доказать знаменитое неравенство Коши-Буняковского Применение неравенств при решении олимпиадных задач, где a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn – произвольные положительные числа.

Доказательство:

Как мы знаем, функция Применение неравенств при решении олимпиадных задач - выпуклая. Напишем для этой функции неравенство Йенсена (2):


Применение неравенств при решении олимпиадных задач, (mi > 0).


Следовательно, Применение неравенств при решении олимпиадных задач. Положив Применение неравенств при решении олимпиадных задач, получим требуемое неравенство.

Неравенство Коши

При решении многих задач часто используется классическое неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическим неотрицательных чисел.

Пусть x1, x 2, …, x n – неотрицательные числа. Средним арифметическим этих чисел называется число –


Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


Средним геометрическим чисел x1, x 2, …, x n называется число –


Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


Теорема 1. Если x1, x 2, …, x n – неотрицательные числа, то имеет место неравенство


Применение неравенств при решении олимпиадных задач. (1)


Причём знак равенства в нем достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.

Соотношение (1) называется неравенством Коши. При n=2 неравенство Коши следует из очевидного неравенства

Применение неравенств при решении олимпиадных задач. Действительно, Применение неравенств при решении олимпиадных задач, откуда


Применение неравенств при решении олимпиадных задач. (2)


Отметим, что знак равенства в (2) имеет место тогда и только тогда, когда x1=x2.

Пусть x1, x 2, …, x n – положительные числа. Средним гармоническим (средним пропорциональным) этих чисел называется число –


Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


Теорема 2. Если x1, x 2, …, x n – положительные числа, то имеют место неравенства


An ≥ Gn ≥ Hn.


Действительно, применяя к числам Применение неравенств при решении олимпиадных задач неравенство Коши, получаем


Применение неравенств при решении олимпиадных задач , (3)


откуда Gn ≥ Hn.

Пусть x1, x 2, …, x n – произвольные числа. Средним квадратическим этих чисел называется число –


Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


Теорема 3. Если x1, x 2, …, x n – положительные числа, то имеют место неравенства


Kn ≥ An ≥ Gn ≥ Hn , или

Применение неравенств при решении олимпиадных задач. (4)


Причём знак равенства в (4) достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.

Для двух чисел неравенство (4) можно записать как


Применение неравенств при решении олимпиадных задач,


которое очень легко доказать с помощью простых преобразований. А именно,


Применение неравенств при решении олимпиадных задач


аналогично доказывается и для n чисел, откуда Kn ≥ An.

Неравенство Бернулли

Ещё один способ решения некоторых олимпиадных задач – это использование неравенства Бернулли, которое иногда может значительно облегчить задачу. «Классическое» неравенство Бернулли формируется следующим образом:

Теорема. Для x > -1 и произвольного натурального n имеет место


Применение неравенств при решении олимпиадных задач (1)


причем равенство в (1) достигается при x=0, n=0 или n=1.

Однако кроме (1) существует и более общее неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:

если n<0 или n>1, то


Применение неравенств при решении олимпиадных задач, (2)


если 0<n<1, то


Применение неравенств при решении олимпиадных задач, (3)


где x > -1.

Следует отметить, что равенства (2) и (3) имеют место лишь при x=0.

Доказательство(I способ):


Применение неравенств при решении олимпиадных задач, где xi – числа одного и того же знака и Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


Применяем метод математической индукции.

Проверяем неравенство для n=1: Применение неравенств при решении олимпиадных задач. Неравенство верно.

Пусть неравенство верно для n членов, т.е. верно неравенство


Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


Умножим его на неотрицательное число 1+xn+1 (оно неотрицательно, т.к. Применение неравенств при решении олимпиадных задач). Получим:


Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


Т.к. xi одного знака, произведения в правой части положительны, и если их отбросить, неравенство только усилится. Получаем:


Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


Как мы видим, неравенство верно и для n+1 членов, а значит верно для любых n.

Доказательство(II способ):

Также применяем метод математической индукции.

При n=1 имеем Применение неравенств при решении олимпиадных задач, Применение неравенств при решении олимпиадных задач. Утверждаем, что при n=k неравенство верно: Применение неравенств при решении олимпиадных задач. Тогда при n=k+1 имеем


Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

Неравенство доказано.

Весовое (общее) неравенство Коши

Ранее мы рассмотрели так называемое классическое неравенство Коши. Однако очень большое значение имеет также одно важное обобщение неравенства Коши – это общее, или весовое, неравенство Коши.

Теорема. Для любых действительных положительных чисел m1, m2, …, mn и для любых неотрицательных x1, x2, …, xn имеет место неравенство


Применение неравенств при решении олимпиадных задач. (1)


Числа m1, m2, …, mn называются весовыми коэффициентами.

Неравенство (1) выполняется и для неотрицательных весовых коэффициентов m1, m2, …, mn, но в этом случае необходимо требовать, чтобы знаменатель левой части (1) не превращался в ноль и выражения Применение неравенств при решении олимпиадных задачимели смысл (т.е. не все m1, m2, …, mn равны нулю и числа xi и mi одновременно не равнялись нулю).

Понятно, что при m1= m2= …= mn, весовое неравенство Коши превращается в обыкновенное неравенство Коши.

Выражение, которое стоит в левой части (1), называется весовым средним арифметическим, а то, которое в правой – весовым средним геометрическим.

Неравенство (1), для натуральных m1, m2, …, mn, непосредственно следует из обыкновенного неравенства Коши:


Применение неравенств при решении олимпиадных задач. (2)


Неравенство (1) с неотрицательными рациональными весовыми коэффициентами легко привести к случаю, когда Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


3.2 Решение задач с применением данных неравенств

Неравенство Йенсена

Задача:

Пусть a1,…, an > 0, Применение неравенств при решении олимпиадных задач. Доказать Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


Решение:

Записываем неравенство Йенсена для f(x)=x2, mi=n. Получаем:


Применение неравенств при решении олимпиадных задач, Применение неравенств при решении олимпиадных задач, Применение неравенств при решении олимпиадных задач,


что и требовалось доказать.

Неравенство Коши-Буняковского

Задача:

Пусть a+b+c=1. Доказать, что Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

Решение:

Из неравенства Коши-Буняковского имеем


Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


А отсюда имеем, что Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

Неравенство Коши

Задача:

Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна единице. Доказать, что


(1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8(1-a)(1-b)(1-c).


Решение:

Поскольку a+b+c=1, то 1+a= (1-b)+(1- c). Используя неравенство Коши между средним арифметическим и средним геометрическим Применение неравенств при решении олимпиадных задач, получаем


Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


Аналогично


Применение неравенств при решении олимпиадных задач,

Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


Перемножая все три неравенства, получаем искомое неравенство.

Неравенство Бернулли

Задача:

Решить уравнение


Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


Решение:

К каждому слагаемому левой части уравнения применяем неравенство Бернулли, тогда


Применение неравенств при решении олимпиадных задач,


причем равенство возможно лишь при Применение неравенств при решении олимпиадных задач, т.е. x=±1. Следовательно, x=±1 – корни уравнения.

Весовое (общее) неравенство Коши

Задача 1:

Для действительных положительных чисел a, b доказать неравенство Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

Решение:

По весовому неравенству Коши (Применение неравенств при решении олимпиадных задач), имеем


Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


Для завершения доказательства осталось учесть очевидное неравенство Применение неравенств при решении олимпиадных задач. Равенство достигается при a=b.

Задача 2:

Для произвольных a,b≥0 доказать неравенство


Применение неравенств при решении олимпиадных задач(1).


Решение:

По весовому неравенству Коши имеем, что


Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


Добавляя к указанному неравенству аналогичное


Применение неравенств при решении олимпиадных задач


получаем


Применение неравенств при решении олимпиадных задач,


что и требовалось доказать. Равенство в (1) достигается при a=b.

Понятно, что решение этой задачи состоит из двух ключевых идей. Первая – это неравенство (2). Вторая – переход от неравенства (2) к неравенству (1).

Что касается неравенства (2), то пока ещё не понятно, как можно было «угадать», что для решения задачи надо было использовать неравенство Коши именно с такими весовыми коэффициентами m1=7, m2=4, m3=1.

Покажем, что эти коэффициенты можно найти (именно так они и были найдены) с помощью стандартной процедуры: «метода неопределённых коэффициентов». Неравенство (2) будем искать из таких соображений. Рассмотрим весовое неравенство Коши


Применение неравенств при решении олимпиадных задач. (4)


Подберём весовые коэффициенты m1, m2, m3 так, чтобы в правой части неравенства (4) получить a3b. Для этого достаточно решить систему


Применение неравенств при решении олимпиадных задач (5)


Кроме этого, если к (4) добавить аналогичное неравенство (в решении задачи это было неравенство (3))


Применение неравенств при решении олимпиадных задач, (6)


то получим


Применение неравенств при решении олимпиадных задач. (7)


Следовательно, чтобы неравенство (7) совпало с неравенством в задаче, к системе (5) надо прибавить еще два равенства


Применение неравенств при решении олимпиадных задач (8)


Решая систему (8), имеем m1=7 m3, m2=4 m3. При таком подборе m1 , m2 , m3 неравенство (4) становится неравенством (2), неравенство (6) – неравенством (3), а неравенство (7) – неравенством (1).

Подводя итоги сказанному, мы видим, что для доказательства неравенства типа (1) записываем общее весовое неравенство Коши с неопределенными весовыми коэффициентами, где слева стоят все слагаемые левой части, а справа – одно слагаемое правой части искомого неравенства. Подбираем неопределенные коэффициенты (путем решения соответствующей системы равенств) так, чтобы после симметризации весового неравенства найти решение задачи.


3.3 Сборник задач


Упражнение 1. Неравенство Йенсена:

1.Докажите неравенство Применение неравенств при решении олимпиадных задач, (подсказка: Применение неравенств при решении олимпиадных задач).

2.Докажите неравенство Применение неравенств при решении олимпиадных задач, где Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

3.Докажите неравенство Применение неравенств при решении олимпиадных задач, при Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

Упражнение 2. Неравенство Коши-Буняковского:

1.Доказать, что Применение неравенств при решении олимпиадных задач, где a,b,c – стороны треугольника; ha, hb, hc – высоты треугольника, опущенные на эти стороны; S – площадь треугольника.

2.Доказать, что Применение неравенств при решении олимпиадных задач, Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

3.Доказать, что Применение неравенств при решении олимпиадных задач, если Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

Упражнение 3. Неравенство Коши:

1.Для неотрицательных a, b, c выполняется условие a2+b2+c2=1. Доказать, что Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

2.Дано: a, b, c≥0, a+b+c=1. Доказать неравенство: Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

3.Доказать: Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

4.Дано: x, y, z>0, xyz=1. Доказать Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

Упражнение 4. Неравенство Бернулли:

1.Решить уравнение: Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

2.Решить уравнение: Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

3.Решить уравнение: Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

Упражнение 5. Весовое (общее) неравенство Коши:

1.Доказать неравенство Применение неравенств при решении олимпиадных задач, если Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

2.Доказать неравенство: Применение неравенств при решении олимпиадных задач.

3.Доказать неравенство:Применение неравенств при решении олимпиадных задач.


3.4 Тесты


1. Какая зависимость между коэффициентами αi в неравенстве Йенсена


Применение неравенств при решении олимпиадных задач?


а) их произведение равно единице

б) их сумма равна единице

в) они равны между собой

г) никакой

2. Как доказать неравенство Коши-Буняковского?

а) доказать неравенство Йенсена для функции Применение неравенств при решении олимпиадных задач

б) применить неравенство Коши для n чисел

в) доказать методом математической индукции

г) путем алгебраических преобразований

3. Когда достигается равенство в неравенстве Коши?

а) когда сумма всех чисел равна их количеству

б) когда их произведение равно единице

в) когда все числа равны между собой

г) никогда

4. В неравенстве Бернулли x – переменная – может

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: