Применение неравенств при решении олимпиадных задач
Министерство образования и науки Украины
Донецкий государственный институт искусственного интеллекта
Донецкий лицей «Интеллект»
Кафедра математики и информатики
Научная работа
на тему: «Применение неравенств при решении олимпиадных задач».
( электронный учебник )
Выполнила:
ученица 11-Г класса
Борисенкова О.Д.
Научный руководитель:
Степанов Т.Л.
Донецк 2006
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1 Постановка задачи
2 Актуальность
3 Реализация задачи
3.1 Теоретические сведения
3.2 Решение задач с применением данных неравенств
3.3 Сборник задач
3.4 Тесты
4 Инструкция по пользованию
Выводы
Список использованной литературы
ВВЕДЕНИЕ
При решении задач, предлагаемых на вступительных письменных экзаменах и олимпиадах по математике, могут быть использованы любые известные абитуриентам математические методы. При этом разрешается пользоваться и такими, которые не изучаются в общеобразовательной школе.
Все это свидетельствует о необходимости самостоятельного изучения абитуриентами математических методов, в основе которых лежат понятия и положения, не входящие в программу по математике общеобразовательной школы. К таким понятиям, например, относятся неравенства Коши, Коши-Буняковского, Бернулли и Йенсена.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Таким образом, целью данной работы является разработка электронного обучающего пособия, в котором будет предложен материал по выбранной теме. Т.е. в учебнике будут предоставлены теоретические сведения по всем неравенствам, примеры применения этих неравенств в решении олимпиадных задач, сборник задач для самостоятельного решения, решения к ним, а также тестовые вопросы, которые позволят оценить себя и проверить уровень полученных знаний.
Для реализации поставленной задачи был выбран язык электронной разметки текста HTML.
2. АКТУАЛЬНОСТЬ
Данная разработка рассчитана на учащихся, которые имеют довольно-таки высокий уровень знаний в области математики, причем как в пределах, так и вне школьной программы, но все равно хотят его повысить. Т.е. этот учебник будет очень полезным для самостоятельного изучения темы и подготовки к олимпиадам ІІ-ІІІ этапов.
Также очень удобен и прост в применении, для работы с ним не требуется никаких специальных программ или дополнительных приложений, кроме стандартного Internet-браузера.
Важным пунктом является то, что в учебнике собрана информация по теме неравенств, которую в принципе довольно-таки сложно найти, причем так, чтобы она была в одном и том же печатном издании. Большая часть сведений по некоторым неравенствам была найдена только в периодических изданиях, журналах. Здесь же все собрано воедино, информация представлена кратко, но исчерпывающе для того, чтобы разобраться и понять.
3. РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ
3.1 Теоретические сведения
Неравенство Йенсена
Теорема (неравенство Йенсена):
Пусть – функция, выпуклая на некотором интервале, x1, x 2, …, x n – произвольные числа из этого интервала, а α1, α2, …, αn – произвольные положительные числа, сумма которых равна единице. Тогда:
. (1)
Доказательство:
Рассмотрим на графике функции точки А1, А2, …, Аn с абсциссами х1, x2, …, xn. Расположим в этих точках грузы с массами, m2, …, mn. Центр масс этих точек имеет координаты
.
Так как точки А1, А2, …, Аn принадлежат надграфику выпуклой функции, то и их центр масс также принадлежит надграфику (ибо надграфик – выпуклая фигура). А это означает, что ордината центра масс М не меньше ординаты точки на графике с той же абсциссой (рис. 1), т.е.
. (2)
рис.
1
Для завершения доказательства остаётся положить m1= α1, …, mn= αn.
Однако есть два важных замечания. Во-первых, в процессе доказательства неравенства Йенсена (1) мы доказали неравенство (2). На самом деле эти неравенства равносильны. Положив в неравенстве (1) (i=1, 2, ..., n), мы получаем неравенство (2). Поэтому естественно эти два неравенства называются неравенствами Йенсена. Неравенство (1) выглядит более компактно, однако для приложений удобней пользоваться неравенством (2). Во-вторых, если функция вогнутая, то для неё неравенства Йенсена (1) и (2) меняются на противоположные. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть выпуклую функцию .
Неравенство Коши-Буняковского
На первый взгляд, неравенство Йенсена не производит особого впечатления: слишком общо выглядит формулировка. Однако дальше можно убедиться, что это впечатление обманчиво.
Продемонстрировать силу неравенства Йенсена можно на конкретном примере. А именно, доказать знаменитое неравенство Коши-Буняковского , где a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn – произвольные положительные числа.
Доказательство:
Как мы знаем, функция - выпуклая. Напишем для этой функции неравенство Йенсена (2):
, (mi > 0).
Следовательно, . Положив , получим требуемое неравенство.
Неравенство Коши
При решении многих задач часто используется классическое неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическим неотрицательных чисел.
Пусть x1, x 2, …, x n – неотрицательные числа. Средним арифметическим этих чисел называется число –
.
Средним геометрическим чисел x1, x 2, …, x n называется число –
.
Теорема 1. Если x1, x 2, …, x n – неотрицательные числа, то имеет место неравенство
. (1)
Причём знак равенства в нем достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.
Соотношение (1) называется неравенством Коши. При n=2 неравенство Коши следует из очевидного неравенства
. Действительно, , откуда
. (2)
Отметим, что знак равенства в (2) имеет место тогда и только тогда, когда x1=x2.
Пусть x1, x 2, …, x n – положительные числа. Средним гармоническим (средним пропорциональным) этих чисел называется число –
.
Теорема 2. Если x1, x 2, …, x n – положительные числа, то имеют место неравенства
An ≥ Gn ≥ Hn.
Действительно, применяя к числам неравенство Коши, получаем
, (3)
откуда Gn ≥ Hn.
Пусть x1, x 2, …, x n – произвольные числа. Средним квадратическим этих чисел называется число –
.
Теорема 3. Если x1, x 2, …, x n – положительные числа, то имеют место неравенства
Kn ≥ An ≥ Gn ≥ Hn , или
. (4)
Причём знак равенства в (4) достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.
Для двух чисел неравенство (4) можно записать как
,
которое очень легко доказать с помощью простых преобразований. А именно,
аналогично доказывается и для n чисел, откуда Kn ≥ An.
Неравенство Бернулли
Ещё один способ решения некоторых олимпиадных задач – это использование неравенства Бернулли, которое иногда может значительно облегчить задачу. «Классическое» неравенство Бернулли формируется следующим образом:
Теорема. Для x > -1 и произвольного натурального n имеет место
(1)
причем равенство в (1) достигается при x=0, n=0 или n=1.
Однако кроме (1) существует и более общее неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:
если n<0 или n>1, то
, (2)
если 0<n<1, то
, (3)
где x > -1.
Следует отметить, что равенства (2) и (3) имеют место лишь при x=0.
Доказательство(I способ):
, где xi – числа одного и того же знака и .
Применяем метод математической индукции.
Проверяем неравенство для n=1: . Неравенство верно.
Пусть неравенство верно для n членов, т.е. верно неравенство
.
Умножим его на неотрицательное число 1+xn+1 (оно неотрицательно, т.к. ). Получим:
.
Т.к. xi одного знака, произведения в правой части положительны, и если их отбросить, неравенство только усилится. Получаем:
.
Как мы видим, неравенство верно и для n+1 членов, а значит верно для любых n.
Доказательство(II способ):
Также применяем метод математической индукции.
При n=1 имеем , . Утверждаем, что при n=k неравенство верно: . Тогда при n=k+1 имеем
.
Неравенство доказано.
Весовое (общее) неравенство Коши
Ранее мы рассмотрели так называемое классическое неравенство Коши. Однако очень большое значение имеет также одно важное обобщение неравенства Коши – это общее, или весовое, неравенство Коши.
Теорема. Для любых действительных положительных чисел m1, m2, …, mn и для любых неотрицательных x1, x2, …, xn имеет место неравенство
. (1)
Числа m1, m2, …, mn называются весовыми коэффициентами.
Неравенство (1) выполняется и для неотрицательных весовых коэффициентов m1, m2, …, mn, но в этом случае необходимо требовать, чтобы знаменатель левой части (1) не превращался в ноль и выражения имели смысл (т.е. не все m1, m2, …, mn равны нулю и числа xi и mi одновременно не равнялись нулю).
Понятно, что при m1= m2= …= mn, весовое неравенство Коши превращается в обыкновенное неравенство Коши.
Выражение, которое стоит в левой части (1), называется весовым средним арифметическим, а то, которое в правой – весовым средним геометрическим.
Неравенство (1), для натуральных m1, m2, …, mn, непосредственно следует из обыкновенного неравенства Коши:
. (2)
Неравенство (1) с неотрицательными рациональными весовыми коэффициентами легко привести к случаю, когда .
3.2 Решение задач с применением данных неравенств
Неравенство Йенсена
Задача:
Пусть a1,…, an > 0, . Доказать .
Решение:
Записываем неравенство Йенсена для f(x)=x2, mi=n. Получаем:
, , ,
что и требовалось доказать.
Неравенство Коши-Буняковского
Задача:
Пусть a+b+c=1. Доказать, что .
Решение:
Из неравенства Коши-Буняковского имеем
.
А отсюда имеем, что .
Неравенство Коши
Задача:
Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна единице. Доказать, что
(1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8(1-a)(1-b)(1-c).
Решение:
Поскольку a+b+c=1, то 1+a= (1-b)+(1- c). Используя неравенство Коши между средним арифметическим и средним геометрическим , получаем
.
Аналогично
,
.
Перемножая все три неравенства, получаем искомое неравенство.
Неравенство Бернулли
Задача:
Решить уравнение
.
Решение:
К каждому слагаемому левой части уравнения применяем неравенство Бернулли, тогда
,
причем равенство возможно лишь при , т.е. x=±1. Следовательно, x=±1 – корни уравнения.
Весовое (общее) неравенство Коши
Задача 1:
Для действительных положительных чисел a, b доказать неравенство .
Решение:
По весовому неравенству Коши (), имеем
.
Для завершения доказательства осталось учесть очевидное неравенство . Равенство достигается при a=b.
Задача 2:
Для произвольных a,b≥0 доказать неравенство
(1).
Решение:
По весовому неравенству Коши имеем, что
.
Добавляя к указанному неравенству аналогичное
получаем
,
что и требовалось доказать. Равенство в (1) достигается при a=b.
Понятно, что решение этой задачи состоит из двух ключевых идей. Первая – это неравенство (2). Вторая – переход от неравенства (2) к неравенству (1).
Что касается неравенства (2), то пока ещё не понятно, как можно было «угадать», что для решения задачи надо было использовать неравенство Коши именно с такими весовыми коэффициентами m1=7, m2=4, m3=1.
Покажем, что эти коэффициенты можно найти (именно так они и были найдены) с помощью стандартной процедуры: «метода неопределённых коэффициентов». Неравенство (2) будем искать из таких соображений. Рассмотрим весовое неравенство Коши
. (4)
Подберём весовые коэффициенты m1, m2, m3 так, чтобы в правой части неравенства (4) получить a3b. Для этого достаточно решить систему
(5)
Кроме этого, если к (4) добавить аналогичное неравенство (в решении задачи это было неравенство (3))
, (6)
то получим
. (7)
Следовательно, чтобы неравенство (7) совпало с неравенством в задаче, к системе (5) надо прибавить еще два равенства
(8)
Решая систему (8), имеем m1=7 m3, m2=4 m3. При таком подборе m1 , m2 , m3 неравенство (4) становится неравенством (2), неравенство (6) – неравенством (3), а неравенство (7) – неравенством (1).
Подводя итоги сказанному, мы видим, что для доказательства неравенства типа (1) записываем общее весовое неравенство Коши с неопределенными весовыми коэффициентами, где слева стоят все слагаемые левой части, а справа – одно слагаемое правой части искомого неравенства. Подбираем неопределенные коэффициенты (путем решения соответствующей системы равенств) так, чтобы после симметризации весового неравенства найти решение задачи.
3.3 Сборник задач
Упражнение 1. Неравенство Йенсена:
1.Докажите неравенство , (подсказка: ).
2.Докажите неравенство , где .
3.Докажите неравенство , при .
Упражнение 2. Неравенство Коши-Буняковского:
1.Доказать, что , где a,b,c – стороны треугольника; ha, hb, hc – высоты треугольника, опущенные на эти стороны; S – площадь треугольника.
2.Доказать, что , .
3.Доказать, что , если .
Упражнение 3. Неравенство Коши:
1.Для неотрицательных a, b, c выполняется условие a2+b2+c2=1. Доказать, что .
2.Дано: a, b, c≥0, a+b+c=1. Доказать неравенство: .
3.Доказать: .
4.Дано: x, y, z>0, xyz=1. Доказать .
Упражнение 4. Неравенство Бернулли:
1.Решить уравнение: .
2.Решить уравнение: .
3.Решить уравнение: .
Упражнение 5. Весовое (общее) неравенство Коши:
1.Доказать неравенство , если .
2.Доказать неравенство: .
3.Доказать неравенство:.
3.4 Тесты
1. Какая зависимость между коэффициентами αi в неравенстве Йенсена
?
а) их произведение равно единице
б) их сумма равна единице
в) они равны между собой
г) никакой
2. Как доказать неравенство Коши-Буняковского?
а) доказать неравенство Йенсена для функции
б) применить неравенство Коши для n чисел
в) доказать методом математической индукции
г) путем алгебраических преобразований
3. Когда достигается равенство в неравенстве Коши?
а) когда сумма всех чисел равна их количеству
б) когда их произведение равно единице
в) когда все числа равны между собой
г) никогда
4. В неравенстве Бернулли x – переменная – может