Xreferat.com » Рефераты по математике » Вычисление вероятности

Вычисление вероятности

1. Задача 1. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.


Решение.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.

Вероятность события А найдем используя условную вероятность.


Вычисление вероятности = 0,278


Вычисление вероятности – вероятность того, что первый шар белый. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.

Вычисление вероятности– вероятность того, что второй шар чнрный. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.

Ответ: 0,278.


2. Задача 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.


Решение.


Вычисление вероятности


Пусть событие Вычисление вероятности состоит в том, что сигнал пройдет с входа на выход.


Вычисление вероятности,


где Вычисление вероятности – событие, состоящие в том, что i-ый элемент находится в рабочем состоянии.

Т.к. события Вычисление вероятности - независимые совместные события.


Вычисление вероятности


Ответ: 0,994.


3. Задача 3. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99 , на втором - 0,988 и на третьем - 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.


Решение. Событие А состоит в том, что что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

Гипотезы Н1, Н2, Н3.

Вычисление вероятности – деталь изготовлена на первом станке;

Вычисление вероятности – деталь изготовлена на втором станке;

Вычисление вероятности – деталь изготовлена на третьем станке;

Гипотезы Нi образуют полную группу событий.

Воспользуемся формулой полной вероятности:


Вычисление вероятности – полная вероятность.

Вычисление вероятности=Вычисление вероятности; Вычисление вероятности=Вычисление вероятности;

Вычисление вероятности=Вычисление вероятности; Вычисление вероятности=Вычисление вероятности;

Вычисление вероятности=0,45; Вычисление вероятности=Вычисление вероятности;


Тогда


Вычисление вероятности. = 0,015.


Ответ: 0,0,015.


4. Задача 4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?


Решение.

Найдем Вычисление вероятности – наиболее вероятное число выпадений 6.

Наивероятнейшее число Вычисление вероятности определяют из двойного неравенства:


Вычисление вероятности;

Вычисление вероятности – вероятность появления события в каждом из Вычисление вероятности независимых испытаний. Вычисление вероятности – вероятность того, что при одном испытании выпадет 6 (по формуле классической вероятности). Вычисление вероятности. Вычисление вероятности – по условию.


Вычисление вероятности;

Вычисление вероятности


Так как Вычисление вероятности – целое число, то наивероятнейшее число звонков равно Вычисление вероятности.

Ответ: 2.


5. Задача 5. Дискретная случайная величина Вычисление вероятности может принимать одно из пяти фиксированных значений Вычисление вероятности, Вычисление вероятности, Вычисление вероятности, Вычисление вероятности, Вычисление вероятности с вероятностями Вычисление вероятности, Вычисление вероятности, Вычисление вероятности, Вычисление вероятности, Вычисление вероятности соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Вычисление вероятности. Рассчитать и построить график функции распределения.


Решение.


Таблица 1.

Вычисление вероятности

1 4 5 7 8

Вычисление вероятности

0,3 0,3 0,1 0,15 0,15

Найдем числовые характеристики данного распределения.

Математическое ожидание


Вычисление вероятностиВычисление вероятности = 4,25


Дисперсию определим по формуле: Вычисление вероятности.


Вычисление вероятностиВычисление вероятности= 24,55.

Тогда Вычисление вероятности


Найдем функцию распределения случайной величины.


Вычисление вероятности.

Вычисление вероятности


Построим график этой функции


Вычисление вероятности

6. Задача 6. Случайная величина Вычисление вероятности задана плотностью вероятности


Вычисление вероятности


Определить константу Вычисление вероятности, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Вычисление вероятности, а также вероятность ее попадания в интервал [0;Вычисление вероятности]


Решение.

Коэффициент Вычисление вероятности найдем используя свойство функции плотности распределения: Вычисление вероятности. Так как функция плотности распределения принимает отличные от нуля значения на интервале Вычисление вероятности, то Вычисление вероятности.

Вычислим определенный интеграл:


Вычисление вероятности.

Следовательно, Вычисление вероятности, Вычисление вероятности.

Вычисление вероятности


Математическое ожидание Вычисление вероятности найдем по формуле:


Вычисление вероятности.


Т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке [0, Вычисление вероятности], то


Вычисление вероятности = Вычисление вероятности=

=Вычисление вероятности = Вычисление вероятности.


Вычислили интеграл, используя формулу интегрирования по частям.

Найдем дисперсию Вычисление вероятности, т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке


[0, Вычисление вероятности], то Вычисление вероятности.

Вычисление вероятности=Вычисление вероятности.

Вычисление вероятности


Найдем Вычисление вероятности.

Воспользуемся формулой Вычисление вероятности=Вычисление вероятности.


Вычисление вероятности=Вычисление вероятности


Найдем функцию распределения СВ Х.

При


Вычисление вероятности. Вычисление вероятности


При


Вычисление вероятности. Вычисление вероятности


При


Вычисление вероятности. Вычисление вероятности

Вычисление вероятности


7. Задача 7. Случайная величина Вычисление вероятности распределена равномерно на интервале Вычисление вероятности. Построить график случайной величины Вычисление вероятности и определить плотность вероятности Вычисление вероятности.


Решение.

Найдем плотность распределения случайной величины Вычисление вероятности. Случайная величина Вычисление вероятности распределена равномерно на интервале Вычисление вероятности, поэтому на этом интервале Вычисление вероятности, вне этого интервала Вычисление вероятности.

Построим график функции Вычисление вероятности на интервале Вычисление вероятности и в зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы:


Вычисление вероятности;

Вычисление вероятности;

Вычисление вероятности

Вычисление вероятности


Так как на интервалах Вычисление вероятности и Вычисление вероятности обратная функция не существует, то для этих интервалов Вычисление вероятности.


Вычисление вероятности

На интервале Вычисление вероятности одна обратная функция Вычисление вероятности, следовательно Вычисление вероятностиВычисление вероятности

На интервале Вычисление вероятности две обратных функции Вычисление вероятности и Вычисление вероятности, следовательно Вычисление вероятности.

Найдем производные обратных функций


Вычисление вероятности; Вычисление вероятности.


Учитывая, что Вычисление вероятности, получим


Вычисление вероятности; Вычисление вероятности.


В результате получим:


Вычисление вероятности.


Таким образом, плотность вероятности величины Вычисление вероятности равна:


Вычисление вероятности

8. Задача 8. Двумерный случайный вектор Вычисление вероятности равномерно распределен внутри области В. Двумерная плотность вероятности Вычисление вероятности о любой точке этой области В:


Вычисление вероятности


Вычислить коэффициент корреляции между величинами Вычисление вероятности и Вычисление вероятности.


Решение.

Построим область Вычисление вероятности


Вычисление вероятности


Найдем значение константы Вычисление вероятности. Воспользуемся свойством функции Вычисление вероятности


Вычисление вероятности


Поскольку Вычисление вероятности принимает отличные от нуля значения внутри области Вычисление вероятности, то получим

Вычисление вероятности = Вычисление вероятности.


Следовательно, Вычисление вероятности. Значит, Вычисление вероятности

Значение коэффициента корреляции вычислим по формуле


Вычисление вероятности


Корреляционный момент вычислим по формуле


Вычисление вероятности

Вычисление вероятности.

Вычисление вероятности.

Вычисление вероятности.

Вычисление вероятности.


Определим корреляционный момент


Вычисление вероятности

Вычисление вероятности


Ответ: Вычисление вероятности


9. Задача 9. По выборке одномерной случайной величины

Получить вариационный ряд;

Построить гистограмму равноинтервальным способом;

Построить гистограмму равновероятностным способом;

Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии;

Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия Вычисление вероятности и критерия Колмогорова (Вычисление вероятности)


0,22 0,42 0,07 1,69 0,42 0,94 1,81 2,24 0,74 0,75
0,80 2,59 0,55 0,43 0,51 0,38 1,41 0,73 0,03 0,96
0,63 0,17 0,10 0,09 1,09 1,52 2,97 0,91 1,53 0,55
1,23 1,27 0,75 1,55 0,88 0,57 0,31 1,04 1,71 1,39
1,16 0,86 1,13 0,82 2,02 1,17 0,25 0,64 0,07 0,11
1,99 0,71 2,17 0,23 2,68 1,82 1,19 0,05 1,23 4,70
0,37 0,40 1,31 0,20 0,50 2,48 0,32 1,41 0,23 1,27
0,33 1,48 0,52 0,68 0,30 0,40 0,24 1,52 0,17 0,17
0,83 1,20 0,65 0,05 1,45 0,23 0,37 0,09 3,66 0,28
0,77 0,11 1,95 0,10 0,95 0,65 4,06 3,16 0,51 2,02

Решение.

Найдем размах вариации Вычисление вероятности. Вычисление вероятности0,03; Вычисление вероятности 4,70;

Вычисление вероятности4,70–0,03 = 4,67.

Вариационный ряд распределения имеет вид:


Вычисление вероятности

Вычисление вероятности

Вычисление вероятности

Вычисление вероятности

0,03 1 0,86 1
0,05 2 0,88 1
0,07 2 0,91 1
0,09 2 0,94 1
0,1 2 0,95 1
0,11 2 0,96 1
0,17 3 1,04 1
0,2 1 1,09 1
0,22 1 1,13 1
0,23 3 1,16 1
0,24 1 1,17 1
0,25 1 1,19 1
0,28 1 1,2 1
0,3 1 1,23 2
0,31 1 1,27 2
0,32 1 1,31 1
0,33 1 1,39 1
0,37 2 1,41 2
0,38 1 1,45 1
0,4 2 1,48 1
0,42 2 1,52 2
0,43 1 1,53 1
0,5 1 1,55 1
0,51 2 1,69 1
0,52 1 1,71 1
0,55 2 1,81 1
0,57 1 1,82 1
0,63 1 1,95 1
0,64 1 1,99 1
0,65 2 2,02 2
0,68 1 2,17 1
0,71 1 2,24 1
0,73 1 2,48 1
0,74 1 2,59 1
0,75 2 2,68 1
0,77 1 2,97 1
0,8 1 3,16 1
0,82 1 3,66 1
0,83 1 4,06 1


4,7 1

Построим гистограмму равноинтервальным способом. Число интервалов рассчитаем по формуле Вычисление вероятности. Длина частичного интервала вычисляется по формуле


Вычисление вероятности.


Полученные значения запишем в таблицу


Вычисление вероятности

Вычисление вероятности

Вычисление вероятности

Вычисление вероятности

Вычисление вероятности

Вычисление вероятности

1 0,03 0,497 0,467 34 0,34 0,73
2 0,497 0,964 0,467 27 0,27 0,58
3 0,964 1,431 0,467 15 0,15 0,32
4 1,431 1,898 0,467 10 0,1
Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: