Вычисление вероятности
Равноинтервальная гистограмма имеет вид:
Построим гистограмму равновероятностным способом.
№ | ||||||
1 | 0,03 | 0,17 | 0,14 | 10 | 0,1 | 0,7143 |
2 | 0,17 | 0,25 | 0,08 | 10 | 0,1 | 1,2500 |
3 | 0,25 | 0,42 | 0,17 | 10 | 0,1 | 0,5882 |
4 | 0,42 | 0,57 | 0,15 | 10 | 0,1 | 0,6667 |
5 | 0,57 | 0,77 | 0,2 | 10 | 0,1 | 0,5000 |
6 | 0,77 | 0,96 | 0,19 | 10 | 0,1 | 0,5263 |
7 | 0,96 | 1,27 | 0,31 | 10 | 0,1 | 0,3226 |
8 | 1,27 | 1,53 | 0,26 | 10 | 0,1 | 0,3846 |
9 | 1,53 | 2,17 | 0,64 | 10 | 0,1 | 0,1563 |
10 | 2,17 | 4,7 | 2,53 | 10 | 0,1 | 0,0395 |
Равновероятностная гистограмма имеет вид:
Оценку математического ожидания вычислим по формуле
1,00.
Оценку дисперсии вычислим по формуле:
, 0,82,
Построим доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии:
В нашем случае
1,00, 0,82, , , .
;
Доверительный интервал для математического ожидания .
Доверительный интервал для дисперсии
, =1,96 ().
По виду равноинтервальной гистограммы выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по показательному закону:
H0 :
H1 :
Определим оценку неизвестного параметра
Предполагаемый закон распределения . Найдем вероятности попадания в каждый из интервалов
Теоретические частоты найдем по формуле
№ |
Интервалы [xi; xi+1) |
||||||
1 | 0,03 | 0,497 | 0,36 | 36,00 | -2,00 | 4,00 | 0,1111 |
2 | 0,497 | 0,964 | 0,23 | 23,00 | 4,00 | 16,00 | 0,6957 |
3 | 0,964 | 1,431 | 0,14 | 14,00 | 1,00 | 1,00 | 0,0714 |
4 | 1,431 | 1,898 | 0,09 | 9,00 | 1,00 | 1,00 | 0,1111 |
5 | 1,898 | 2,365 | 0,06 | 6,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 |
6 | 2,365 | 2,832 | 0,04 | 4,00 | -1,00 | 1,00 | 0,2500 |
7 | 2,832 | 3,299 | 0,02 | 2,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 |
8 | 3,299 | 3,766 | 0,01 | 1,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 |
9 | 3,766 | 4,233 | 0,01 | 1,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 |
10 | 4,233 | 4,7 | 0,01 | 1,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 |
НАБЛ= |
1,24 |
Число степеней свободы определяют по формуле . По таблице критерия Пирсона находим: . Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о показательном распределении. Проверим гипотезу о показательном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Теоретическая функция распределения F0(x) показательного закона равна
Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Все вспомогательные расчеты сведем в таблицу.
№ |
Интервалы [xi; xi+1) |
частота в интервале |
||||
1 | -2,951 | 7 | 34 | 0,34 | 0,36 | 0,02 |
2 | -2,513 | 10 | 27 | 0,61 | 0,59 | 0,02 |
3 | -2,075 | 8 | 15 | 0,76 | 0,73 | 0,03 |
4 | -1,637 | 12 | 10 | 0,86 | 0,82 | 0,04 |
5 | -1,199 | 14 | 6 | 0,92 | 0,88 | 0,04 |
6 | -0,761 | 11 | 3 | 0,95 | 0,91 | 0,04 |
7 | -0,323 | 9 | 2 | 0,97 | 0,93 | 0,04 |
8 | 0,115 | 4 | 1 | 0,98 | 0,95 | 0,03 |
9 | 0,553 | 16 | 1 | 0,99 | 0,96 | 0,03 |
10 | 0,991 | 9 | 1 | 1,00 | 0,97 | 0,03 |
; .
То таблице квантилей распределения Колмогорова по уровню значимости находим критическое значение .
Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении.
10. Задача 10. По выборке двумерной случайной величины
Вычислить оценку коэффициента корреляции;
Вычислить параметры линии регрессии и ;
Построить диаграмму рассеивания и линию регрессии;
Решение
Найдем числовые характеристики величин и .
0,88; 0,10.
1,59; .
1,76; .
Корреляционный момент равен:
–0,23
Найдем уравнения регрессии
где ;
Уравнение регрессии имеет вид:
.
Коэффициент корреляции равен:
.
Найдем интервальную оценку.
.
,
Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости .
Проверим нулевую гипотезу : о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции, при конкурирующей гипотезе .
.
По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню и числу степеней свободы найдем критическую точку двусторонней критической области. .
Так как – нулевую гипотезу принимаем.
29