Комплексный анализ

Открытые и замкнутые мн-ва, предельная точка, замыкание..

Комплексным числом называется число вида x + iy , где x действительная, а y – мнимая часть числа. Пусть  i2=-1, тогда С – поле. Множество комплексных чисел можно интерпретировать как комплексную плоскость.

Сферой Римана называется множество комплексных чисел, пополненное “бесконечностью”. Сферу Римана можно интерпретировать как обычную сферу.

Отображение из S2 N на комплексную плоскость взаимно однозначно.

 Функции отображения точек сферы Римана (x,h,z) на комплексную плоскость (х, у) и обратно: Прямое отображение:  ; ; . Обратное отображение: ;.

Метрика на плоскости определяется ф-лой .

Метрика на сфере Римана определяется ф-лой : .

Комплексной функцией на С называется отображение точки из С в точку на сфере Римана.

Гомеоморфизмом наз. непрерывное взаимно однозначное отображение.

Путем называется комплекснозначная функция, заданная на отрезке, непрерывная в каждой точке его.

Жордановым путем называется путь, обладающий св-вом гомеоморфизма.

Топологические отображения элементарными функциями (zn, 1/z. ez,Ж(z)). Области однолистности. Комбинация элементарных функций (cos(z), ch(z),…) и их обратные. Понятие неоднозначной функции. Группа добно-линейных отображений и ее св-ва. R и C дифференцируемость. Условия Коши-Римана. Определение аналитических функций. Конформность голоморфного отображения.

Дробно-линейным называется отображение (функция) вида (az+b)/(cz+d), ad-bc¹0.

Обобщенной окружностью называется окружность или прямая.

Теорема. Дробно-линейная функция гомеоморфно отображает комплексную плоскость на сферу Римана.. В частности, оно переводит обобщенную окружность в обобщенную окружность.

Дробно-линейные функции порождают группу.

Симметричными относительно окружности называются такие две точки, лежащие на одном луче,  что произведение расстояний от которых до центра окружности равно квадрату радиуса .

Теорема. Дробно-линейные  функции отображают  симметричные точки в симметричные.

Обобщенной окружностью называется  окружность или прямая.

Однолистной называется такая функция, что из совпадения двух точек образа следует равенство прообразов.

Многолистной называется функция, не обладающая взаимной однозначностью.

С дифференцируемой (R-дифференцируемой) функцией F называется функция, отличная от С-линейной (R-линейной) на бесконечно малую величину в достаточно малой окрестности точки z, то есть при малых Dz, DF=F(z+Dz)-F(z)=l(Dz) + o(Dz),.

Дифференциалом отображения С-дифференцируемой функции F  называется ее линейное приращение l(Dz) в достаточно малой D-окрестности заданной точки z .

Конформной называется такое R-дифференцируемое  отображение, сохраняющее углы.

Производной функции F называется предел отношения двух приращений: дифференциала функции к  приращению аргумента.

Теорема. Функция С-дифференцируема в точке титт, когда  она имеет  производную в этой точке.

Теорема (Условие Коши-Римана).  Комплексно значная функция ¦(z)=u(x,y)+iv(x,y) дифференцируема в точке z титт, когда частные производные функций u и v связаны соотношениями:  и .

Аналитической или голоморфной в точке z называется такая функция F, что  она С-дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.

Аналитической или голоморфной в бесконечной точке  называется такая функция F, что G(z):=F(1/z) голоморфна в точке z=0.

Теорема. Функция комплексно дифференцируема в точке титт, когда  она конформна   в этой точки.

Интегрирование функций комплексного переменного (интеграл по пути, по контуру). Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница. Лемма Гурса. Интегральная теорема и формула Коши (в звездной области) Общая интегральная теорема Коши. Следствия (теорема о среднем, принцип max mod). Обратные интегральные теоремы (теорема Мореры, аналитичность интеграла типа Коши). Граничные св-ва интеграла типа Коши (МКТ 170). Формула Сохоцкого-Племеля.

Интегралом от функции f вдоль пути g, определенного на отрезке [a, b] называется величина, действительная и мнимая части которой равны соотв., интегралам от действительной и мнимой части исходной функции F вдоль пути g,  , то есть .

Первообразной функции f называется такая функция F, что производная ее равна исходной функции.

Теорема Коши. Интеграл от голоморфной в области D функции F, по границе любого треугольника из D равен нулю.

Теорема. Функция f ,голоморфная в области D, имеет первообразную   в любой ограниченной окрестности точки а из D, то есть U={|z-a|<r}.

Теорема. Для f, непрерывной на кусочно-гладком пути g и имеющей первообразную F, справедлива формула Ньютона-Лейбница, то есть .

Гладкой гомотопией  отображения ¦ из M в N наз. такое отображение цилиндра, полученного как  результат прямого произведения   гладкого мн-зия N на отрезок [0, 1], в гладкое мн-зие М, такое, что отображение точки (x,0) совпадает с ¦(x).

Гомотопией или процессом гомотопии называются все множество гладких гомотопий.

Гомотопными называются отображения ¦t(x), такие, что существует такая гомотопия, что оба отображения  содержатся в ней.

Теорема Коши. Интегралы вдоль гомотопных путей совпадают.

Интегральная теорема Коши. Функция f, голоморфная на компактной, ограниченной непрерывными кривыми области D, в любой точке z из D представима в виде .

Следствие. Значение голоморфной функции в компактной, ограниченной непрерывными кривыми области D, однозначно определяется ее значениями на границе.

Звездной называется такая область, что существует некоторая точка z0, такая, что для всех точек z, принадлежащих этой области, отрезок [z, z0] принадлежит области.

Общая интегральная теорема Коши. Функция f, непрерывная в замыкании области D, ограниченной конечным числом кусочно-гладких кривых, представима в каждой точке z из D в виде .

Теорема о среднем. Функция ¦, интегрируемая в области D, в каждой конечной точке z из D представима в виде , где r – радиус достаточно малой окружности с центром в z.

Принцип максимального модуля. Функция, голоморфная в обрасти D,  такая, что ее модуль достигает локального максимума в D, постоянна.

Теорема Морера. Если функция ¦ непрерывна в односвязной области D и интеграл от нее вдоль любой кривой зависит только от начальной и конечной точек пути интегрирования, то эта функция голоморфна в D.

Последовательность и ряды аналитических функций. Степенные ряды. Нули аналитической функции (теорема единственности, лемма Шварца). Локальный критерий однолистности (теорема Гурвица). Ряды Лорана. Изолированные особенности аналитических функций.

Сходящимся рядом называется такой ряд, последовательность частичных сумм которого имеет конечный предел.

 Равномерно сходящимся рядом называется такой функциональный ряд , что для любого z он сходится и для любого e найдется такой номер N, единый для всех z, что для всех n>N .

Нулем аналитической функции называется точка из ее области определения функции, в которой функция принимает нулевое значение.

Теорема. Функция f(z) с нулем в точке а, отличная от нуля в ее окрестности, представима в виде произведения функции j(z), голоморфной в а и отличной от нуля в ее окрестности, на линейное приращение аргумента этой функции. То есть f(z)=(z-a)j(z).

Теорема Единственности. Две функции f1 и f2, совпадающие на подмножестве области определения D, имеющем хотя бы одну предельную точку, совпадают всюду на D, то есть f1 = f2.

Рядом Лорана функции f называется функциональный ряд, с коэффициентами , где r<r<R.

Теорема Лорана. Функцию f , голоморфную кольце V={r<|z-a|<R} можно представить как сумму ряда Лорана

Лемма Шварца. Функция ¦, однозначная и аналитическая в единичном круге, для которой справедливы условия ¦(0)=0 |f(z)|£1 (|z|<1), удовлетворяет условиям |f’(0)|£1, |f(z)|£|z| (|z|<1), при этом равенство достигается только для линейных  функций вида eiaz, aÎR.

Теорема Гурвица.

Пусть функции ¦, не равна тождественно нулю внутри некоторой области.

И пусть задана последовательность функций ¦n, равномерно сходится внутри ее к ¦.

Пусть g - замкнутая спрямляемая кривая, принадлежащая этой области со своей внутренностью, не проходящая через нули ¦. 

Тогда можно указать такое число v,= v(g), что при n>v  каждая из ¦n будет иметь внутри g одно и тоже число нулей, равное числу нулей функции ¦ внутри этой кривой.

Особой точкой функции f называется точка с заданными св-вами.

Изолированной особой точкой функции f называется такая точка а, что существует проколотая окрестность (или полуинтервал |z|<¥)этой точки, где функция голоморфна.

Устранимой называется такая особая точка, что существует .

Полюсом называется такая особая точка, что .

Существенно особой точкой называется такая особая точка, что ¦ не имеет вообще предела при z®a.