Xreferat.com » Рефераты по математике » Уравнения с параметрами

Уравнения с параметрами

х1,2 х1,2 х1,2 х1,2 х1,2 х1,2


-3 -2 0 1 2 а


В соответствии с этой иллюстрацией при а= — 3 получаем х= — 3 — 3= — 6;

при a= — 2 х= — 2 — 3= — 5; при a=1 х= 1+1=2; при a=2 х=2+1=3.

Итак, можно записать

От в ет: 1) если a= — 3, то х= — 6; 2) если a= — 2, то х= — 5; 3) если a=0, то корней нет; 4) если a= l, то х=2; 5) если а=2, то х=3;

6) если а≠ -3 ;

а≠ -2 ;

а≠ 0 ; то х1 = а + 1,

а≠ 1 ; х2 = а – 3.

а≠ 2,


Иррациональные уравнения с параметрами.


Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.


П р и м ер . Решить уравнение х - = 1. (6)


Решение:


Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.

Перепишем исходное уравнение в виде:

= х – 1 (7)

При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:

2 х2 – 2х + (1 - а) = 0, D = 2а – 1.

Особое значение : а = 0,5. Отсюда :

  1. при а > 0,5 х1,2 = 0,5 ( 1 ± );

  2. при а = 0,5 х = 0,5 ;

  3. при а <0,5 уравнение не имеет решений.

Проверка:

  1. при подстановке х = 0,5 в уравнение (7), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х = 0,5 не является решением (7) и уравнения (6).

  2. при подстановке х1 = 0,5 ( 1 ± ) в (7) получим:

-0,5 ( 1 + ) = – ( 0,5 ( 1 - ))2

Так как левая часть равенства отрицательна, то х1 не удовлетворяет исходному уравнению.

  1. Подставим х2 в уравнение (7):


=


Проведя равносильные преобразования, получим:


Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:

Имеем истинное равенство при условии, что

Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х2 может быть корнем уравнения (6) при а > 0,5, следовательно, х2 – корень уравнения при а ≥1.


Тригонометрические уравнения.


Большинство тригонометрических уравнений с параметрами сводится к решению простейших тригонометрических уравнений трех типов. При решении таких уравнений необходимо учитывать ограниченность тригонометрических функций у = sin x и y = cos x. Рассмотрим примеры.


Пример . Решить уравнение: cos =2а.

Решение: Так как Е(соs t)=[-1; 1], то имеем два случая.

1. При |a| > 0,5 уравнение не имеет решений.

2. При |a| ≤0,5 имеем:


а) =arccos2a+2πn. Так как уравнение имеет решение, если arccos2а+2πn≥0, то n может принимать значения n=0, 1, 2, 3,.... Решением уравнения является х = 1+(2πn+аrссоs2а)2

б) =-аrссоs2а+πn. Так как уравнение имеет решение при условии, что -аrссоs2а+2πn>0, то n=1, 2, 3,..., и решение уравнения. х=1+(2πn-arccos2a)2 .

Ответ: если |a| > 0,5, решений нет;

если |a| ≤0,5 , х = 1+(2πn+аrссоs2а)2при n = 0, 1, 2,... и х=1+(2πn-arccos2a)2 при n N.


Пример . Решить уравнение: tg ax2 =


Решение:.

ах2 = +πn, n Z

Если коэффициент при неизвестном зависит от параметра, то появляется особое значение параметра. В данном случае:

1. Если а=0, то уравнение не имеет решений.

2. Если а 0, то х2 = , n Z

Уравнение имеет решение, если ≥0. Выясним, при каких значениях n

и а выполняется это условие:


≥0

откуда n и а > 0 или n и а < 0.

Итак, уравнение имеет решение х = ± , если

1) а > 0 и n = 1,2,3,… или

2) а < 0 и n Z.

Ответ: при а = 0 решений нет;

при а > 0 и n = 1,2,3,… или а < 0 и n Z х = ± .


Пример. Решите уравнение: а sin bx = 1


Решение: Особое значение параметра а : а = 0.


    1. При а = 0 решений нет.

    2. При а 0 sin bx = . Имеем 2 случая:

2.1. Если > 1, то решений нет.

2.2. Если ≤ 1, то особое значение b = 0:

2.2.1. Если b = 0, то решений нет.

2.2.2. Если b 0, то х =

Ответ: при а = 0 или > 1 и а 0 или а 0 b = 0 решений нет;

при а 0 и ≤ 1 и b 0 х =


Показательные уравнения с параметрами.


Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а f (x) = b φ(х) (*), где а > 0, b > 0.

Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и φ (х). Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:

  1. При а = b = 1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D.

  2. При а = 1, b ≠ 1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х) = 0 на области допустимых значений D.

  3. При а ≠ 1, b = 1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D.

  4. При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = φ(х) на области D.

  5. При аb (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) тождественно уравнению

log c a f(x) = log c b φ(x) (c > 0, c ≠ 1) на области D.


Пример. Решите уравнение:

Похожие рефераты: