Уравнения с параметрами
-3 -2 0 1 2 а
В соответствии с этой иллюстрацией при а= — 3 получаем х= — 3 — 3= — 6;
при a= — 2 х= — 2 — 3= — 5; при a=1 х= 1+1=2; при a=2 х=2+1=3.
Итак, можно записать
От в ет: 1) если a= — 3, то х= — 6; 2) если a= — 2, то х= — 5; 3) если a=0, то корней нет; 4) если a= l, то х=2; 5) если а=2, то х=3;
6) если а≠ -3 ;
а≠ -2 ;
а≠ 0 ; то х1 = а + 1,
а≠ 1 ; х2 = а – 3.
а≠ 2,
Иррациональные уравнения с параметрами.
Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.
П р и м ер . Решить уравнение х - = 1. (6)
Решение:
Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.
Перепишем исходное уравнение в виде:
= х – 1 (7)
При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:
2 х2 – 2х + (1 - а) = 0, D = 2а – 1.
Особое значение : а = 0,5. Отсюда :
при а > 0,5 х1,2 = 0,5 ( 1 ± );
при а = 0,5 х = 0,5 ;
при а <0,5 уравнение не имеет решений.
Проверка:
при подстановке х = 0,5 в уравнение (7), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х = 0,5 не является решением (7) и уравнения (6).
при подстановке х1 = 0,5 ( 1 ± ) в (7) получим:
-0,5 ( 1 + ) = – ( 0,5 ( 1 - ))2
Так как левая часть равенства отрицательна, то х1 не удовлетворяет исходному уравнению.
Подставим х2 в уравнение (7):
=
Проведя равносильные преобразования, получим:
Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:
Имеем истинное равенство при условии, что
Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х2 может быть корнем уравнения (6) при а > 0,5, следовательно, х2 – корень уравнения при а ≥1.
Тригонометрические уравнения.
Большинство тригонометрических уравнений с параметрами сводится к решению простейших тригонометрических уравнений трех типов. При решении таких уравнений необходимо учитывать ограниченность тригонометрических функций у = sin x и y = cos x. Рассмотрим примеры.
Пример . Решить уравнение: cos =2а.
Решение: Так как Е(соs t)=[-1; 1], то имеем два случая.
1. При |a| > 0,5 уравнение не имеет решений.
2. При |a| ≤0,5 имеем:
а) =arccos2a+2πn. Так как уравнение имеет решение, если arccos2а+2πn≥0, то n может принимать значения n=0, 1, 2, 3,.... Решением уравнения является х = 1+(2πn+аrссоs2а)2
б) =-аrссоs2а+πn. Так как уравнение имеет решение при условии, что -аrссоs2а+2πn>0, то n=1, 2, 3,..., и решение уравнения. х=1+(2πn-arccos2a)2 .
Ответ: если |a| > 0,5, решений нет;
если |a| ≤0,5 , х = 1+(2πn+аrссоs2а)2при n = 0, 1, 2,... и х=1+(2πn-arccos2a)2 при n N.
Пример . Решить уравнение: tg ax2 =
Решение:.
ах2 = +πn, n Z
Если коэффициент при неизвестном зависит от параметра, то появляется особое значение параметра. В данном случае:
1. Если а=0, то уравнение не имеет решений.
2. Если а 0, то х2 = , n Z
Уравнение имеет решение, если ≥0. Выясним, при каких значениях n
и а выполняется это условие:
≥0
откуда n ≥ и а > 0 или n ≤ и а < 0.
Итак, уравнение имеет решение х = ± , если
1) а > 0 и n = 1,2,3,… или
2) а < 0 и n Z.
Ответ: при а = 0 решений нет;
при а > 0 и n = 1,2,3,… или а < 0 и n Z х = ± .
Пример. Решите уравнение: а sin bx = 1
Решение: Особое значение параметра а : а = 0.
При а = 0 решений нет.
При а 0 sin bx = . Имеем 2 случая:
2.1. Если > 1, то решений нет.
2.2. Если ≤ 1, то особое значение b = 0:
2.2.1. Если b = 0, то решений нет.
2.2.2. Если b 0, то х =
Ответ: при а = 0 или > 1 и а 0 или а 0 b = 0 решений нет;
при а 0 и ≤ 1 и b 0 х =
Показательные уравнения с параметрами.
Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а f (x) = b φ(х) (*), где а > 0, b > 0.
Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и φ (х). Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:
При а = b = 1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D.
При а = 1, b ≠ 1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х) = 0 на области допустимых значений D.
При а ≠ 1, b = 1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D.
При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = φ(х) на области D.
При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) тождественно уравнению
log c a f(x) = log c b φ(x) (c > 0, c ≠ 1) на области D.
Пример. Решите уравнение: