Xreferat.com » Рефераты по математике » Уравнения с параметрами

Уравнения с параметрами

а х + 1 = b 3 – х


Решение. ОДЗ уравнения: х R, а > 0, b >0.


1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла.

2) При а = b = 1, х R.

3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0 х = 3.

4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а х + 1 = 1 или х + 1 = 0 х = -1.

5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х х = 1.

6) При аb (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение

по основанию а, получим:


, х + 1 = ( 3 – х ) log a b ,


Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;

при а = b = 1, х R;

при а = 1, b ≠ 1 х = 3.

при а ≠ 1, b = 1 х = -1

при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1

при аb (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)


Логарифмические уравнения с параметром.


Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.


Пример. Решите уравнение 2 – log (1 + х) = 3 log а - log ( х 2 – 1 )2


Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.


Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:

log а а2 + log ( х2 - 1) = log а ()3 + log a,


log а ( а2 (х2 - 1)) = log а (()3 ),


а2 (х2 - 1) = (х - 1) ,


а2 (х - 1) (х + 1) = (х - 1)


Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х - 1)

а2 =


Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:


а4 (х + 1) = х – 1 а4 х + а4 = х – 1 х( 1 - а4 ) = а4 + 1


Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то


Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть

Выясним, при каких значениях параметра а это неравенство истинно:


,

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а4 > 0, то есть при

а < 1.

Итак, при 0 < a < 1, x > 1, значит при 0 < a < 1 х является корнем исходного уравнения.


Ответ: при а ≤ 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;

при а > 1 решений нет;

при 0 < a


ГЛАВА 2


§1. Разработка факультативных занятий по теме.


В общеобразовательных классах данная тема не берется в явном виде. Она рассматривается в заданиях более сложного характера. Например, при изучении темы "Квадратные уравнения", можно встретить следующие задания:

  1. При каком р уравнение х2 – 2х + 1 = р имеет один корень ?

  2. При каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения

х2 + ( р 2 + 4р – 5 ) хр = 0 равна нулю ?

В классах с углубленным изучением математики уравнения с параметрами целенаправленно начинают изучать с 8 класса. Именно в этот период вводится понятие "параметр". Основная задача – научить учащихся решать уравнения с одним параметром.

Ученики должны уяснить, что уравнения с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром. Отсюда и вытекает способ решения: в зависимости от структуры уравнения выделяются подмножества множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней уравнения. Нужно обратить внимание на запись ответа. В нем должно быть указано для каждого значения параметра (или множества его значений), сколько корней имеет это уравнение и какого вида.

На факультативных занятиях следует разобрать следующие виды задач:

  1. на разрешимость: определить параметры, при которых задача имеет хотя бы одно решение или не имеет решений вовсе.

  2. на разрешимость на множестве: определить все параметры, при которых задача имеет m решений на множестве М или не имеет решений на множестве М.

  3. на исследование: для каждого параметра найти все решения заданной задачи.


Разработка факультативных занятий приведена в приложении. Структура следующая:


Занятие№1. Решение линейных и квадратных уравнений

с параметрами.

Занятие№2. Решение линейных и квадратных уравнений

с параметрами.

Занятие№3. Решение дробно-рациональных и иррациональных

уравнений с параметрами.

Занятие№4. Тест


Занятие№5. Решение тригонометрических уравнений

с параметрами.

Занятие№6. Решение тригонометрических уравнений

с параметрами.

Занятие№7. Решение показательных и логарифмических

уравнений с параметрами.

Занятие№8. Тест


Занятие№1


Занятие№2


Занятие №3


Занятие № 4.


Вариант I.


  1. Решите уравнение k(x - 4) + 2 ( х + 1) = 1 относительно х.


а) при k=-2 корней нет; при k=-2 ;

б) при k-2 корней нет; при k=-2 ;

в) при k=-2 корней нет; при k=-2 и k=0,25 .


  1. Решите уравнение 2а( а - 2)х = а2 – 5а+6 относительно х


а) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ;

б) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ;

в) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 .


  1. При каких значениях b уравнение 1+2х – bx = 4+х имеет отрицательное решение.


а) b<1 ; б) b>1 ; в) b=1


  1. При каких значениях а парабола у = ах2 – 2х +25 касается оси х?


а) а=25 ; б) а=0 и а= 0,04 ; в) а=0,04.


  1. При каких значениях k уравнение (k - 2)x2 = (4 – 2k)x+3 = 0 имеет единственное решение?


а) k=-5, k= -2 ; б) k=5 ; в) k=5, k= 2 .


  1. Решите относительно х уравнение


а)при

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: