Типовой расчет

1. Найти сумму ряда:


Типовой расчет


Решение.

Разложим знаменатель на множители.


Типовой расчет


Значит,


Типовой расчет


Разложим дробь Типовой расчет, используя метод неопределённых коэффициентов.


Типовой расчет


то есть:


Типовой расчет

Типовой расчет

Типовой расчет, Типовой расчет, Типовой расчет


Следовательно,


Типовой расчет


Тогда, исходный ряд примет вид:


Типовой расчет


Найдём n – первые членов ряда, записывая дроби с одинаковыми знаменателями друг под другом:


Типовой расчет= Типовой расчетТиповой расчет

Типовой расчет= Типовой расчет Типовой расчет

Типовой расчет= Типовой расчетТиповой расчет

Типовой расчет= Типовой расчет Типовой расчет

Типовой расчет= Типовой расчетТиповой расчет

Типовой расчет= Типовой расчет Типовой расчет

Типовой расчет= Типовой расчет Типовой расчет

Типовой расчет= Типовой расчет Типовой расчет


Сложим n – первых членов ряда и найдём их сумму.


Типовой расчет.


Тогда искомая сумма равна:


Типовой расчет.


Ответ: Типовой расчет.


2. Найти сумму ряда:


Типовой расчет


Решение.

Разложим дробь Типовой расчет, используя метод неопределённых коэффициентов.


Типовой расчет


то есть:


Типовой расчет

Типовой расчет

Типовой расчет, Типовой расчет, Типовой расчет, Типовой расчет


Следовательно,


Типовой расчет


Тогда, исходный ряд примет вид:


Типовой расчет


Найдём n – первых членов ряда Типовой расчет, записывая дроби с одинаковыми знаменателями, друг под другом:


Типовой расчет= Типовой расчетТиповой расчет Типовой расчет

Типовой расчет= Типовой расчет Типовой расчет Типовой расчет

Типовой расчет= Типовой расчет Типовой расчет Типовой расчет

Типовой расчет= Типовой расчет Типовой расчет Типовой расчет

Типовой расчет= Типовой расчет Типовой расчет Типовой расчет

Типовой расчет= Типовой расчет Типовой расчет Типовой расчет

Типовой расчет= Типовой расчет Типовой расчет Типовой расчет

Типовой расчет= Типовой расчет Типовой расчет Типовой расчет

Сложим n – первых членов ряда


Типовой расчет


и найдём их сумму.


Типовой расчет.


Тогда искомая сумма равна:


Типовой расчет


Ответ: Типовой расчет.

3. Исследовать ряд на сходимость


Типовой расчет


Решение.

Так как Типовой расчет, то рассмотрим ряд


Типовой расчет, тогда


Типовой расчет


Воспользуемся признаком Даламбера.


Типовой расчет, Типовой расчет


Тогда,

Типовой расчет


Так как Типовой расчет, то ряд Типовой расчет сходится. Значит, исходный ряд Типовой расчет сходится по теореме о сравнении рядов.

Ответ: Ряд Типовой расчет сходится.


4. Исследовать ряд на сходимость


Типовой расчет


Решение.

Преобразуем n – член этого ряда.


Типовой расчет


Сравним ряд Типовой расчет с рядом Типовой расчет, пользуясь предельным признаком сравнения:


Типовой расчет, Типовой расчет


Тогда,


Типовой расчет


Поскольку А = 1 (0<A<+∞) – действительное число. Следовательно, ряды либо сходятся, либо расходятся. Ряд Типовой расчет - является рядом Дирихле. Так как α = 3 > 1, то данный ряд сходится. Следовательно, и сравниваемый ряд Типовой расчет тоже сходится.

Ответ: ряд Типовой расчет сходится.

5. Исследовать ряд на сходимость


Типовой расчет


Решение.

Воспользуемся признаком Даламбера.


Типовой расчет, Типовой расчет


Находим m по формуле:


Типовой расчет


Тогда:

Типовой расчет


Так как Типовой расчет, то ряд Типовой расчет расходится.

Ответ: ряд Типовой расчет расходится.


6. Исследовать ряд на сходимость


Типовой расчет


Решение.

Рассмотрим ряд


Типовой расчет.


Поскольку Типовой расчет при Типовой расчет:


Типовой расчет


Воспользуемся признаком Даламбера.


Типовой расчет,

Типовой расчет


Находим m по формуле:


Типовой расчет


Тогда:


Типовой расчет

Типовой расчет


Так как Типовой расчет, то ряд Типовой расчет сходится.

Согласно признаку сравнения сходится и ряд Типовой расчет.

Ответ: ряд Типовой расчет сходится.

7. Вычислить сумму ряда с точностью α..


Типовой расчет α. = 0,001.


Решение.

Прежде чем находить сумму ряда необходимо убедиться, что данный ряд сходится. Проверим исходный ряд на сходимость.


Типовой расчет - числовой знакочередующейся.


Воспользуемся признаком Лейбница:


1) Типовой расчет

Типовой расчет

2) Типовой расчет

Типовой расчет


Следовательно, ряд Типовой расчет условно сходится.

Проверим абсолютную сходимость ряда Типовой расчет. Рассмотрим ряд Типовой расчет.

Воспользуемся признаком Даламбера:


Типовой расчет, Типовой расчет


Находим m по формуле:


Типовой расчет


Тогда:Типовой расчет


Следовательно, ряд


Типовой расчет сходится абсолютно.


Вычисляем члены ряда с точностью до 4 цифр после запятой до тех пор, пока какой-нибудь член ряда по модулю не будет меньше α. = 0,001:

а1 = -1,5 а2 = 0,1042 а3 = - 0,0016 а4 = 0,0000093

Для приближённого вычисления ряда достаточно первых трех членов ряда (по следствию признака Лейбница: сумма сходящегося знакопеременного числового ряда не превышает его первого члена). Следовательно, ошибка при вычислении не превысит 0,0000093, а, значит, и Типовой расчет. Требуемая точность достигнута.

Следовательно:


Типовой расчет.


Ответ: Типовой расчет.

8. Найти область сходимости функционального ряда


Типовой расчет


Решение.

Рассмотрим два интервала:

1) Типовой расчет

Проверим необходимый признак сходимости рядов: Типовой расчет

Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при Типовой расчет ряд Типовой расчет расходится.

2) Типовой расчет, то есть Типовой расчет

Проверим необходимый признак сходимости рядов: Типовой расчет


Типовой расчет


Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при Типовой расчет ряд Типовой расчет расходится.

При Типовой расчет имеем:


Типовой расчет


то есть ряд расходится.

Окончательно, получаем ряд расходится Типовой расчет при любом Х

Ответ: Типовой расчет


9. Найти область сходимости функционального ряда


Типовой расчет


Решение.

Воспользуемся признаком Даламбера:


Типовой расчет.


В данном примере:


Типовой расчет ,

Типовой расчет.

Типовой расчет


Следовательно, ряд Типовой расчет сходится при любом Х, т.е. Типовой расчет

Ответ: Типовой расчет.

10. Найти сумму ряда:


Типовой расчет


Решение.

Найдём область абсолютной сходимости ряда, пользуясь признаком Даламбера:


Типовой расчет

Типовой расчет

Типовой расчет


то есть Типовой расчет. Ряд сходится для тех значений Х, для которых Типовой расчет, то есть Типовой расчет, Типовой расчет.

При Типовой расчет ряд расходится, так как Типовой расчет.

Следовательно, Типовой расчет.

Перепишем данный ряд:


Типовой расчет


Обозначим сумму трёх рядов через Типовой расчет, Типовой расчет и Типовой расчет соответственно, тогда


Типовой расчет .


Определяем область сходимости этих рядов, пользуясь признаком Даламбера:


1) Типовой расчет:

Типовой расчет

Типовой расчет

Типовой расчет


то есть Типовой расчет. Ряд сходится для тех значений Х, для которых Типовой расчет, то есть Типовой расчет, Типовой расчет.

Следовательно, Типовой расчет.


2) Типовой расчет:

Типовой расчет

Типовой расчет

Типовой расчет

Похожие рефераты: