Xreferat.com » Рефераты по математике » Целая и дробная части действительного числа

Целая и дробная части действительного числа

Т.С. Кармакова , доцент кафедры алгебры ХГПУ

В различных вопросах теории чисел, математического анализа, теории рекурсивных функций и в других вопросах математики используются понятия целой и дробной частей действительного числа.

В программу школ и классов с углубленным изучением математики включены вопросы, связанные с этими понятиями, но на их изложение в учебнике алгебры для 9 класса [1] отведено всего 34 строки. Рассмотрим более подробно эту тему.

Определение 1

Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х.

Целая часть числа обозначается символом [х ] и читается так: “целая часть х” или: “целая часть от х ”. Иногда целая часть числа обозначается Е(х) и читается так: “антье х ” или “ антье от х ”. Второе название происходит от французского слова entiere – целый.

Пример.

Вычислить [x], если х принимает значения:

1,5; 3; -1.3; -4.

Решение

Из определения [x] следует:

[1,5] = 1, т.к. 1Целая и дробная части действительного числаZ, 1 Целая и дробная части действительного числа 1,5

[ 3 ] = 3, т.к. 3Целая и дробная части действительного числаZ, 3 Целая и дробная части действительного числа 3

[-1,3]=-2, т.к. –2Целая и дробная части действительного числаZ, -2 Целая и дробная части действительного числа -1,3

[-4] =-4, т.к. -4Целая и дробная части действительного числаZ, -4Целая и дробная части действительного числа-4.

Свойства целой части действительного числа.

1°. [ x ] = x , если хЦелая и дробная части действительного числаZ

2°. [ x ]Целая и дробная части действительного числа x  [ x ] + 1

3°. [ x + m ] = [ x ] + m , где mЦелая и дробная части действительного числа Z

Рассмотрим примеры использования этого понятия в различных задачах.

Пример 1

Решить уравнения:

1.1[ x ] = 3

[ x + 1,3 ] = - 5

[ x + 1 ] + [ x – 2] – [x + 3 ] = 5

1.4 [ x ]Целая и дробная части действительного числа- 7 [ x ] + 10 = 0

  Решение

1.1 [ x ] = 3. По свойству 2° данное уравнение равносильно неравенству 3 Целая и дробная части действительного числа х  4

Ответ : [ 3 ; 4 )

[ x + 1,3 ] = - 5. По свойству 2° :

- 5 Целая и дробная части действительного числа х + 1,3  - 4 Целая и дробная части действительного числа - 6,3 Целая и дробная части действительного числа х  - 5,3

Ответ : [ -6,3 ; -5,3 )

[ x + 1 ] + [ x – 2 ] – [ x + 3 ] = 5. По свойству 3°:

[ x ] + 1 + [ x ] – 2 – [ x ] – 3 = 5 Целая и дробная части действительного числа

Целая и дробная части действительного числа [ x ] = 9 Целая и дробная части действительного числа 9 Целая и дробная части действительного числа x  10 (по 2° )

Ответ : [ 9 ; 10 )

1.4 [ x ]Целая и дробная части действительного числа- 7 [ x ] + 10 = 0 Пусть [ x ] = t , тогда tЦелая и дробная части действительного числа - 7 t + 10 = 0 Целая и дробная части действительного числа Целая и дробная части действительного числа , т.е.

Целая и дробная части действительного числа Целая и дробная части действительного числа Целая и дробная части действительного числа 

Ответ : [ 2 ; 3 ) Целая и дробная части действительного числа [ 5 ; 6)

Пример 2.

Решить неравенства:

2.1 [ x ] Целая и дробная части действительного числа 2

[ x ] > 2

[ x ] Целая и дробная части действительного числа 2 

[ x ] < 2

[ x ]Целая и дробная части действительного числа - 8 [ x ] + 15 Целая и дробная части действительного числа 0

Целая и дробная части действительного числа

 Решение

2.1 Согласно определению [ x ] и 1°, этому неравенству удовлетворяют хЦелая и дробная части действительного числа

 Ответ : [ 2 ; Целая и дробная части действительного числа).

2.2 Решение этого неравенства: хЦелая и дробная части действительного числа.

 Ответ : [ 3 ; Целая и дробная части действительного числа ).

2.3 x < 3

2.4 x < 2

2.5 Пусть [ x ] = t , тогда данное неравенство равносильно системе Целая и дробная части действительного числа Целая и дробная части действительного числа

Целая и дробная части действительного числаЦелая и дробная части действительного числа 3Целая и дробная части действительного числа

 Ответ : [ 3; 6 ).

2.6 Пусть [ x ] = t , тогда получим . Целая и дробная части действительного числа

 Ответ : (-Целая и дробная части действительного числа.

Пример 4.

Постройте график функции y = [ x ]

Решение

1). ООФ: х Целая и дробная части действительного числа R

2). МЗФ: y Целая и дробная части действительного числа Z

Целая и дробная части действительного числа

3). Т.к. при х О [ m ; m + 1), где m О Z , [ x ] = m, то и y = m, т.е. график представляет совокупность бесконечного множества горизонтальных отрезков, из которых исключены их правые концы. Например, х О [ -1 ; 0 ) Ю [ x ] = -1 Ю y = - 1 ; x О [ 0; 1) Ю [ x ] = 0 Ю y = 0.

Примечание.

1. Имеем пример функции, которая задается разными аналитическими выражениями на разных участках.

2. Кружочками отмечены точки, не принадлежащие графику.

Определение 2.

Дробной частью действительного числа х называется разность х – [ x ]. Дробная часть числа х обозначается символом { x }.

Пример.

Вычислить { x }, если х принимает значение : 2,37 ; -4 Целая и дробная части действительного числа; 3,14 . . .; 5 .

Решение

{ 2,37 } = 0,37 , т.к. { 2,37 } = 2,37- [ 2,37 ] = 2,37 – 2 = 0,37.

Целая и дробная части действительного числа, т.к. Целая и дробная части действительного числа 

{ 3,14…} = 0,14… , т.к. Целая и дробная части действительного числа{ 3,14…} = 3,14…-[ 3,14…] = 3,14…-3= 0,14…

{ 5 } = 0 , т.к. { 5 } = 5 – [ 5 ] = 5 – 5 = 0.

Свойства дробной части действительного числа.

1°. { x } = x – [ x ]

2°. 0 Целая и дробная части действительного числа { x } < 1

3°. { x + m } = { x }, где m О Z

4°. { x } = x , если х О [ 0 ; 1)

5° Если { x } = а , a О [ 0 ; 1), то х =а +m, где m О Z

6°. { x } = 0 , если х О Z.

Рассмотрим примеры применения понятия { x } в различных упражнениях.

Пример 1.

Решить уравнения:

1.1 { x } = 0,1

1.2 { x } = -0,7

{ x } = 2,5

{ x + 3 } = 3,2

{ x }Целая и дробная части действительного числа - Целая и дробная части действительного числа{ x } + Целая и дробная части действительного числа

Решение

По 5° решением будет множество

х = 0,1 + m , m О Z

1.2 По 2° уравнение не имеет корней, х О Ж

1.3 По 2° уравнение не имеет корней, х О Ж

По 3° уравнение равносильно уравнению

{ x }+ 3 = 3,2 Ю { x } = 0,2 Ю x = 0,2 + m , m О Z

1.5 Уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Целая и дробная части действительного числа  Ответ: хЦелая и дробная части действительного числа= Целая и дробная части действительного числа

хЦелая и дробная части действительного числа= Целая и дробная части действительного числа

Пример 2.

Решить неравенства:

2.1 { x }Целая и дробная части действительного числа 0,4

2.2 { x } Целая и дробная части действительного числа 0

{ x + 4 } < 4,7

Целая и дробная части действительного числа 

{ x }Целая и дробная части действительного числа-0,7 { x } + 0,2 > 0

Решение

2.1 По 5° : 0,4 + m Целая и дробная части действительного числа x < 1 + m, где m О Z

2.2 По 1° : х О R

По 3° : {x } + 4 < 4,7 Ю { x }< 0,7.

По 5° : m < x < 0,7 + m , m О Z

2.4 Так как { x } Целая и дробная части действительного числа 0, то { x } - 1 > 0, следовательно, получим 2 { x } + 1 < Целая и дробная части действительного числа Ю Целая и дробная части действительного числаЮ { x } < 1 Ю x О R

2.5 Решим соответствующее квадратное уравнение:

{ x }Целая и дробная части действительного числа- 0,7 { x } + 0,2 = 0 Ю Целая и дробная части действительного числа Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств: Целая и дробная части действительного числа

Ответ : ( 0,5 + m ; 1 + m ) Целая и дробная части действительного числа ( k ; 0,2 + k ),

m О Z , k О Z

Пример 3.

Построить график функции y = { x }

 Построение.

1). ООФ : x О R

2). МЗФ : y О [ 0 ; 1 )

3). Функция y = { x } периодическая и ее период

T = m , m О Z, т.к. если х О R, то (x+m) О R

и (x-m) О R, где m О Z и по 3° { x + m } =

{ x – m } = { x }.

Наименьший положительный период равен 1, т.к. если m > 0, то m = 1, 2, 3, . . . и наименьшее положительное значение m = 1.

4). Так как y = { x } – периодическая функция с периодом 1, то достаточно построить ее график на каком-нибудь промежутке, длиной 1, например, на промежутке [ 0 ; 1 ), тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного на m, m О Z, график будет таким же.

а). Пусть х О [ 0 ; 1 ), тогда { x } = x и y = x . Получим , что на промежутке [ 0 ; 1 ) график данной функции представляет отрезок биссектрисы первого координатного угла, из которого исключен правый конец.

Целая и дробная части действительного числа

б). Воспользовавшись периодичностью, получаем бесконечное множество

Похожие рефераты: