Xreferat.com » Рефераты по математике » Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ

Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ

Экзаменационная программа

По курсу математического анализа для студентов групп 03-112 - 116.

1. Понятие n-мерного арифметического пространства Rn. Метрика. Метрические простран­ства. Открытые и замкнутые множества в Rn.

2. Общее определение функции. Сложная, неявно и параметрически заданная функции, об­ратная функция.

3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой по­следовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Пере­ход к пределу в неравенствах.

5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точки а } функции f(х), имею­щей конечный предел при х а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Пре­дельный переход в неравенствах.

7. Теорема о пределе сложной функции.

8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.

9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функ­ции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции.

10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность.

11. Теорема о непрерывности сложной функции.

12. Теорема о непрерывности обратной функции.

13. Непрерывность элементарных функций.

14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходи­мость ряда

15. Свойства сходящихся рядов.

16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения.

17. Признаки Даламбера и Коши.

18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.

19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и

. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

20. Ряды с комплексными членами.

21. Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производ­ной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и норма­ли к графику функции.

23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функ­циями.

24. Производная сложной функции.

25. Производная обратной функции.

26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций.

27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

28. Параметрическое дифференцирование.

29. Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия.

30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация.

31. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.

32. Теорема Коши.

33. Правило Лопиталя.

34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена.

36. Признак монотонности функции.

37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции.

38. Выпуклость и точки перегиба.

39. Асимптоты.

40. Первообразная и ее свойства.

41. Неопределенный интеграл и его свойства.

42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

43. Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей.

44. Интегрирование иррациональностей.

45. Интегрирование тригонометрических выражений.

46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции

47. Свойства определенного интеграла,

48. Теорема о среднем.

49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.

50. Формула Ньютона - Лейбница

51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.

52. Площадь плоской фигуры.

53.Несобственные интефалы. Основные определения и свойства.

54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предель­ный признак сравнения.

55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла.


#1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rn. {Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ xR'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки xX >0 такая что U(x,) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во.} Метрическим пространством называется пара (x,) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции опред на множ Х и удовл след св-вам 1 (x,y)=0 x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x) x,yX; 3) p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y) x,y,z X в этом случае функция метрикой число р(х,у)- расст м/у точками х и у

#2Если каждому значению перем величины х принадл мн-ву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется ф-ей от оси х или зависимой переменной определенной на множ Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мн-ву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. {}Ф-ия у от х заданная цепью равенств у=f(u) u=(x) и т.п. назыв сложной ф-ией или композицией ф-ий f и u {}Ф-ия заданная ур-нием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример: х*х*х +у*у*у=1 у – неявная ф-ия от х {}пусть на множ Т заданы 2 ф-ии х=(t) у=(t) :TX :TY причем для функции ф существует обратная t=(x) :X T тогда на множ Х опред ф-ия f:XY следующим равенством f(x)=((x)) ф-ия f назыв параметрич заданной ф-иями (t) (t) {}обр ф-ия пусть f:ХY взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение g:YX yY g(y)=x где хХ такой что f(x)=y такое отображ называется обратным к f и обознач f( в степ -1)

#3Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f: N®X называется послед эл-тов Х элемент f(n) n-ый член последовательности и обозн хn cама послед f:N®X обозн {Xn} или Хn n=1,2,3… число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(n®Ґ)xn если "e>0 $ne =n(e)ОN тако что при n>ne выполн нер-во /Хn-А/<e нер-во эквивал след.: А-ee обознач на граф чертеже эти точки тогда данное нер-во означ что все члены послед начиная с нек номера попадают в интервал (А-e;А+e). Если {Хn} имеет предел то он единственный {Док-во} предп обратное lim(n®Ґ)xn=a lim(n®Ґ)xn=b aЮ для e1=r-a>0 $n1 при n>n1 /xn-a/<e1=r-a Ю a-r Ю xnn1 для e2=b-r>0 $ n2 такое что при n>n2 /xn-b/<e2=b-r Ю r-b xn>r при n>n2 пусть no=max(n1,n2)=> при n>no xn>r xn a=b Теор док.{Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.

#4послед {xn} назыв б м п если lim(n®Ґ)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Док-во т.к {xn} ббп => "e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/<e при n>ne = lim(n®Ґ) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич => $M>0 такое что /уn/" n пусть e>0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/<e/M => при n>ne /xnyn/=/xn/yn<(e/M)*M=e => lim(n®Ґ)(xnyn)=0 чтд {Т} Если n0:n>n0 aNbNcN и Lim aN=a, Lim cN=c, причем a=c, то Lim bN=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда n’: n>n’ => cN<(a+E) & n”: n>n” => (a-E)N. При n>max{n0,n’,n”} (a-E)NbNcN<(a+E), т.е. n>max{n0,n’,n”}=>bN(a-E,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim xN=x, Lim yN=y, n0: n>n0 хNyN, тогда xy {Док-во} (от противного): Пусть х>у => по определению предела n0’: n>n0’ |хN-х| n0”: n>n0” |yN-y|n>max{n0’, n0”}: |хN-х|<|х-у|/2 & |уN-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)(х-Е,х+Е)=. n>max{n0’, n0”} хN(х-Е,х+Е) & уN(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.

#5 {О предела ф-ции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. «а» за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется пределом ф-ции при xa если E>0 =(E)>0 : x 0<|x-a|< вып. |f(x)-A|xaf(x)=} Если E{бол}>0 =(E)>0 | x 0<|x-a|< |f(x)| limxaf(x)= {O limxaf(x)=+} Если E>0 =(E)>0 : x 0<|x-a|< вып f(x)>E {O limxaf(x)=-} Если E>0 =(E)>0 : x 0<|x-a|< вып f(x)<-E {O limxf(x)=A} Если >0 =()>0 : x |x|> вып |f(x)-A|< {O limxf(x)=} Если E{бол}>0 =(E)>0 : x |x|> вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x) ghb xa+0(-0) называется число А / >0 =()>0 при x a(-)) |f(x)-A|< A=limxa+0(-0)f(x){Теорема о единственности предела} Если ф-ция f(x) имеет limxa, то он единственный. {Д} Предположим обратное пусть limxaf(x)=A limxaf(x)=B выберем окрестности точек А и В так, чтобы они не пересекались U(A;); U(B;), тогда для данного 1) =()>0 | при x 0<|x-a|< |f(x)-A|< f(x)U(A;) 2) 2=2()>0 | при x 0<|x-a|<2 |f(x)-B|< f(x)U(B;) Пусть 0=max(1,2), тогда при х уд. 0<|x-a|<0 вып. f(x)U(A;E), f(x)U(B;E) Эти две окрестности пересекаются, что противоречит выбору этих окрестностей т.о. А=В Ч.т.д.{Теорема об орграниченности на нек окрестности (.)а f(x)} Если при xa f(x) имеет конеч lim=A , то она ограничена в некоторой окрестности точки а.{Док-во} Т.к. limxaf(x)=A, то для =1 >0 | при x 0<|x-a|< вып. |f(x)-A|<1 |f(x)|=|f(x)-A+A||f(x)-A|<|f(x)-A|+|A|<1+|A| при х уд 0<|x-a|< -это означает что f(x) ограничена (.)а {ББ и БМ ф-ции}{О} Ф-ция f(x) называется БМ ха если limxaf(x)=0 {o} ф-ция ББ если limxaf(x)=+(-) {T} Если f(x) бб при ха, то 1/f(x) бм при ха. Если f(x) бм при ха и она отлична от 0 в некоторой окрестности (.) a, то 1/f(x) – бб при ха {Док} Возьмём E>0 =(E) >0 | при x уд. 0<|x-a|< |f(x)|>1/E 1/f(x)x уд 0<|x-a|< 1/f(x) бм при xa Пусть f(x) – бм при xa и 1>0 | x, уд. 0<|x-a|<1 f(x)0 возьмём E{бол}>0 тогда 2>0 | при 0<|x-a|<2 |f(x)|<1/E{бол}, пусть =min(,2) при x , 0<|x-a|< вып-ся f(x)0, |f(x)|<1/E 1/f(x)>E 1/f(x) –бб при ха {T} Сумма двух б.м при xa есть бм при xa {Д} Пусть limxaf1(x)=0 limxaf2(x)=0 >0, тогда 1=1()>0 | при х 0<|x-a|<1 |f1(x)|</2 2=2()>0 | при x, 0<|x-a|<2 |f2(x)|</2 Пусть =min(1,2) x 0<|x-a|< |f1(x)+f2(x)|<=|f1(x)|+|f2(x)|=/2+/2= limxa(f1(x)+f2(x))=0 {T}Произведение бм при xa на ф-цию ограниченную в некоторой окрестности есть бм при xa {Док} Пусть limxag(x)=0, а ф-ция g(x) ограничена в U(,1) т.е. >0 | х U(a,1) |g(x)|< >0 2>0 | при x, 0<|x-a|<2 |g(x)|</ ; Пусть =min(1,2) x, 0<|x-a|< |f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|</= limxaf(x)g(x)=0

#6 {Т о связи ф-ии и ее пределов.}Для того чтобы А было lim ф-ии f(x) при ха А=lim(a)f(x) f(x)=A+(x) ;Где (x) – б м ф-ия при ха {док-во} Пусть А=lim(ха) f(x) предположим ; (x)=f(x)-A и докажем что (x)-б м ф при ха. Возьмем >0 завис от такое что ()>0 такое что х, 0 => /f(x)-A/< => /(x)/=/f(x)-A/< таким образом (x) – бмф при ха пусть f(x)= (x)+A где (x) – бмф при ха тогда при >0 >0 такая что х удв 0 выполняется /(x)/< => /f(x)-A/=/(x)/ < => limа)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при ха =А и сущ limа)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В0 ; 1-e св-во тк lim(ха)f1(x)=A и lim(ха)f2(x)=B => f1(x)=A+1(x) f2(x)=B+2(x) где 12 бм ф-ии при ха тогда f1(x)+f2(x)=A+B+12= A+B+(x)== где (х) бмф т.к. сумма 2х бм ==lim(ха)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство} пусть limа)f1(x)=b1 limа)f2(x)=b2 и b1 U(a,) такая что х U(a,) => f1(x) 1)1=c-b1>0 1>0 так что хU(a,) /f1(x)-b1/<1 = c-b1 => b1-c f1(x)2=b2-c 2>0 так что хU(a,) =>/f2(x)-b2/<=b2-c => c-b2 =min(12) =>хU(a,) => f1(x) f1(x)а)f1(x)=b1 limа)f2(x)=b2 и U(a,) так что хU(a,) f1(x)<=f2(x)=> b1<=b2 {док} противоп утверждение те b1>=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a,) так что хU(a1,1) => f1(x)>f2(x) o =min(12) =>хU(a1,o) => f1(x)f2(x)- по док-ву => противор =>b1<=b2 чтд {Т} Пусть существует limxa(x) ; limxaf(x) причём limxa(x)=A limxa(x)=A и в некоторой окр-ти U(a,) вып-ся (x)f(x)(x) тогда limxaf(x)=A {Док-во} E>0 2>0 | x 0<|x-a|<2 A-E<(x)3>0 | x, 0<|x-a|<3 A-E<(x)=min(1,2,3) x 0<|x-a|< A-E<(x)f(x)(x) |f(x)-A|

#7{Теорема о пределе сложной ф-ции} Пусть limxaf(x)=A limyAg(y)=B и в некоторой U(a,1) определена сложная ф-ция g(f(x)) и f(x)А тогда limxag(f(x))=limyAg(y) {Док-во} E>0 т.к. limyAg(y)=B >0 |y , 0<|y-A|< |g(y)-B| limxaf(x)=A для Е1= <1 | x , 0<|x-a|< 0<|f(x)-A|< x, 0<|x-a|< |g(x)-B|limxag(f(x))=B=limyAg(y)

#8{сравнение ф-ций} f(x) есть O-большое от ф-ци от ф-ции g(x) на мн-ве Е и пишут f(x) =O(g(x)) на E , если C>0 | |f(x)|C(g(x)) x E f(x)=O(1) на E f(x) ограничена на Е т.е. С>0 | |f(x)|C xE Пусть ф-ция f(x) и g(x) –определены в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой (.) f(x) есть o-малое от g(x) при xa и пишут f(x)=o(g(x)), xa , если в некоторой выколотой окрестности а имеет место f(x)=E(x)g(x), где limxfE(x)=0 x=o(x), x0 f(x)=og(x) , xa E(x)=x h(x)=o(g(x)), xa; (x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x)) xa f(x) есть O-большое от g(x) при xa, если U(a) | f(x)=O(g(x)) на U(a) пишут f(x)=O(g(x)), xa Ф-ции f(x) и g(x) называется эквивалентами xa, если эти ф-ции определены и отличны и отличны от 0 в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой точки и существует предел limxaf(x)/g(x)=1 пишут f(x)g(x) xa {Т} Для того, чтобы ф-ция f(x) и g(x) были эквивалентны, необходимо и достаточно f(x)=g(x)+o(g(x)) xa g(x)0 (xa) {Док-во} Пусть f(x)g(x) , xa тогда по определению g(x) отлично от 0 в U(0) и limxaf(x)/g(x)=1 E(x), E(x)0 при xa | f(x)/g(x)=1+E(x) f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)), xa. Обратно Пусть f(x)=g(X)+o(g(x)) xa , g(x)+o(x+a) f(x)=g(x)+E(x)g(x), где limxaE(x)=0 f(x)/g(x)=1+E(x) limxaf(x)/g(x)=1 f~g(x) xa {Сранение бесконечно малых ф-ций} Пусть f(x) и g(x) –б.м. ф-ции при xa g(x)0 в некоторой U(a) {O} Если отношение f(x)/g(x) при xa имеет конечный и отличный от 0 предел, то ф- ции называются б.м. одного порядка. Если f(x)/g(x)=0 то f(x) само является бесконечно б.м. более высокого порядка по сравнению с g(x) при xa {O} Ф-ция f(x) называется б.м. к-ого относительно б.м. g(x) при xa, Если ф-ция f(x) и gk(x) б.м. одного порядка при xa

9{Непрерывность ф-ции в точке} Ф-ия назыв непрерывной в точке а если (дельта)f(a)=f(a+h)-f(a) определена в окр точки h=0 и для  >0 =()>0 такое что h /h/< /f(a+h)-f(a)/< Для того чтобы ф-ия была f(x) была непрерывна в т а необход и достаточно чтобы сущ f(a+0), f(a-0) и f(a+0)=f(a)=f(a-0){Одностороняя непрерывность} Ф-ция наз. непрерывной справа (слева) если существует f(a+0)=limxa+0f(x) (f(a-0)=limxa-0f(x)) и f(a+0)=f(a) (f(a-0)=f(a)) {классифик точек разрыва} если для ф-ии f(x) в т а f(a+0), f(a-0) конечные значения но ф-ия в точке а имеет разрыв. то говорят что она имеет разрыв 1-го рода если ф-ия в точке а имеет разрыв не 1-го рода то такой разрыв называется разрывом второго рода.{Теорема о сохранении знака непрерывной ф-ции} пусть ф-ия f(x) непрерывна в т а и f(a)0 тогда существует окрестность точки а :U(a) и с>0 такое что f(x)>c xU(a,) ((1)f(a)>0) f(x)< -c xU(a) при f(a)<0 {Док-во} возьмем =/f(a)//2>0 тогда >0 такое

Похожие рефераты: