Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ
Экзаменационная программа
По курсу математического анализа для студентов групп 03-112 - 116.
1. Понятие n-мерного арифметического пространства Rn. Метрика. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества в Rn.
2. Общее определение функции. Сложная, неявно и параметрически заданная функции, обратная функция.
3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.
4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Переход к пределу в неравенствах.
5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точки а } функции f(х), имеющей конечный предел при х а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Предельный переход в неравенствах.
7. Теорема о пределе сложной функции.
8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.
9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции.
10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность.
11. Теорема о непрерывности сложной функции.
12. Теорема о непрерывности обратной функции.
13. Непрерывность элементарных функций.
14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходимость ряда
15. Свойства сходящихся рядов.
16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
17. Признаки Даламбера и Коши.
18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.
19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и
. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
20. Ряды с комплексными членами.
21. Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
24. Производная сложной функции.
25. Производная обратной функции.
26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций.
27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
28. Параметрическое дифференцирование.
29. Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия.
30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация.
31. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.
32. Теорема Коши.
33. Правило Лопиталя.
34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена.
36. Признак монотонности функции.
37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции.
38. Выпуклость и точки перегиба.
39. Асимптоты.
40. Первообразная и ее свойства.
41. Неопределенный интеграл и его свойства.
42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
43. Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей.
44. Интегрирование иррациональностей.
45. Интегрирование тригонометрических выражений.
46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции
47. Свойства определенного интеграла,
48. Теорема о среднем.
49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
50. Формула Ньютона - Лейбница
51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
52. Площадь плоской фигуры.
53.Несобственные интефалы. Основные определения и свойства.
54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла.
#1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rn. {Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ xR'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки xX >0 такая что U(x,) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во.} Метрическим пространством называется пара (x,) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции опред на множ Х и удовл след св-вам 1 (x,y)=0 x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x) x,yX; 3) p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y) x,y,z X в этом случае функция метрикой число р(х,у)- расст м/у точками х и у
#2Если каждому значению перем величины х принадл мн-ву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется ф-ей от оси х или зависимой переменной определенной на множ Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мн-ву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. {}Ф-ия у от х заданная цепью равенств у=f(u) u=(x) и т.п. назыв сложной ф-ией или композицией ф-ий f и u {}Ф-ия заданная ур-нием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример: х*х*х +у*у*у=1 у – неявная ф-ия от х {}пусть на множ Т заданы 2 ф-ии х=(t) у=(t) :TX :TY причем для функции ф существует обратная t=(x) :X T тогда на множ Х опред ф-ия f:XY следующим равенством f(x)=((x)) ф-ия f назыв параметрич заданной ф-иями (t) (t) {}обр ф-ия пусть f:ХY взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение g:YX yY g(y)=x где хХ такой что f(x)=y такое отображ называется обратным к f и обознач f( в степ -1)
#3Пусть
Х какое либо
мн-во всякое
отобр f:
N®X
называется
послед эл-тов
Х элемент f(n)
n-ый
член последовательности
и обозн хn
cама
послед f:N®X
обозн {Xn}
или Хn
n=1,2,3…
число а назыв
пределом послед
{Xn}
и обозн А=lim(n®Ґ)xn
если "e>0
$ne
=n(e)ОN
тако что при
n>ne
выполн нер-во
/Хn-А/<e
нер-во эквивал
след.: А-e
#4послед
{xn}
назыв б м п если
lim(n®Ґ)xn=0
послед {xn}
назыв б б п если
она имеет своим
пределом
бесконечнось.
Если {xn}
ббп то 1/{xn}
бмп Док-во т.к
{xn}
ббп => "e>0
$ne=n(e)
такое что при
n>ne
вып неравенство
/xn/>1/e
=> 1//xn/<e
при n>ne
= lim(n®Ґ)
1/xn=0
{T}произвед
беск малой на
огранич есть
бмп {док-во} пусть
{xn}-
бмп а {уn}-
огранич => $M>0
такое что /уn/
#5 {О
предела ф-ции}
Пусть f(x)
определенна
в некоторой
окрестности
т. «а» за исключунием
быть может
самой этой
точки а. Число
А – называется
пределом ф-ции
при xa
если E>0
=(E)>0
: x
0<|x-a|<
вып. |f(x)-A|
#6
{Т о связи ф-ии
и ее пределов.}Для
того чтобы А
было lim
ф-ии f(x)
при ха
А=lim(a)f(x)
f(x)=A+(x)
;Где (x)
– б м ф-ия при
ха
{док-во} Пусть
А=lim(ха)
f(x)
предположим
; (x)=f(x)-A
и докажем что
(x)-б
м ф при ха.
Возьмем
>0
завис от
такое что ()>0
такое что х,
0
=> /f(x)-A/<
=> /(x)/=/f(x)-A/<
таким образом
(x)
– бмф при ха
пусть f(x)=
(x)+A
где (x)
– бмф при ха
тогда при
>0
>0
такая что х
удв 0
выполняется
/(x)/<
=> /f(x)-A/=/(x)/
<
=> lim(ха)f(x)=A
{Арифмитические
операции над
пределами ф-ций
Т }пусть сущ
предел f1(x)
при ха
=А и сущ lim(ха)f2(x)=B
1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B
2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB
3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B
при В0
; 1-e
св-во тк lim(ха)f1(x)=A
и lim(ха)f2(x)=B
=> f1(x)=A+1(x)
f2(x)=B+2(x)
где 12
бм ф-ии при ха
тогда f1(x)+f2(x)=A+B+12=
A+B+(x)==
где (х)
бмф т.к. сумма
2х бм ==lim(ха)(f1(x)+f2(x))=A+B
{предельный
переход в
неравенство}
пусть lim(ха)f1(x)=b1
lim(ха)f2(x)=b2
и b1
#7{Теорема
о пределе сложной
ф-ции} Пусть
limxaf(x)=A
limyAg(y)=B
и в некоторой
U(a,1)
определена
сложная ф-ция
g(f(x))
и f(x)А
тогда limxag(f(x))=limyAg(y)
{Док-во} E>0
т.к.
limyAg(y)=B
>0
|y
, 0<|y-A|<
|g(y)-B|
#8{сравнение
ф-ций} f(x)
есть O-большое
от ф-ци от ф-ции
g(x)
на мн-ве Е и пишут
f(x)
=O(g(x))
на E
, если
C>0
| |f(x)|C(g(x))
x
E
f(x)=O(1)
на E
f(x)
ограничена
на Е т.е.
С>0 | |f(x)|C
xE
Пусть ф-ция
f(x)
и g(x)
–определены
в некоторой
окрестности
(.) а за исключением
быть может
самой этой (.)
f(x)
есть o-малое
от g(x)
при xa
и пишут f(x)=o(g(x)),
xa
, если в некоторой
выколотой
окрестности
а имеет место
f(x)=E(x)g(x),
где limxfE(x)=0
x=o(x),
x0
f(x)=og(x)
, xa
E(x)=x
h(x)=o(g(x)),
xa;
(x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x))
xa
f(x)
есть O-большое
от g(x)
при xa,
если
U(a)
| f(x)=O(g(x))
на U(a)
пишут f(x)=O(g(x)),
xa
Ф-ции f(x)
и g(x)
называется
эквивалентами
xa,
если эти ф-ции
определены
и отличны и
отличны от 0 в
некоторой
окрестности
(.) а за исключением
быть может
самой этой
точки и существует
предел
limxaf(x)/g(x)=1
пишут f(x)g(x)
xa
{Т} Для того, чтобы
ф-ция f(x)
и g(x)
были эквивалентны,
необходимо
и достаточно
f(x)=g(x)+o(g(x))
xa
g(x)0
(xa)
{Док-во} Пусть
f(x)g(x)
, xa
тогда по определению
g(x)
отлично от 0 в
U(0)
и
limxaf(x)/g(x)=1
E(x),
E(x)0
при xa
| f(x)/g(x)=1+E(x)
f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)),
xa.
Обратно Пусть
f(x)=g(X)+o(g(x))
xa
, g(x)+o(x+a)
f(x)=g(x)+E(x)g(x),
где limxaE(x)=0
f(x)/g(x)=1+E(x)
limxaf(x)/g(x)=1
f~g(x)
xa
{Сранение бесконечно
малых ф-ций}
Пусть f(x)
и g(x)
–б.м. ф-ции при
xa
g(x)0
в некоторой
U(a)
{O}
Если отношение
f(x)/g(x)
при xa
имеет конечный
и отличный от
0 предел, то ф-
ции называются
б.м. одного порядка.
Если f(x)/g(x)=0
то f(x)
само является
бесконечно
б.м. более высокого
порядка по
сравнению с
g(x)
при xa
{O}
Ф-ция f(x)
называется
б.м. к-ого относительно
б.м. g(x)
при xa,
Если ф-ция f(x)
и gk(x)
б.м. одного порядка
при xa
№9{Непрерывность
ф-ции в точке}
Ф-ия назыв
непрерывной
в точке а если
(дельта)f(a)=f(a+h)-f(a)
определена
в окр точки
h=0
и для
>0
=()>0
такое что h
/h/<
/f(a+h)-f(a)/<
Для того чтобы
ф-ия была f(x)
была непрерывна
в т а необход
и достаточно
чтобы сущ f(a+0),
f(a-0)
и f(a+0)=f(a)=f(a-0){Одностороняя
непрерывность}
Ф-ция наз. непрерывной
справа (слева)
если существует
f(a+0)=limxa+0f(x)
(f(a-0)=limxa-0f(x))
и f(a+0)=f(a)
(f(a-0)=f(a))
{классифик
точек разрыва}
если для ф-ии
f(x)
в т а
f(a+0),
f(a-0)
конечные значения
но ф-ия в точке
а имеет разрыв.
то говорят что
она имеет разрыв
1-го рода если
ф-ия в точке а
имеет разрыв
не 1-го рода то
такой разрыв
называется
разрывом второго
рода.{Теорема
о сохранении
знака непрерывной
ф-ции} пусть
ф-ия f(x)
непрерывна
в т а и f(a)0
тогда существует
окрестность
точки а :U(a)
и с>0 такое что
f(x)>c
xU(a,)
((1)f(a)>0)
f(x)<
-c
xU(a)
при f(a)<0
{Док-во} возьмем
=/f(a)//2>0
тогда
>0
такое