Экстремумы функций многих переменных

Для начала рассмотрим необходимые условия экстремума функции, также определим понятие экстремума. Начнем с понятия экстремума:

Положим, что имеется некоторая функция с двумя переменными

Определение: Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума)

При этом значение называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция имеет в точке экстремум (или достигает в точке экстремума).

Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку. Вид поверхностей, изображающих поверхности функций в окрестности точек экстремума показан на рис. 1.

Теперь установим необходимые условия, при которых функция достигает в точке экстремума; для начала будем рассматривать только дифференцируемые функции.

Необходимый признак экстремума: Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны

Доказательство: Допустим, что функция имеет в точке экстремум.

Согласно определению экстремума функция при постоянном , как функция одного достигает экстремума при . Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции при ,

т. е.

Аналогично функция при постоянном , как функция одного , достигает экстремума при . Значит,

Что и требовалось доказать.

Точка , координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции , называется стационарной точкой функции.

Уравнение касательной плоскости к поверхности :

для стационарной точки принимает вид .

Следовательно, необходимое условие достижения дифференцируемой функцией экстремума в точке геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности - графику функции в соответствующей ее точке параллельна плоскости независимых переменных.

Для отыскания стационарных точек функции нужно приравнять нулю обе ее частные производные

, . (*)

и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Пример 1: Найдем стационарные точки функции

Система уравнений (*) имеет вид:

Из второго уравнения следует, что или , или .

Подставляя по очереди эти значения в первое уравнение, найдем четыре стационарные точки:

Какие из найденных точек действительно являются точками экстремума, мы установим после приведения достаточного условия экстремума.

Иногда удается, и, не прибегая к достаточным условиям, выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непосредственно следует, что рассматриваемая функция имеет где- то максимум или минимум и пи этом системе уравнений (*) удовлетворяет только одна точка (т. е. Одна пара значений x и y), то ясно, что эта пара и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции двух переменных могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуют острия поверхности - графика функции).

Так, например, функция имеет, очевидно, в начале координат минимум, равный нулю, но в этой точке функция недифференцируема; график этой функции есть круглый конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью .

Следовательно, если иметь в виду не только дифференцируемые, но и вообще непрерывные функции, то нужно сказать, что точками экстремума могут быть стационарные точки и точки, в которых функция недифференцируема.

Вполне аналогично определяется понятие экстремума функции любого числа независимых переменных.

и устанавливаются необходимые условия экстремума. Именно: Дифференцируемая функция n переменных может иметь экстремумы только при тех значениях x, y, z,..., t, при которых равны нулю все ее n частных производных первого порядка:

Эти равенства образуют систему n уравнений с n неизвестными.

Теперь определим достаточные условия для экстремума функции двух переменных. Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что эта точка обязательно является точкой экстремума. Возьмем функцию Ее частные производные равны нулю в начале координат,

однако функция экстремума не достигает. В самом деле, функция , будучи равной нулю в начале координат, имеет в любой близости к началу координат как положительные значения (в первом и третьем координатных углах), так и отрицательные (во втором и четвертом координатных углах), и значит, нуль не является ни наибольшим, ни наименьшим значением этой функции.

Достаточные условия экстремума для функции нескольких переменных носят значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной. Мы рассмотрим эти условия без доказательства только для функции двух переменных.

Пусть точка является стационарной точкой функции , т. е.

Вычислим в точке значение вторых частных производных функции и обозначим их для краткости буквами A, B и C:

Если , то функция имеет в точке экстремум: при A<0 и C<0 и минимум при A>0 и C>0 (Из условия следует, что A и C обязательно имеют одинаковые знаки).

Если, то точка не является точкой экстремума.

Если, то неясно, является ли точка точкой экстремума и требуется дополнительное исследование.

Пример:

1) Ранее в примере было установлено, что функция

имеет четыре стационарные точки:

Вторые частные производные данной функции равны

В точке имеем: A=10, B=0, C=2. Здесь ; значит, точка является точкой экстремума, и так как A и C положительны, то этот экстремум - минимум.

В точке соответственно будет A=-10, B=0, C=-4/3; .

Это точка максимума. Точки и не являются экстремумами функции (т.к. в них).

2) Найдем точки экстремума функции ;

Приравнивая частные производные нулю:

находим одну стационарную точку - начало координат. Здесь A=2, B=0, C= -2. Cледовательно, и точка (0, 0)

не является точкой экстремума. Уравнение есть уравнение гиперболического параболоида (см. Рис. 2.) по рисунку видно, что точка (0, 0) не является точкой экстремума.

Локальные Экстремумы

Определение1: Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум, если существует такая окрестность точки , для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: . При этом, т. е. приращение функции < 0.

Определение2: Говорят, что функция имеет в точке локальный минимум, если существует такая окрестность точки , для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: . При этом, т. е. приращение функции > 0.

Определение 3: Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума.

Условные Экстремумы

При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так