Xreferat.com » Рефераты по математике » Экстремумы функций многих переменных

Экстремумы функций многих переменных

Министерство общего и высшего образования Российской Федерации

Иркутский Государственный Технический Университет

 

 

 

Кафедра ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

 

 

 

Реферат

На тему: “Экстремумы функций многих переменных”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Студент группы ТЭ-97-1

Мартынов Ф.О.

Проверила:

Преподаватель кафедры

Седых Е.И.

 

 

 

 

Иркутск 1998

План реферата:

1. Понятие экстремума........................... 2

2. Необходимые условия экстремума.. 3

3. Достаточные условия экстремума... 6

4. Локальные экстремумы.................... 8

5. Условные экстремумы...................... 9

 

 

Экстремумы функций многих переменных.

Для начала рассмотрим необходимые условия экстремума функции, также определим понятие экстремума. Начнем с понятия экстремума:

Положим, что имеется некоторая функция с двумя переменными Экстремумы функций многих переменных

Определение: Точка Экстремумы функций многих переменных называется точкой экстремума (максимума или минимума)

функции Экстремумы функций многих переменных, если Экстремумы функций многих переменных есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции Экстремумы функций многих переменных в некоторой окрестности точки Экстремумы функций многих переменных.

При этом значение Экстремумы функций многих переменных называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция Экстремумы функций многих переменных имеет в точке Экстремумы функций многих переменных экстремум (или достигает в точке Экстремумы функций многих переменных экстремума).

Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку. Вид поверхностей, изображающих поверхности функций в окрестности точек экстремума показан на рис. 1.

Экстремумы функций многих переменных

Теперь установим необходимые условия, при которых функция Экстремумы функций многих переменных достигает в точке Экстремумы функций многих переменных экстремума; для начала будем рассматривать только дифференцируемые функции.

Необходимый признак экстремума: Если в точке Экстремумы функций многих переменных дифференцируемая функция Экстремумы функций многих переменных имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны

нулю:

Экстремумы функций многих переменных, Экстремумы функций многих переменных.

Доказательство: Допустим, что функция Экстремумы функций многих переменных имеет в точке Экстремумы функций многих переменных экстремум.

Согласно определению экстремума функция Экстремумы функций многих переменных при постоянном Экстремумы функций многих переменных, как функция одного Экстремумы функций многих переменных достигает экстремума при Экстремумы функций многих переменных. Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции Экстремумы функций многих переменных при Экстремумы функций многих переменных,

т. е.

Экстремумы функций многих переменных.

Аналогично функция Экстремумы функций многих переменных при постоянном Экстремумы функций многих переменных, как функция одного Экстремумы функций многих переменных, достигает экстремума при Экстремумы функций многих переменных. Значит,

Экстремумы функций многих переменных

Что и требовалось доказать.

Точка Экстремумы функций многих переменных, координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции Экстремумы функций многих переменных, называется стационарной точкой функцииЭкстремумы функций многих переменных.

Уравнение касательной плоскости к поверхности Экстремумы функций многих переменных:

Экстремумы функций многих переменных

для стационарной точки Экстремумы функций многих переменных принимает вид Экстремумы функций многих переменных.

Следовательно, необходимое условие достижения дифференцируемой функцией Экстремумы функций многих переменныхэкстремума в точке Экстремумы функций многих переменных геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности - графику функции в соответствующей ее точке параллельна плоскости независимых переменных.

Для отыскания стационарных точек функции Экстремумы функций многих переменных нужно приравнять нулю обе ее частные производные

Экстремумы функций многих переменных, Экстремумы функций многих переменных. (*)

и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Пример 1: Найдем стационарные точки функции

Экстремумы функций многих переменных

Система уравнений (*) имеет вид:

Экстремумы функций многих переменныхЭкстремумы функций многих переменных

Из второго уравнения следует, что или Экстремумы функций многих переменных, или Экстремумы функций многих переменных.

Подставляя по очереди эти значения в первое уравнение, найдем четыре стационарные точки:

Экстремумы функций многих переменных

Какие из найденных точек действительно являются точками экстремума, мы установим после приведения достаточного условия экстремума.

Иногда удается, и, не прибегая к достаточным условиям, выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непосредственно следует, что рассматриваемая функция имеет где- то максимум или минимум и пи этом системе уравнений (*) удовлетворяет только одна точка (т. е. Одна пара значений x и y), то ясно, что эта пара и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции двух переменных могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуют острия поверхности - графика функции).

Так, например, функция Экстремумы функций многих переменных имеет, очевидно, в начале координат минимум, равный нулю, но в этой точке функция недифференцируема; график этой функции есть круглый конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Экстремумы функций многих переменных.

Следовательно, если иметь в виду не только дифференцируемые, но и вообще непрерывные функции, то нужно сказать, что точками экстремума могут быть стационарные точки и точки, в которых функция недифференцируема.

Вполне аналогично определяется понятие экстремума функции любого числа независимых переменных.

Экстремумы функций многих переменных

и устанавливаются необходимые условия экстремума. Именно: Дифференцируемая функция n переменных может иметь экстремумы только при тех значениях x, y, z,..., t, при которых равны нулю все ее n частных производных первого порядка:

Экстремумы функций многих переменных

Экстремумы функций многих переменных

Эти равенства образуют систему n уравнений с n неизвестными.

Теперь определим достаточные условия для экстремума функции двух переменных. Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что эта точка обязательно является точкой экстремума. Возьмем функцию Экстремумы функций многих переменных Ее частные производные Экстремумы функций многих переменных равны нулю в начале координат,

однако функция экстремума не достигает. В самом деле, функция Экстремумы функций многих переменных, будучи равной нулю в начале координат, имеет в любой близости к началу координат как положительные значения (в первом и третьем координатных углах), так и отрицательные (во втором и четвертом координатных углах), и значит, нуль не является ни наибольшим, ни наименьшим значением этой функции.

Достаточные условия экстремума для функции нескольких переменных носят значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной. Мы рассмотрим эти условия без доказательства только для функции двух переменных.

Пусть точка Экстремумы функций многих переменных является стационарной точкой функции Экстремумы функций многих переменных, т. е. Экстремумы функций многих переменных

Вычислим в точке Экстремумы функций многих переменных значение вторых частных производных функции Экстремумы функций многих переменных и обозначим их для краткости буквами A, B и C:

Экстремумы функций многих переменных

Если Экстремумы функций многих переменных, то функция Экстремумы функций многих переменных имеет в точке Экстремумы функций многих переменных экстремум: при A<0 и C<0 и минимум при A>0 и C>0 (Из условия Экстремумы функций многих переменных следует, что A и C обязательно имеют одинаковые знаки).

ЕслиЭкстремумы функций многих переменных, то точка Экстремумы функций многих переменных не является точкой экстремума.

ЕслиЭкстремумы функций многих переменных, то неясно, является ли точка Экстремумы функций многих переменных точкой экстремума и требуется дополнительное исследование.

Пример:

1) Ранее в примере было установлено, что функция

Экстремумы функций многих переменных

имеет четыре стационарные точки:

Экстремумы функций многих переменных

Вторые частные производные данной функции равны

Экстремумы функций многих переменных

В точке Экстремумы функций многих переменныхимеем: A=10, B=0, C=2. Здесь Экстремумы функций многих переменных; значит, точка Экстремумы функций многих переменных является точкой экстремума, и так как A и C положительны, то этот экстремум - минимум.

В точке Экстремумы функций многих переменных соответственно будет A=-10, B=0, C=-4/3; .

Это точка максимума. Точки Экстремумы функций многих переменныхи Экстремумы функций многих переменных не являются экстремумами функции (т.к. в нихЭкстремумы функций многих переменных).

2) Найдем точки экстремума функции Экстремумы функций многих переменных;

Приравнивая частные производные нулю:

Экстремумы функций многих переменных, Экстремумы функций многих переменных

находим одну стационарную точку - начало координат. Здесь A=2, B=0, C= -2. Cледовательно, Экстремумы функций многих переменных и точка (0, 0)

не является точкой экстремума. Уравнение Экстремумы функций многих переменныхесть уравнение гиперболического параболоида (см. Рис. 2.) по рисунку видно, что точка (0, 0) не является точкой экстремума.

 

Экстремумы функций многих переменных

Локальные Экстремумы

Определение1: Говорят, что функция Экстремумы функций многих переменных имеет в точке Экстремумы функций многих переменных локальный максимум, если существует такая окрестность точки Экстремумы функций многих переменных, для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: Экстремумы функций многих переменных. При этом, Экстремумы функций многих переменных т. е. приращение функции < 0.

Определение2: Говорят, что функция Экстремумы функций многих переменных имеет в точке Экстремумы функций многих переменных локальный минимум, если существует такая окрестность точки Экстремумы функций многих переменных, для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: Экстремумы функций многих переменных. При этом, Экстремумы функций многих переменных т. е. приращение функции > 0.

Определение 3: Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума.

Условные Экстремумы

При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так

Похожие рефераты: