Xreferat.com » Рефераты по математике » Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Санкт-Петербургский государственный университет

Факультет прикладной математики – процессов управления

Кафедра математического моделирования

энергетических систем


Карпова

Наталия

Анатольевна


ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ И КРИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


Зав. Кафедрой,

профессор, доктор физ.-мат. наук Захаров В. В.


Научный руководитель,

доцент, кандидат физ.-мат. наук Свиркин М. В.


Рецензент,

доцент, кандидат физ.-мат. наук Корников В. В.


Санкт Петербург

2003

Оглавление.


Введение…………………………………………………………………………..3

Глава 1. Система кривых Пирсона.

§ 1. Дифференциальное уравнение Пирсона…………………….………5

§ 2. Основные типы кривых Пирсона…….……………………………...8

§ 3. Переходные типы кривых Пирсона…………………………………17

Глава 2. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей.

§ 1. Получение ортогональных полиномов по способу Чебышева…...23

§ 2. Обобщение метода Грамма - Шарлье………………...…………….33

§ 3. Весовые функции и кривые распределения вероятностей…….….36

Глава 3. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей и программное обеспечение.

§ 1. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей……..40

§ 2. Алгоритм вычислений...................................……...……...………...46

Заключение……………………………………………………………………..47

Литература……………………………………………………………………...48


Введение.

Математическая статистика является наукой, которая изучает соотношения, столь глубоко проникающие в суть вещей, что их можно встретить при самых различных обстоятельствах. Результаты исследований, полученные с помощью аппарата математической статистики, используются в самых различных областях науки и техники, таких как биология, медицина, анатомия, геология, экология, экономика, и т.д.

Данная дипломная работа посвящена рассмотрению двух основных задач математической статистики:

получению кривой распределения вероятностей по имеющейся выборке;

нахождению зависимости между двумя случайными величинами, заданными своими выборками.

Для решения первой задачи используются различные методы. В данной работе рассмотрен метод Карла Пирсона, представителя английской школы статистики. Им было получено дифференциальное уравнение


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,


а так же введен критерий ж (каппа Пирсона), с помощью которого Пирсон классифицировал решения этого дифференциального уравнения и представил их в виде двенадцати типов.

Позже в своих теоретических исследованиях Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения данной задачи используется метод Пирсона нахождения кривой распределения.

Для решения второй задачи используется метод П.Л. Чебышева, создателя Санкт – Петербургской математической школы. В статистике имя знаменитого русского математика П. Л. Чебышева (1821-1894) известно главным образом по так называемому неравенству Чебышева, которое он предложил для распределения вероятностей, и которое имеет силу для любого статистического распределения численностей.

Однако за последнее время в статистике всё большее значение приобретают ортогональные полиномы Чебышева, которые имеют особое значение при определении множественной и криволинейной регрессии и при вычислении коэффициентов обобщённой функции нормального распределения вероятностей.

Чебышев предложил общую интерполяционную формулу, при которой возможно интерполирование в самых разнообразных случаях. Эта интерполяционная формула удовлетворяет условиям метода наименьших квадратов и выражена при помощи его ортогональных полиномов. Общая интерполяционная формула, или, иначе ряд Чебышева, предложен Чебышевым в 1855 году. Она имеет вид

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Таким образом в дипломной работе рассматриваются два метода:

метод Пирсона нахождения кривых распределения вероятностей,

метод Чебышева получения ортогональных полиномов,

которые были положены в основу обобщенного метода Грамма – Шарлье нахождения кривой распределения вероятностей.


Глава 1. Система кривых Пирсона.


В данной главе ставится задача нахождения закона распределения случайной величины в удобном для практического использования виде. Для ее решения рассматривается подход К. Пирсона, который является выдающимся представителем английской статистической школы.


§ 1. Дифференциальное уравнение Пирсона.


Рассмотрим случайную величину, заданную своей выборкой Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, таким образом, можем записать Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей - статистической распределение. Ставится задача нахождения закона распределения случайной величины в удобном для практического использования виде.

Метод Пирсона заключается в том, что мы рассматриваем дифференциальное уравнение Пирсона:


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей (1)


и исследуем, какие решения можно получить при различных значениях параметров уравнения (1).

Общий интеграл этого уравнения представим в виде:


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

где

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Значение этого неопределенного интеграла зависит от корней уравнения

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей (2),


следовательно, от его дискриминанта


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей


который можно написать в виде


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

вводя параметр

жОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Или иначе, величину ж можно представить в виде:


жОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,


где величины Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей представимы через центральные моменты статистических распределений Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей к-го порядка, которые определяются по формуле

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей есть


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Тогда

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Через величины Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей можно представить и величины Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей следующим образом [5]:


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей


Величина ж называется критерием Пирсона (каппа Пирсона) и раз­личные значения ее дают нам следующие выводы о корнях уравнения:

А. Если жОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, то Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и уравнение (1) имеет вещественные корни различных знаков.

В. Если 0< ж<1, то Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и уравнение (1) имеет комплексные корни.

С. Если ж>1, то Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и уравнение (1) имеет вещественные корни одного знака.

Соответственно этим случаям Пирсон различает три главных типа своих кривых, которые он назвал соответст­венно типами I, IV и VI. Затем ж может равняться Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, что дает переходные типы кривых. Наконец, присоединяя некоторые дополнительные условия, мы можем увеличить число переходных типов. Всего система кривых Пирсона заключает 12 типов и нормальную кривую.

В своих разработках Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения задачи идентификации используется метод Пирсона.

§ 2. Основные типы кривых Пирсона.


В этом параграфе будут рассмотрены основные типы кривых распределения вероятностей, предложенные и классифицированные Пирсоном.


Тип I.


Пусть ж<0. Тогда

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей


и уравнение (2) имеет вещественные корни различных знаков: Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, так что можем записать


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Тогда правая часть уравнения (1) может быть представлена в виде:


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Пусть еще

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Тогда уравнение (1) перепишется в виде


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей


и общий интеграл его можно представим в виде


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,


где Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и значения Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей должны удовлетворять условиям


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Тип I получается, если Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей заключается в интервале Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей. Тогда


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей


или, как обычно пишут

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Так как Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей выражаются определенным образом через моменты Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, то, очевидно, и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей также выражаются через те же моменты. Для этого введем число

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Тогда простое преобразование дает следующие формулы:


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Эти формулы используются вообще при вычислении параметров и других кривых Пирсона.

Далее, пользуясь этими же формулами,


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

следовательно,

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Затем

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,


или, после простых подсчетов,


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Таким образом, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей представляют корни уравнения


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,


Когда найдены Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей находятся по формулам


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,


в которых

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Здесь использовано равенство


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,


которое получается, так мы имеем


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

и

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,


следовательно,


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

откуда

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей


(так как Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей), нужно брать Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Таким образам, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей есть корни уравнения


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей


и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей по формулам


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

в которых

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,


где Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей находится из равенства


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Остается найти Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей. Оно находится по равенству


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


При помощи подстановки

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

мы находим:


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Следовательно,

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Тип IV.


Второй главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям

0< ж<1, когда уравнение (1) имеет комплексные корни.

Пусть эти корни равны


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Тогда уравнение (1) будет


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

откуда

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

и

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

или

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,(3)

причем

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Параметры кривой (3), выражаются следующим образом через моменты Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и константы Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей:


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей


(здесь Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей),


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,


где Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей - функция Пирсона, определяемая равенством


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Интеграл в правой части можно привести к другому виду:

подстановка

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

приводит его к виду

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Обычно, полагая

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

пишут Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей в виде


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.


Тип VI.


Третий главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям критерия ж>1 . В этом случае уравнение (2) имеет вещественные корни одного знака. Не приводя вывода уравнения кривой типа VI, аналогичного выводу уравнения кривой типа I [5], прямо приведем уравнение, отнесенное к средней выравниваемого распределения, как началу координат:


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей


(в нем Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей). Его параметры вычисляются по формулам:


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,


причем берется Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, если Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, если Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей; Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей дают выражения:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,


причем должно быть Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей;


Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

и

Ортогональные полиномы и кривые
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: