Аналитическая геометрия

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Институт бизнеса, информационных технологий и финансов

Кафедра «Гуманитарных и естественнонаучных дисциплин»

УТВЕРЖДАЮ:

Первый проректор МИБИФ

_______ С.Б. Лапшинов

«__»__________20___ г.

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Дисциплина – Математика

Составитель — к.ф.-м.н. Н.А. Соколов

Данное учебное пособие предназначено для студентов МИБИФ всех специальностей. Рекомендовано к изучению кафедрой ГиЕН МИБИФ

Иваново 2010

Содержание

1. МЕТОД КООРДИНАТ. ОСОНОВНЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ

1.1 Задачи на прямой линии

Ось координат

Направленный отрезок

Величина отрезка

Длина отрезка

Основное геометрическое тождество

Координата точки на прямой

Расстояние между точками на прямой

Пример 1 (расстояние между точками на прямой)

1.2 Задачи на плоскости

Прямоугольная декартова система координат

Расстояние между точками на плоскости

Полярные координаты и их связь с декартовыми координатами

Таблица взаимосвязи ПДСК и полярной системы координат

Пример 2 (нахожденние расстояния между двумя точками)

Вычисление площади произвольного треугольника в ПДСК

Деление отрезка в данном отношении

Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении

Пример 3 (о нахождении координат точки, делящей

отрезок в данном отношении)

Пример 4 (о координатах точки пересечения медиан)

Уравнение линии

Линия

Пример 5 (о получении уравнения траектории)

Классификация плоских линий

Плоская линия

Алгебраические линии

Линия порядка n (линия n-го порядка)

Трансцендентная линия

1.3 Уравнение прямой на плоскости

Угловой коэффициент

1.3.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пример 6 (уравнение прямой с угловым коэффициентом)

Пример 7 (сравнение скорости возрастания функций)

1.3.2 Методы получения уравнения прямой

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пример 8 (получение уравнения прямой)

Угол между двумя прямыми

Условие параллельности двух прямых

Условие перпендикулярности двух прямых

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

Пример 9 (о нахождении проекции точки на прямую)

1.3.3 Другие формы уравнения прямой

Общее уравнение прямой

Уравнение прямой в отрезках

Нормальное уравнение прямой

Отклонение и расстояние точки от прямой

Теорема об отклонении точки от прямой

Приведение прямой к нормальному виду (нормализация уравнения прямой)

Пример 10 (нахождение длины стороны треугольника)

Пример 11 (нахождение уравнения стороны треугольника)

Пример 12 (нахождение уравнения стороны треугольника)

Пример 13 (нахождение угла между прямыми)

Пример 14 (нахождение уравнения прямой, перпендикулярной данной)

Пример 16 (длина высоты)

2. ОСНОВНЫЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2.1 Окружность

Определение окружности

Пример 17 (координаты центра и радиус окружности)

2.2 Эллипс

Определение эллипса

Связь между полуосями и координатами фокусов эллипса

Каноническое уравнение эллипса

Замечание о каноничности уравнения

Эксцентриситет эллипса

Связь между фокальными радиусами и эксцентриситетом эллипса

Пример 18 (получение уравнения эллипса)

2.3 Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы

Связь между полуосями и координатами фокусов гиперболы

Эксцентриситет гиперболы

Пример 19 (о нахождении уравнения гиперболы)

Пример 20 (прямая и гипербола)

3. ВЕКТОРЫ

3.1 Алгебраическая интерпретация векторов

Пример 21 (алгебраический вектор)

Скалярное произведение векторов

Замечание к определению скалярного произведения

Угол между векторами

Пример 22 (скалярное произведение и общая цена выпущенной продукции)

Пример 23 (о количестве сырья, необходимого для выпуска продукции)

3.2 Геометрическая интерпретация векторов

Ортононормированный базис в ПДСК

Разложение вектора по ортонормированному базису

Нахождение координат вектора

Пример 24(координаты вектора на плоскости)

Свободные векторы

Пример 25 (свободные векторы)

3.3 Основные арифметические действия над векторами

Длина вектора

Скалярное произведение (координатная форма)

Угол между векторами

Условие ортогональности векторов

Сумма (разность) векторов

3.4 Векторное произведение векторов

Правило буравчика

Условие коллинеарности векторов

Геометрический смысл векторного произведения

Свойства векторного произведения

Пример 26 (раскрытие скобок в выражении с векторами)

Пример 27 (вычисление площади параллелограмма)

3.5 Векторные произведения ортов

Векторное произведение в координатной форме

Пример 28 (площадь треугольника)

3.6 Смешанное произведение векторов

Правая тройка векторов

Смешанное произведение векторов

Геометрическое свойство смешанного произведения векторов

Условие компланарности векторов

Смешанное произведение для векторов, заданных в координатной форме

Условие компланарности для векторов, заданных в координатной форме

Пример 29 (вычисление объема пирамиды)

4 УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Поверхность

Линия в пространстве

4.1 Плоскость, как поверхность первого порядка

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору

Пример 30 (получение уравнения плоскости)

Общее уравнение плоскости

Неполные уравнения плоскости

Уравнение плоскости в отрезках

Угол между двумя плоскостями

Условие перпендикулярности двух плоскостей

Условие параллельности двух плоскостей

МЕТОД КООРДИНАТ. ОСОНОВНЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ

Задачи на прямой линии

Ось координат

Прямую линию с указанием начала отсчета, положительного направления отсчета и масштаба назовем осью координат.

Рис.1

координаты прямая плоскость вектор

Направленный отрезок

Отрезок на оси называется направленным, если известно, какая из точек отрезка является началом, а какая концом отрезка.

С каждым направленным отрезком связаны две числовые характеристики: длина отрезка и величина (разницу между этими характеристиками необходимо четко представлять, поскольку непонимание имеющейся разниы приводит к путанице и ошибкам при решении задач).

Величина отрезка

Величина отрезка может быть как положительной, так и отрицательной: если направление отрезка противоположно положительному направлению оси, то его величина отрицательна; если направление отрезка сонаправлено с положительным направлением оси, то его величина положительна.

Длина отрезка

Длина отрезка всегда положительна и равно абсолютному значению (модулю) величины отрезка.

Обозначения: величина - ; длина - .

Основное геометрическое тождество

При любом взаимном расположении несовпадающих точек А, В и С выполняется тождество

Координата точки на прямой

Если всю ось обозначить Ох, а через x1 – величину отрезка Оx1, то точка А, находящаяся в точке x1, (Рис.2) будет иметь координату x1: А(x1).

Рис.2

В аналитической геометрии точка считается заданной, если заданы ее координаты.

Расстояние между точками на прямой

Пусть заданы точки М(x1) и М(x2), тогда расстояние между ними определяется как

Из координат конца вычитаются координаты начала отрезка, а результат берется по абсолютной величине.

Пример 1 (расстояние между точками на прямой)

Найти расстояние между точками М1(- 2) и М2(3) (Рис.3).

Рис.3

Решение:

В нашем случае x1 = - 2, x2 = 3, откуда

Т.е. длина отрезка Обратите внимание: здесь и далее длины и площади измеряются или в единицах, или в единицах в квадрате (аналитическая геометрия знает, что такое единица длины и понятия не имеет ни о метрах, ни о дюймах!).

1.2 Задачи на плоскости

Прямоугольная декартова система координат

Если на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные оси координат, точкой пересечения которых является точка начала отсчета и определено, какая из осей является первой, а какая второй, то говорят, что в пространстве задана прямоугольная система координат (далее для ее названия будем использовать аббревиатуру – ПДСК)

Рис.4

Расстояние между точками на плоскости

Пусть на плоскости заданы точки М1(x1; y1) и М2(x2; y2), найти расстояние между ними, т.е. найти

Рис.4

Т.к. треугольник М1М2В прямоугольный, то из теоремы Пифагора следует, что

,

а т.к.

то окончательно получаем, что

Полярные координаты и их связь с декартовыми координатами

Пусть точка М на плоскости задана так, что (см. Рис.5)

Рис.5

Где точка 0 – полюс, луч 0А – полярная ось, - полярный радиус, φ – полярный угол (полярный угол, как и во всей математике отсчитывается против часовой стрелки от положительного направления оси – в нашем случае от направления полярной оси).

Если совместить две системы координат (полярную и ПДСК) так, чтобы: они имели общее начало – точку 0, положительное направление полярной оси совпало с положительным направлением оси 0x (см. Рис.6), то будет понятно – как связаны ПДСК и полярная системы координат.

Рис.6

Для большего удобства переходов ПДСК-полярная и обратно сформируем таблицу.

Таблица взаимосвязи ПДСК и полярной системы координат

Выражение декартовых координат через полярные	Выражение полярных координат через декартовы

Пример 2 (нахожденние расстояния между двумя точками)

Найти расстояние между точками

Решение:

Координаты точек заданы в полярных координатах, а выражение для нахождения получено для точек, заданных в ПДСК, а потому, прежде всего, необходимо выразить координаты точек в ПДСК.

Из таблицы взаимосвязи полярных и декартовых координат получаем, что для точки

,

или, координаты точки М в ПДСК - .

Аналогично находим и координаты точки N:

,

или, координаты точки N в ПДСК - .

А вот теперь, окончательно, используя результат «расстояние между двумя точками на плоскости», получаем, что

Вычисление площади произвольного треугольника в ПДСК

Пусть в ПДСК задан произвольный треугольник ABC: А(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), тогда площадь треугольника SABC определяется выражением

Поскольку точки могут быть пронумерованы в произвольном порядке, знак определителя может изменяться. В силу чего существует правило: результат берется по абсолютной величине (по модулю).

Деление отрезка в данном отношении

Прежде всего, о смысле выражения «деление отрезка в данном отношении».

Пусть точка В делит отрезок А1А2 (см. Рис.7)

Рис.7

Тогда , т.е., если , то . Но если отрезок «прочитать» по-другому: не А1А2, а А2А1, то

Откуда важный вывод: при разбиении отрезка в отношении λ, важно как устроена дробь

т.е. важно, в каком направлении читается отрезок: А1А2, или А2А1.

Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении

Пусть точка В(x; y) делит отрезок А1А2 [A1(x1; y1) и A2(x2; y2)] в отношении λ, тогда

.

Следствие: если точка В делит отрезок А1А2 пополам, т.е. λ = 1 (почему?), то

.

Пример 3 (о нахождении координат точки, делящей отрезок в данном отношении)

Известно, что точки А(- 2; 5) и В(4; 17) – концы отрезка АВ. Внутри этого отрезка находится точка С, расстояние которой от А в два раза больше расстояния от В. Найти координаты точки С(x; y).

Решение:

По условию задачи , откуда

.

Тогда

,

или, окончательно,

Ответ: С(2; 13).

Пример 4 (о координатах точки пересечения медиан)

Треугольник АВС задан координатами вершин: А(x1; y1), B(x2; y2) и C(x3; y3). Найти координаты точки пересечения медиан треугольника.

Рис.8

Решение:

Для нахождения координат точки М использует свойство точки пересечения медиан: эта точка разбивает отрезок СD в отношении 2:1, считая от вершины С,

Уравнение линии

Уравнением данной линии назовем такое уравнение F(x; y) = 0, которому удовлетворяют координаты x и y любой точки, принадлежащей этой линии, и не принадлежат точки, не удовлетворяющие уравнению (удовлетворяет уравнению – значит координаты, точки, будучи подставленными в уравнение, обращают уравнение в тождество).

Линия

Линия, определяемая данным уравнением, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Замечание

Уравнение F(x; y) = 0 показывает также, что величины x и y зависимы: выбор некоторого значения x тут же определяет соответствующее ему значение y.

Пример 5 (о получении уравнения траектории)

Получить уравнение траектории точки М, которая в любой момент движения находится вдвое ближе к точке А(2; 0), чем к точке В(8; 0).

Решение

При выведении уравнения линии (или, что то же самое, уравнения траектории движения точки) прежде всего вводим точку М с «бегущими» координатами x и y (M(x; y) такую, что в любой момент времени точка М: во-первых, принадлежит искомой линии; во-вторых, удовлетворяет условиям сохранения расстояний до фиксированных точек с заданными координатами.

Тогда, по условию задачи

Т.о. траекторией движения точки (искомой линией) является окружность радиуса 4 с центром в точке (0; 0).

Классификация плоских линий

Плоская линия

Линия, каждая, из точек которой принадлежит некоторой (общей для всех) плоскости называется плоской линией (плоской кривой.

Алгебраические линии

Линия называется алгебраической, если в некоторой ПДСК она определяется уравнением

F(x; y) = 0,

в котором функция F(x; y) = 0 представлена алгебраическим полиномом, т.е. суммой слагаемых вида akvxkyv, где k и v целые неотрицательные числа, akv – постоянные.

Линия порядка n (линия n-го порядка)

Алгебраическая линия называется линией порядка n, если в некоторой ПДСК она определяется уравнением, являющимся полиномом порядка n.

Трансцендентная линия

Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной (например все тригонометрические функции, функции показательные и т.д.)

1.3 Уравнение прямой на плоскости

Угловой коэффициент

Угловым коэффициентом k для прямой назовем тангенс угла наклона этой прямой по отношению к оси Ox (см. Рис.9)

Рис.9

Напомним правило отсчета углов в аналитической геометрии: все углы отсчитываются от положительного направления оси Ox против часовой стрелки.

С учетом сказанного

k = tg(α),

или, если прямая проходит через точки M1(x1; y1) и M2(x2; y2)

откуда может быть получено

1.3.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть точка M(x; y) принадлежит прямой, а b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox (Рис. 10), тогда из определения углового коэффициента получаем (убедитесь самостоятельно) уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = b + k∙x.

Рис.10

Эта форма уравнения прямой, очевидно, наиболее часто употребляется в различных приложениях, поскольку она очень наглядна и легко анализируема.

Пример 6 (уравнение прямой с угловым коэффициентом)

Представить эскизы прямых:

y = 2 + 3x;

y = - 2 + 3x:

y = - 2 – 3x:

y = 2 – 3x.

Решение:

Прямая №1 пересекает ось Oy в точке 2, коэффициент при x (он равен +3)– больше нуля, следовательно, эта прямая является функцией возрастающей.

Прямая № 2 пересекает ось Oy в точке - 2, коэффициент при x (он равен +3)– больше нуля, следовательно, эта прямая является функцией возрастающей.

Прямая № 3 пересекает ось Oy в точке - 2, коэффициент при x (он равен - 3) – меньше нуля, следовательно, эта прямая является функцией убывающей.

Прямая № 4 пересекает ось Oy в точке 2, коэффициент при x (он равен - 3) – меньше нуля, следовательно, эта прямая является функцией убывающей. (см. Рис. 11)

Рис.11

Как видно из примера, уравнение прямой с угловым коэффициентом позволяет мгновенно сказать возрастает или убывает данная функция. Если угловой коэффициент больше нуля (положителен), то функция возрастает, если меньше нуля (отрицателен), то убывает. Более того, эта форма уравнения прямой сказать, какая функция возрастает быстрее: чем больше значение углового коэффициента, тем быстрее функция возрастает – см. Пример 7.

Пример 7 (сравнение скорости возрастания функций)

Две прямые заданы своими уравнениями:

1) y = 3 + 10x и 2) y = 3 + 2x.

Какая из данных прямых возрастает быстрее и почему? Представить эскиз обеих прямых.

Решение: быстрее возрастает прямая № 1, потому что ее угловой коэффициент (10) больше, чем угловой коэффициент примой № 2 (2).

Эскиз прямых представлен на рисунке 12.

Рис.12

1.3.2 Методы получения уравнения прямой

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть прямая проходит через две данные точки M1(x1; y1) и M2(x2; y2), тогда для нахождения уравнения прямой используется выражение

Пример 8 (получение уравнения прямой)

Получить уравнение прямой, проходящей через точки M1(3; 1) и M2(5; 4). Представить эскиз.

Решение:

Итак, имея ввиду последний результат, определяемся со значениями входящих в него величин:

x1 = 3; y1 = 1;

x2 = 5; y2 = 4,

тогда

Т.е. ответ на первую часть задачи – уравнение прямой имеет вид

В силу чего, эскиз получается мгновенно: ось Oy пересекается в точке , а эскиз – на рисунке 13

Рис.13

Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами:

y = b1 + k1∙x и y = b2 + k2∙x ,

(см. рисунок 14)

Рис.14

тогда угол α между ними определяется выражением

Замечание: при этом находится значение наименьшего из четырех углов, образованных пересекающимися прямыми.

Из приведенного выражения существует два весьма важных следствия: условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Условие параллельности двух прямых

Две прямые, определенные уравнениями с угловым коэффициентом

y = b1 + k1∙x и y = b2 + k2∙x,

параллельны при условии

k1 = k2.

(Что для нас не удивительно – см. пример 11: прямые 1,2 и 3.4).

Условие перпендикулярности двух прямых

Две прямые, определенные уравнениями с угловым коэффициентом

y = b1 + k1∙x и y = b2 + k2∙x,

перпендикулярны при условии

k1∙k2 = -1 или .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

Если известно, что прямая проходит через данную точку M(x1; y1) c данным угловым коэффициентом k, то для нахождения уравнения этой прямой используется выражение

y = y1 + k∙(x – x1).

Пример 9 (о нахождении проекции точки на прямую)

Найти проекцию точки Р(4; 9) на прямую, проходящую через точки А(3; 1) и В(5; 2).

Решение:

Прежде всего: найти проекцию точки, это значит найти координаты «тени» этой точки на прямую.

Задача решается в три шага:

- находится уравнение прямой, проходящей через точки А и В;

- находится уравнение прямой, проходящей через точку Р, перпендикулярно прямой АВ;

- находятся координаты точки пересечения прямой, проходящей через точку Р и прямую АВ.

Шаг 1

Уравнение прямой АВ ищем посредством выражения для нахождения уравнения прямой, проходящей через две данные точки:

Шаг 2

Искомая прямая проходит через точку Р(4; 9) с угловым коэффициентом, определяемым из условия перпендикулярности прямых (поскольку точка, являющаяся проекцией точки Р на прямую АВ есть результат пересечения прямой перпендикулярной прямой АВ, проходящей через точку Р).

Тогда угловой коэффициент искомой прямой k:

и, используя выражение для нахождения уравнения прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

y – 9 = -2∙(x – 4) → y = - 2∙x + 17.

Т.о., искомая прямая определяется уравнением

y = - 2∙x + 17.

Шаг 3

Проекцию точки Р на прямую АВ находим как результата пересечения найденной прямой и прямой АВ

,

Решая полученную систему окончательно находим ответ:

координаты точки пересечения (7; 3).

1.3.3 Другие формы уравнения прямой

Общее уравнение прямой

Общим уравнением прямой называется уравнение вида

A∙x + B∙y + C = 0.

«Общим» это уравнение называется потому, что из него можно получить все три формы уравнения прямой.

Так, например можно получить уравнение прямой с угловым коэффициентом:

т.е., в этом случае угловой коэффициент .

Общее уравнение прямой потому и называется «общим», что из него можно получить не только уравнение с угловым коэффициентом, но и еще две формы уравнения прямой, каждая из которых оказывается полезной при решении своего класса задач.

Итак, пусть дано общее уравнение прямой

A∙x + B∙y + C = 0,

причем , тогда

вводя обозначения

откуда окончательно получаем

Уравнение прямой в отрезках

где a и b – величины отрезков (откуда и название!), отсекаемых прямой соответственно на оси Ox и оси Oy (cм. Рис.15).

Рис.15

Нормальное уравнение прямой

Рассмотрим рисунок 16

Рис.16

На рисунке – отрезок ОР – нормаль (откуда и название – «нормальное уравнение прямой») проведенная из начала координат до пересечения с прямой (угол ОРВ – прямой); угол α образован нормалью к прямой и положительным направлением оси Ox; длина отрезка ОР = р.

Тогда нормальное уравнение прямой имеет вид

Отклонение и расстояние точки от прямой

Если точка, то подстановка ее координат в общее уравнение прямой

A∙x + B∙y + C = 0,

не даст нам верного равенства:

A∙x* + B∙y* + C 0.

И это все, а вот подстановка тех же координат в нормальное уравнение прямой