Методы решения уравнений, содержащих параметр
Пример. Решить уравнение .
Решение. Имеем .
Достаточно рассмотреть три случая:
.
.
.
Делая замену , получаем, что или . То есть или . Проверим, являются ли найденные значения переменной корнями. Подставляя значения переменной в уравнение, получаем, что не подходит, тогда корнями являются значения .
3.
Делая замену , получаем или . Аналогично, как и при , проверкой устанавливаем, что только и не являются корнями. Тогда является корнем. Итак,
Ответ. При , ;
при ;
при , .
Параметр и количество решений уравнений, содержащих параметр
Выделим класс задач, где за счет параметра на переменную накладывается какие-либо ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки:
«При каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два решения, бесконечно много, ни одного»;
Решением уравнения (неравенства, системы) является какое-то подмножество множества действительных чисел и другие (см. [5]).
Пример. В зависимости от значения параметра найти число корней уравнения
Решение. Наличие сложного корня наводит на мысль выделения квадрата двучлена под внешним корнем.
Итак, мы вплотную подошли к задаче рассмотрения различных случаев параметра .
Если , то уравнение не имеет решения.
Если , то рассмотрим . Если , то . При условии , и очевидно это уравнение имеет только один корень.
Ответ. При – одно решение,
при – решений нет.
Пример. При каких значениях параметра уравнение
имеет единственное решение?
Решение. Уравнение переписываем в равносильную систему
Решением неравенства является объединение промежутков . Уравнение системы имеет один корень когда . , то есть при .
Теперь проверим, принадлежит ли корень нашим интервалам: .Тогда
Ответ. При уравнение имеет единственное решение.
Пример. При каких значениях параметра уравнение
.
имеет единственное решение?
Решение. Запишем равносильное уравнение.
.
Теперь перейдем к следствию . Откуда , . Возникла ситуация, которая дает нам возможность воспользоваться механизмом отсеивания корней.
Область определения исходного уравнения найдем из условий
Очевидно, и удовлетворяют первым двум условиям. Тогда для единственности решения достаточно потребовать
Найдем решение первой системы, преобразуем ее.
Имеем, что решением первой системы является объединение интервалов .
Вторая система решения не имеет.
Ответ. .
Параметр и свойства решений уравнений, содержащих параметр
В этом пункте мы рассмотрим задачи, в которых условие требует, чтобы ответ был каким-либо наперед заданным подмножеством или идут ограничения на множество значений переменной (см. [5], [12], [13]).
Пример. При каких значениях параметра оба корня уравнения больше 3?
Решение. Корнями данного уравнения будут
Для условия необходимо выполнение системы
Первое неравенство системы и второе будут иметь общие точки только в том случае если выражение под корнем равно нулю.
Решим уравнение .
Ответ. Ни при каких значениях параметра оба корня данного уравнения не могут быть больше 3.
Параметр как равноправная переменная
Во всех разобранных задач параметр рассматривался как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причем равноправная с другими. Подобная интерпретация, естественно, формирует еще один тип (а точнее метод решения) задач с параметрами (см. [5]).
Пример. Указать все значения параметра , для которых уравнение имеет решение?
Решение. Обозначим . Исходное уравнение , с учетом , равносильно системе
Рассмотрим квадратное уравнение, относительно параметра . Найдем дискриминант рассматриваемого уравнения .
, так как и , то . Поэтому последняя система равносильна
Рассмотрим функцию . Вершина параболы – есть точка с координатами . Минимум функции есть значение ординаты вершины параболы. Поэтому можем утверждать, что параметр принимает значения в отрезке на отрезке .
Ответ.
Замечание: другой способ решения будет рассмотрен позднее (см. пункт 4.2.4).
Пример. Решить уравнение .
Важно показать при изучении параметров связь параметра с конкретными значениями и эта задача показывает эту связь. Цель этой задачи в том, чтобы показать что задачи, не содержащие параметр, можно решать и способами решения уравнений, содержащих параметр. Решение этого уравнения показывает, что исследования различных решений с параметрами позволяет решать задачи более простыми методами.
Решение. Это уравнение равносильно системе
Представим уравнение системы в виде квадратного уравнения относительно числа 5.
Откуда, учитывая , получаем
Ответ. .
Методы поиска необходимых условий . Использование симметрии аналитических выражений
В тех случаях, когда непосредственный поиск значений переменной затруднен, можно сначала выделить необходимые условия, а затем от необходимых условий перейти к достаточным условиям.
Будем называть задачи, решаемые таким методом, задачами с поиском необходимых условий.
Необходимые условия задач этого пункта:
В каждой задаче обязательно фигурирует аналитическое выражение, геометрический образ которого имеет ось или плоскость симметрии.
Во всех задачах в той или иной форме присутствует требование единственности решения.
Если описываемые задачи имеют решением координаты точки М, то найдется симметричная точка М1, координаты которой тоже являются решением, тогда точка М должна лежать (в силу единственности решения) на оси симметрии, но заметим, что это требование не является достаточным.
Высказанные соображения и составляют основу одного из метода поиска необходимых условий, о котором будет идти речь в следующих задачах (см. [1], [5], [12]).
Пример. При каких уравнение имеет одно решение.
Решение. При замене на (и наоборот) уравнение не меняет смысла, поэтому если точка с координатами – решение то и – решение. А так как в условии необходимо единственность решения, то .
Тогда . Так как , то , что возможно только для случая равенства и при . Тогда получаем . Откуда находим два корня уравнения, а в силу единственности, дискриминант приравниваем к нулю и получаем .
Ответ. При уравнение имеет одно решение.
«Каркас» квадратичной функции. Дискриминант, старший коэффициент.
Фактически все важные свойства квадратичной функции определяются таблицей. Где – конструируют «каркас», на котором строится теория квадратичной функции (см. [1], [2], [5], [7], [8], [18], [21], [22])
|
|
|
|||||
|
|
|
Пример. При каких значениях параметра все пары чисел , удовлетворяющие неравенству , одновременно удовлетворяют и ?
Решение. Часто бывает удобно начать решение задачи с рассмотрения упрощенной модели. Так, в конкретном случае уместно поставить задачу: при каком соотношении и все решения неравенства одновременно являются решениями неравенства . Ответом на этот вопрос очевиден: .
Тогда в этом примере нужно, чтобы при всех .
.
Найдем дискриминант, . Дискриминант меньший либо равный нулю определит искомый параметр.
, что равносильно системе
Ответ.
«Каркас» квадратичной функции. Вершина параболы
Пример. При каких значениях наибольшее значение трехчлена меньше 4.
Решение.
Так как графиком трехчлена является парабола, то необходимость наибольшего значения меньшего 4 обязывает параметр .
Наибольшее значение будет в вершине параболы.
. Ограничение тоже обязательно. Решением этого неравенства есть . Учитывая необходимость , то .
так как , то решением будет объединение . Тогда Ответ. .
Корни квадратичной функции. Теорема Виета
Рассмотрим квадратное уравнение . Найдем корни этого уравнения . По теореме Виета выполняется следующая система уравнений , где и . Рассмотрим задачу, решение которой при использовании теоремы Виета намного упрощается.
Пример. При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?
Решение. Найдем дискриминант, . Уравнение имеет два корня при любом . Используя теорему Виета, найдем . Таким образом, найдем наименьшее значение функции на множестве . Поскольку при , а при , то наименьшее значение при .
Ответ. .
Аппарат математического анализа ( касательная к прямой )
Учащиеся, как правило, затрудняются с определением касательной к кривой (типичен ошибочный ответ: «Касательная – это прямая, имеющая с кривой одну общую точку»), не видят связь между касательной к графику и ее производной, не понимают смысла переменных в уравнении касательной, не могут применить соответствующие факты к решению задач, особенно геометрического характера. Пояснить учащимся суть вещей могут помочь, например, следующие задачи (см. [1], [5], [19], [21]).
Пример. При каком значении параметра k касательная к графику функции образует с осью ОХ угол, равный , и отсекает от второй четверти треугольник, площадь которого равна ?
Решение. Пусть – координаты точки касания. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид
.
По условию имеем , . Тогда . Уравнение касательной становится таким: . Найдем координаты точки пересечения касательной с осями.
При .
При .
Тогда, с учетом второй четверти и :
Ответ.
Пример. Найти все значения параметра , при которых на графике функции существует единственная точка с отрицательной абсциссой, касательная в которой параллельна прямой .
Решение. Ясно, что угловой коэффициент касательной, о которой говорится в условии, равен 2. Тогда, если – абсцисса точки касания, то , то есть .
Остается потребовать, чтобы это уравнение имело единственный корень. . При уравнение не имеет смысла, при уравнение равносильно:
Введем замену . Тогда . Для единственности корня необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю, .
При таких значениях параметра корнем уравнения является , который, как очевидно, принимает отрицательные значения.
Ответ. .
Пример. Найти критические точки функции .
Решение. Напомним определение критической точки. Внутренняя точка области определения функции, в которой производная равна 0 или не существует, называется критической.
Имеем . Поскольку найденная производная существует во всех внутренних точках области определения функции , то критические точки следует искать среди корней уравнения , откуда . Осталось потребовать, чтобы .
Ответ. Если , то - критическая точка;
если - критических точек нет.
Свойства функций в задачах, содержащих параметр. Функциональный подход
Учащиеся не всегда умеют сознательно использовать информацию о свойствах функций, например, о ее множестве значений, непрерывности, экстремумах и так далее.
Многие школьники лишь формально усваивают понятие производной, не понимают ее геометрического смысла. Есть проблемы и при изучении понятий первообразной и интеграла. Задачи, которые приведены ниже, призваны пояснить школьнику смысл всех этих понятий и показать возможности их применения (см. [14]).
Предложенные задачи классифицированы в зависимости от того, какое свойство функции является основным в решении.
Область значения функции
Иногда задачи не содержат прямой подсказки использовать область значения функции. Такая необходимость возникает в ходе решения. [5], [14]
Пример. Решить уравнение .
Решение. Так как , то пусть . Получаем . Очевидно, при решение имеется. Найдем корни , так как , то рассмотрим три случая:
, тогда
,
,
Ответ. Если , то ;
если , то ;
если , то .
Пример. Решить уравнение .
Решение. Рассмотрим область допустимых значений . Отсюда , . Тогда получаем равносильное уравнение
.
Откуда . Учтем два случая, так как , то .
. Тогда .
. При , а . Этот случай мы рассмотрели. Тогда рассмотрим случай . Откуда . Итак,
Ответ. Если решений нет;
если , ;
если , .
Наибольшее и наименьшее значени я
При решении задач весьма полезным оказывается следующее обстоятельство. Если в уравнении , где , , а для всех , то можно перейти к равносильной системе уравнений (см. [5], [14], [19])
Пример. Решить уравнение .
Решение. Произведем преобразование правой части. . Тогда наше уравнение будет иметь вид .
Оценим левую и правую части уравнения . Тогда заключаем, что обе части уравнения должны быть равны единице и это нас приводит к системе
Запишем равносильную систему
Выразим х из первого уравнения системы и подставим во второе уравнение.
Решением последней системы будут и .
Тогда Ответ. Если , то
Если , то .
Пример. Найти все действительные значения , при которых область определения функции
совпадает с множеством всех действительных чисел.
Решение. Область определения будет все действительные числа, если функция будет определена, то есть задача состоит в нахождении значений параметра .
Для этого необходимо решить систему
Учитывая условие , решением последнего неравенства будет являться интервал .
Ответ. При условие выполняется.
Монотонность
Прежде всего заметим, что в случае возрастания (убывания) функции имеет место равносильность уравнений и (см. [5], [14]).
Пример. Решить уравнение
Решение. Так как функция монотонна и возрастает, а значение справа фиксировано, то данное уравнение имеет не более одного корня. Легко заметить, что - корень.
Ответ. .
Пример. Для решить уравнение
Решение. Перепишем данное уравнение в виде .
Пусть .
Тогда исходное уравнение становится таким
Рассмотрим функцию . Функция возрастает на промежутке , так как , то . Следовательно, принадлежат промежутку монотонности функции . Отсюда имеем . Тогда , то есть . Сопоставим с исходным и получим .
Для полученное квадратное уравнение имеет положительный дискриминант .
Ответ. .
Замечание: другой способ решения будет рассмотрен ниже (в пункте 4.2.4).
Пример. Определить число корней уравнения .
Решение. Имеем .
Функция возрастает на . Тогда . Исходное уравнение имеет не более одного корня. При он единственен.
Ответ. Если , то уравнение имеет единственный корень;
если , корней нет.
Четность. Периодичность. Обратимость
Пример. Указать все значения параметра , для которых уравнение имеет решения (см. [5], [14]).
Решение. Пользуясь тем, что эта задача уже была решена, рассмотрим сразу систему
Рассмотрим функцию при . Отметим, что эта функция обратима и обратной к ней является . Так как функция возрастающая, то общие точки лежат на прямой . Получаем . Решение которой нам известно.
Ответ. .
Пример. Решить уравнение .
Решение. Рассмотрим функцию и они взаимно обратные и возрастающие. Тогда равносильно исходному.
Ответ. .
Пример. Для решить уравнение .
Решение. Очевидно , то . Рассмотрим функцию . Она возрастает на . Следовательно, при эта функция обратима, причем функция является для нее обратной. Отсюда . Заметим, что мы использовали функцию, стоящую в правой части уравнения, потому что такой выбор не изменяет область определения первоначального уравнения.