Математические основы теории систем

если U_[t0,t] и у_[t0,t] составляют

пару вход-выход по отношению к некоторому α в ∑.

В соответствии с уравнением (2') можем записать:

R[y]= { A(α,U)│ α∈∑, U∈ R[U] }

Условия взаимной совместимости:

Каждая пара вход-выход для удовлетворяет уравнению вход - выход-состояние (2')

Более детально: (1) если (U_[t0,t],у_[t0,t]), или проще (U,у) является любой парой функции времени (при U∈R[U], у∈R[y]),

удовлетворяющих уравнению А(U,y)=0, то (U,y) удовлетворяет также и (2') в том смысле, что существует α₀ в ∑ такое, что

(3) у= A (α₀,U_[t0,t]),

и (2) любая функция времени (U,y), удовлетворяющая уравнению (2') для некоторого α, принадлежащего ∑ на интервале наблюдения [t₀,t], является парой вход-выход для A.

Первое условие собственной совместимости:

Для того, чтобы множество ∑ могло называться пространством состояний A , оно должно иметь следующее свойство: если дана любая точка α в ∑ (которую мы назовем состоянием A в момент t₀) и любой вход U_[t0,t] в пространстве входов A, то выход в момент t однозначно определяется значением α и U_[t0,t], и не зависит от значений U и y в момент времени, предшествующий t₀, т.е. для всех t₀ реакция y(t) в любой момент времени t>t₀, однозначно определяется заданием α и U_[t0,t].

Это свойство является ключевым в понятии состояния. Второе условие собственной совместимости.

Если уравнения вход - выход-состояние удовлетворяется при подстановке пары (U_[t0,t],у_[t0,t]), тогда оно удовлетворяется при подстановке всех пар вида (U_[t,t1], у_[t,t1]), где t₀1, а U_[t,t1] и у_[t,t1] являются сегментами U_[t0,t], и у_[t0,t] соответственно. Это должно выполняться для всех α и ∑ и всех пар вход-выход, относящихся к α.

Пусть (UU',yy') - пара вход-выход, удовлетворяющая уравнению вход - выход-состояние (2') при α=α₀. Тогда можно записать: yy'= A (α₀,UU'), где U',y' вход и выход на интервале [t,t₀]

Утверждение, что (U',y') удовлетворяет уравнению вход - выход-состояние (2'), будет эквивалентно утверждению, что существует не пустое множество Q значений α в ∑, при которых выражение y=A(α;U') удовлетворяется для всех α в Q.

Тогда в качестве состояния объекта A в момент t может быть принято любое состояние α в Q_t (α₀,U) при α₀-состояние в момент t₀ или, что тоже самое, начальном состоянии A.

Состояние A в момент времени t будет обозначаться S(t).

Когда будет необходимо показать, что S(t₀) является начальным состоянием объекта A, уравнение вход - выход-состояние будет записываться в виде:

(4) y(t)= A(S(t₀);U_[t0,t])

S(t₀) и, в более общем случае S(t) изменяются в пространстве состояний ∑, т.е. для каждого фиксированного значения t, R[S(t)]=∑.

Если выполнены условия совместимости, то можно утверждать, что состояние S(t) однозначно определяется состоянием S(t₀) и входом U_[t0,t] и что функциональная зависимость S(t) от S(t₀) и U_[t0,t] может быть получена из уравнения вход - выход-состояние:

y(t)= A( S(t₀); U_[t0,t]), где α₀=S(t₀) (4)

Выражение S(t) как функция S(t₀) и U_[t0,t] называется уравнением состояния объекта.

(5) S(t)= S (S(t₀);U_[t0,t]), где

S- функция со значением в ∑.

Уравнение (5) производное от уравнения вход - выход-состояние (4).

Природа пространства состояний ∑ объекта является одной наиболее важных его характеристик. Если ∑ есть континуум, то будем говорить, что А есть объект с непрерывным пространством состояний.

Если ∑ есть счетное множество, A будет называться объектом с дискретным пространством состояний.

Если ∑ есть конечное множество, то А есть объект с конечным пространством состояний.

Вероятностные или стохастические объекты- объекты в которых для каждого t y(t) является случайной переменной. Для таких объектов уравнения вход-выход- состояние (4), заменяется уравнением вход-выход- распределение состояний, которое определяет вероятностную меру в пространстве y_[t0,t] как функцию начального состояния S(t₀) и входа U_[t0,t] .

Графическое представление систем.

U₁ у₁ U₁ S у₁

A

A

U_к у_к U_к у_к

Представление объекта в виде блок-диаграмм

1.4 ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ С НЕПРЕРЫВНЫМ

ВРЕМЕНЕМ.

Дифференциальные уравнения состояния:

(1) Ś(t)= A(t)S(t)+B(t)U(t)

(2) у(t)= C(t)S(t)+D₀(t)U(t)+D₁(t)U⁽¹⁾(t)+...+D_к(t)U^(к)(t)

Коэффициенты этих уравнений являются матрицами.

A- матрица состояний [n*n]

B- матрица входа [m*n]

C- матрица выхода [L*m]

D- проходная матрица [L*m]

Пусть А- непрерывная система, заданная уравнением входа-выхода вида:

Lу+Kŷ=Mu, где L,K,M- матричные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, u,у - входной и выходной векторы, а ŷ -скрытый выходной вектор.

Соотношения вход - выход-состояние.

В процессе установления соответствия вектора состояния с системой и связанного с этим определения соотношения вход - выход-состояние системы, описываемой дифференциальными уравнениями, состоит в нахождении общего решения этого дифференциального уравнения.

(2) L(p)y=u, L(p)=a_npⁿ+...+a₀, a_n≠0, которое описывает R.

Решить дифференциальное уравнение можно с помощью методов, хорошо известных из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако будет удобно основываться не на классической теории, а получить общее решение сразу, путем преобразования Лаплпса.

Пусть R- система, описываемая соотношением вход-выход (2), тогда выражение для общего решения будет иметь вид:

n t

(3) y(t)= ∑ y^(ℷ-1)(t₀-)Ф_ℷ(t-t₀)+ ⌡ h(t-ℰ)U(ℰ)dℰ t≥t₀,

ℷ=1 t₀

где h(t)=Z {1/L(S)}= импульсной реакции R

(4) H(S)=1/L(S)= передаточная функция R,

Ф_ℷ=Z^-1{(a_nS^n-ℷ+...+a_ℷ)/L(S)}, ℷ=1,...,n

Функции времени Ф₁,...,Ф_n линейно независимы и удовлетворяют дифференциальному уравнению

L(p)Ф_ℷ(t)=0, ℷ=1,...,n

На втором этапе необходимо отождествить постоянные a_i, i=1,..,n из уравнения (2) с составляющими вектора x(t₀-) - состояние R в момент времени t₀-.

Положим базисные функции, или точнее говоря их преобразования по Лаплпсу, равными:

S^n-1/L(S),...,S/L(S),1/L(S)

В этом случае составляющим x(t₀) будет:

(5) x₁(t₀-)=a_ny(t₀-),

x₂(t₀-)=a_ny^(n-1)(t₀-)+a₁y(t₀-)

....................................................

x_n(t₀-)=a_ny^(n-1)(t₀-)+...+a_n-1y(t₀-)

Заменяя начальные значения y^(ℷ-1)(t₀-) в (3) через их выражения, представленные с помощью составляющих x(t₀-), получим для общего решения (3)

t

(6) y(t)=<(t-t₀),...,x(t₀-)>+ ⌡ h(t-ℰ)U(ℰ)dℰ, t≥t₀

t₀

где h- импульсная реакция R

Ф(t)=(Ф₁(t),...,Ф_n(t)); составляющие которого суть базисные функции:

Ф_ℷ(t)= Z^-1{ (a_nℷ^n-1+...+ a_ℷ)/L(S) },

а <Ф(t-t₀), x(t₀-)> обозначает скалярное произведение базисного

вектора Ф(t-t₀) и начального вектора состояния x(t₀-).

Уравнение (6) является соотношением вход - выход-состояние для R.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТРИЦА.

Будем исследовать реакцию при нулевом входе и вынужденную реакцию систем, описываемых уравнением вида:

(11) x(t)= A(t)x(t)+B(t)U(t), где

A(t)- квадратная матрица порядка n, элементами которой являются функции, непрерывные для всех значений t; B(t)-непрерывная матрица размером [n*r]; x(t) - вектор состояния, U- вход.

Пусть A(t) есть квадратная матрица порядка n, элементы которой - непрерывные функции. Тогда решение матричного дифференциального уравнения:

(12) X= A(t)X(t), X(t₀)=C, где

C есть произвольная постоянная матрица, имеет следующий вид:

(13) X(t)= (t,t₀)C

Любая неособенная матрица, которая удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению (12), называется фундаментальной матрицей системы (11). Таким образом, любая фундаментальная матрица имеет вид (13) при некоторой неособенной матрице С n строк любой фундаментальной матрицы есть n линейно независимых решений для уравнения (11).

th. Пусть A(t) есть квадратная матрица порядка n, элементы которой непрерывные функции времени. Пусть Ф(t,t₀) есть также квадратная матрица порядка n, которая является решением уравнения

(14) d/dt Ф(t,t₀)=A(t)Ф(t,t₀), (t,t₀)=I

Тогда решение уравнения

(15) x(t)= A(t)x(t), x(t₀)=x₀,

обозначаемое через x(t,x₀,t₀), есть

(16) x(t,x₀,t₀)=Ф(t,t₀)x₀ ∀t, ∀x₀

Матрица Ф(t,t₀) называется переходной матрицей состояния.

Из уравнения (16) можно сказать: матрица Ф(t,t₀) есть

линейное преобразование, которое отображает состояние x₀ в момент времени t₀ в состояние x(t) в момент t.

СПОСОБЫ ВЫЧЕСЛЕНИЯ МАТРИЧНОЙ ЭКСПОНЕНТЫ.

t

1. Если всех t ⌡ A(Ʈ)dƮ и A(t) коммутативны, то

t₀

t

Ф(t,t₀)= exp ⌡ A(Ʈ) dƮ

t₀

Пусть Ф(t,t₀) переходная матрица для (11),определяемой выражением (14), тогда:

t

(17) det Ф(t,t₀)= exp ⌡ a(Ʈ) dƮ , где

t₀

n

a(Ʈ) ≜ ∑ a_iƮ(Ʈ) ≜ trA(Ʈ).

i=1

2. Законченное решение позволяет получить формула интерполяции Лагранжа-Сильвестра. Она применима к матричным функциям, которые могут быть представлены в виде (сходящихся) степенных рядов.

∞

f(A)= ∑ C_iAⁱ ,где

0

матрица А с n отличающимися друг от друга собственными значениями соответствующих формуле интерполяции Лагранжа для аппроксимации функций с помощью многочленов. Матрица перехода Ф=exp{At} представляет такой степенной ряд

n

(18) Ф(t)= e^At= ∑ e^ℷitF_i , где

i=1

n

F=П (A-ℷ_iI)/(ℷ_i-ℷ_j)

j=1

j≠i

3. Применение преобразования Лапласа к однородному дифференциальному уравнению вида q=Aq, позволяет получить формулу, похожую на формулу Сильвестра, которую можно использовать не только для случая с простыми корнями.

∞

(19) Ф(t)= e^At≜ ∑ Aⁱtⁱ/i!= I+At+A²t²/2!+...

i=1

Эта формула особенно пригодна для аналитических исследований.

4. С помощью преобразования подобия матрица с n совершенно различными корнями ℷ_i может быть приведена к диагональной матрице Л.

Решение относительно А дает.

(20) A= KЛK^-1 ,где

К - матрица собственных векторов, K≜[K₁,K₂,...,K_n], согласно выводу из теории матриц имеет:

для двух подобных матриц А и, Л соответствующих уравнению (20), справедливо

f(A)=Kf(Л)K^-1

(21) Ф(t)=Ke^ЛtK^-1

причем, если известны корни ℷ_i, сразу можно записать матрицу exp{Лt}

e^ℷ1t......0

e^Лt=

0......e^ℷnt

Рассмотренные способы дают решение в аналитическом виде и требуют больших затрат времени на определение собственных значений матрицы А, т.е. корней характеристического уравнения. В приведенных ниже способах оба этих момента отсутствуют.

5 При расчете матрицы перехода с помощью формулы Тейлора из (19)

p-1

(22) Ф(t)= ∑ Aⁱ tⁱ/t!+R_p

i=0

в системах с сосредоточенными параметрами для отдельных элементов матриц получим полиномы в функции t, которые могут быть записаны в виде сумм показательных функций e.

6. Путем программирование на аналоговой вычислительной машине элементы матрицы перехода могут быть получены в виде кривых, численно оценены или аналитически аппроксимированы.

Модуль вход-выход непрерывного объекта управления в форме векторно-матричного дифференциального уравнения

вектор входа U=[U₁, U₂,...,U_m]^T

вектор выхода x=[x₁,x₂,...,x_m]^T

вектор состояния q=[q₁,q₂,...,q_m]^T

Уравнение состояния (векторное дифференциальное уравнение)

(23) q(t)= Aq(t)+Bu(t)

Уравнение входа

(24) x(t)= Cq(t)+Du(t)

Для одномерной системы n-го порядка эти уравнения упрощаются:

(25) q(t)=Aq(t)+bu(t)

(26) x(t)=C^Tq(t)+du(t)

(27) q₁ = a₁₁ a₁₂ q₁ + b₁ U; при n=2

q₂ a₂₁ a₂₂ q₂ b₂

(28) x=|C₁ С₂| q₁ + dU

q₂

Таким образом, векторное дифференциальное уравнение (25) служит компактной формой записи для системы из n скалярных дифференциальных уравнений первого порядка

(29) q = a₁₁q₁+a₁₂q₂+b₁U;

q = a₂₁q₁+a₂₂q₂+b₂U.

Уравнение входа для одномерной системы представляет собой скалярное алгебраическое уравнение

(30) x= c₁q₁+c₂q₂+dU

ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ.

Прежде всего нужно определить выходной сигнал x_v(t), соответствующий входному сигналу U_v(t)

(31) U_v(t)=U(V)dV δ(t-V)

U(V)dV - площадь импульса

δ(t-V)- единичный импульс при t=V

Соответствующий этому выходной сигнал представляет реакцию на импульсное воздействие, или соответственно весовую функцию g(t-V), характеризуемую импульсами площадью U(V)d .

Если уравнения системы представлены в стандартной форме записи (23), (24), то можно использовать общую форму решения уравнения переходного процесса:

t

(32) q(t)= Ф(t)q(0)= ⌡ Ф(t-Ʈ) BU(Ʈ)dƮ= q_св(t)+q_прн(t)

0

В рассматриваемом здесь случае переходного процесса при

возмущающем воздействии и нулевых начальных условиях для выраженного в относительных единицах входного сигнала U_δ

U_δ(t)=δ(t)

получим характеристику состояния в относительных

t

(33) q_δ(t)= ⌡ Ф(t-Ʈ) bδ(Ʈ) dƮ

0

Для импульса δ(Ʈ), возникающего в момент времени Ʈ=0, интервал интегрирования должен быть принят от -0

Ф(t)b , при t≥0

(34) q_δ(t)=

0, при t<0

Весовую функцию находят путем подстановки (34) в уравнение выхода (26)

(35) q(t)=x_δ(t)=C^Tq_δ(t)+dU_δ(t)= C^TФ(t)b+dδ(t) при t≥0

Для определения элементарного выходного сигнала x_δ(t), соответствующего уравнению (31), нужно учесть еще смещение входного импульса по времени и его интенсивность (площадь).

(36) x_v(t)=U(V) dV g(t-V)=U(V) dV[C^TФ(t-V)b+dδ(t-V)]

U(t)=U(V)dV δ(t-V)

U

x(t)=U(V)dVq(t-V)

V Ʈ=t-V

t

Элементарный входной и выходной сигналы при разложении на импульсы.

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА.

Пусть система A линейна и стационарна и пусть h(*) является ее импульсной реакцией.

Предположим, что существует преобразование Лапласа для h. Тогда это преобразование

∞

(37) H(S) ≜ ⌡ e^-st h(t) dt

-∞

называется передаточной функцией H системы A.

Передаточная функция является оператором, характеризующим передачу сигнала линейным передаточным звеном, путем умножения которого, на изображении входного сигнала получается преобразованный

входной сигнал звена, имевшего до этого рабочую точку q=0.

В случае системы со многими входами и выходами передаточная функция становится матричной передаточной функцией H(S);

ее (i,j)- представляет собой преобразование Лапласа для h_ij(t), т.е. для установившегося режима i-го выхода на единичный импульс, приложенный к j-му входу в момент t=0.

Пусть - линейная стационарная система, и пусть H(S)- ее передаточная функция. Если y является реакцией системы при нулевом состоянии на входе воздействия U, то

(38) Y(S)= H(S) V(S)

где Y и V - преобразования Лапласа для y и U.

Передаточная функция H(S) идентична весовой функции g(t), преобразованной по Лапласу.

1.5 ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ.

В случае, когда одна или более переменных могут наблюдаться только периодически, причем период наблюдения достаточно мал, так то все переменные можно восстановить с приемлемой точностью по их квантованным значениям, можно записать уравнения рассматриваемой

системы для дискретных (квантованных) значений для всех переменных. Иными, словами в качестве такой системы берется дискретная по времени система.

Исследование дискретных систем во многом подобно исследованию непрерывных систем.

Преобразование непрерывных систем в дискретные.

Пусть дана непрерывная система Y с уравнениями состояния

(1) x= Ax + Bu;

(2) y= Cx + Du, где

A,B,C,D суть (n*n), (n*r), (p*n) и (p*r)- постоянные матрицы

соответственно.

Предположим, что компоненты входного вектора замеряются периодически и фиксируются (сохраняются неизменными) в течении каждого интервала (kT,(k+1)T), где k=...,-1,0,1...

квантование и запоминание

S определяется

ур-ми (1),(2)

U y

рис.1

На рисунке 1 показано, что такая операция над входным вектором реализуется с помощью блока квантования, включенного между входом U и системой Y.

Если α(t) является входом блока квантования, то его выход α₀ будет ступенчатой функцией

α₀(t)=α(kT), kT

Будем полагать, что вход измеряется через каждые T секунд, где T- период повторения или период квантования. Вход системы задается последовательностью векторов {U_k}, причем U_k=U(kT+).

Период повторения T выбирается достаточно малым, так что интерполирование последовательностей {x_k}, {y_k}, где x_k= x(kT+), y_k= y(kT+), определяет функции x(t), y(t) с приемлемой точностью для всех t. По этой причине имеет

смысл искать зависимости между последовательностями {x_k},{y_k} и входной последовательностью. Наиболее удобно представить такие последовательности в виде рекуррентных соотношений выражающих x_k+1 и y_k+1 через x_k и U_k . Используя выведенные ранее уравнения и вводя обозначение:

(3) F=exp AT,

_T

(4) G=( ⌡ [exp(AƮ)]dƮ)B, получим

⁰

получим

(5) x_k+1= Fx_k+Cu_k

(6) y_k+1= Cx_k+1+Du_k+1

Выражения (5),(6) являются уравнениями состояния дискретной системы, вход, выход и состояние которой определяется последовательностями векторов {u_k}, {x_k}, {y_k} соответственно. Поскольку A,B,C,D постоянные матрицы, эта система линейна и стационарна.

Из (5) можно найти x_k как функцию начального состояния x₀ и последовательности {U_i}^r-1

k-1

(7) x_k=F^kx₀+ ∑ FⁱGU_k-i-1, k=1,2,3,...

i=0

РЕШЕТЧАТЫЕ ФУНКЦИИ.

Функции, определенные только в некоторых точках t₁,t₂ и т.д называются решетчатыми.

Пусть t= nT- равностоящие точки, где n- любое целое число, а T- постоянная, называемая периодом дискретности.

Тогда определенные в этих точка функции f[nT]

f[nT]

Любой f(t)- непрерывной можно

поставить в соответствие некоторое множество решетчатых функций, если представить переменную t=nT+ℰT (0≤ℰ≤1). При каждом фиксированном значении р переменной функцию f(nT+ℰT)

-4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T nT

можно рассматривать как