Математические основы теории систем

функцию, определенную в точках ℰT, (ℰ+1)T, (ℰ+2)T,....Такие функции называются смешанными решетчатыми функциями. f(nT+ℰT)=f[nT,ℰT]

(8) f (n-1)T,T = f[nT,0]

Конечные разности решетчатых функций.

Выражение Δf[n]=f[n+1]-f[n] (9) называется разностью первого порядка решетчатой функции f[n]

Δ²f(n)=Δ f[n+1]- Δf[n]- вторая разность

Δ^kf(n)=Δ^k-1f[n+1]- Δ^k-1f[n]- к-тая разность

Выражение значения решетчатой функции через ее конечные разности до порядка l включительно:

l

(10) f[n+l]= ∑ (k^l) Δ^kf[n]; где (k^t)=l!/k!(l-k)

k=0

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ .

Всякое соотношение, связывающую решетчатую функцию x[n] и ее разности до некоторого порядка K:

(11) Ф[n, x[n], Δ x[n],.., Δ^kx[n] =0, называется разностным уравнением. Соотношение (11) можно записать:

(12) Ф[n,x[n],x[n+1],x[n+2],...,x[n+k]=0, уравнение порядка K.

Рассмотрим пример.

(13) Δ³x[n]+ Δ²x[n]+2Δx[n]+2x[n]=f[n]

(13) можно переписать x[n+3]-2x[n+2]+3x[n+1]=f[n], если m=n+1, тогда:

(14) x[m+2]-2x[m+1]+3x[m]=f[m-1]

Таким образом, уравнение (13) является уравнением второго порядка.

Решетчатая функция x[n], которая обращает уравнение в тождество, называется решением разностного уравнения. Решение разностного уравнения (РУ) определяется наиболее просто, если (РУ) порядка К можно разрешить относительно функции x[n+k], т.е представить в виде:

(15) x[n+K]= F[n,x[n],x[n+1],...,x[n+k-1]]

Зададим К начальных условий при некотором значении аргумента n=n₀: x[n₀]=x₀, x[n₀+1]=x₁,..., x[n₀+K-1]=x_k-1

Соотношение (15) определяет по заданным начальным условиям значение решения при n=n₀+K. Используя значение x[n₀+K], вычислим последовательно x[n₀+K+1], x[n₀+K+2] и все остальные x[n] при n≥n₀+K.

Решение РУ (15) x[n]= ℰ[n,x₀, x₁,...,x_k-1].

Рассматриваемая начальные условия мы получим общее решение уравнения (15) как функцию К произвольных постоянных C₀,C₁,..,C_k-1

(16) x[n]=ℰ[n,C₀,C₁,...,C_k-1]

Линейное РУ порядка К:

(17) a₀[n]Δ^rx[n]+a₁[n]Δ^r-1x[n]+....+a_r[n]x[n]=f[n]

где r≥K, f[n], a₀[n], a₁[n], ... ,a_r[n] - заданные решетчатые функции. Данное уравнение называется неоднородным РУ, если правая часть f[n]≠0, в противном случае это уравнение однородно.

Если решетчатые функции ℰ₁[n], ... , ℰ_l[n] являются решением линейного однородного РУ:

x[n+K]+b₁[n]x[n+K-1]+ ... +b_k[n]x[n]=0, то функция

_l

ℰ[n]= ∑ C_iξ_i[n], где (i=1,2, ... ,l) - произвольные постоянные,

ⁱ⁼¹

также является его решением.

Совокупность К линейно независимых решений разностного однородного уравнения порядка К называется фундаментальной системой решений.

Если при n≥n₀ существует фундаментальная система решений ℰ₁[n],...,ℰ_k[n] однородного разностного уравнения, то общее решение этого уравнения выражается:

k

ℰ[n]= ∑ C_iℰ_i[n]

i=1

Общее решение линейного неоднородного разностного уравнения:

x[n+K]+b₁[n]x[n+K-1]+ ... +b_k[n]x[n]=f[n] равно сумме

частного решения ψ[n] и общего решения соответствующего однородного ур-я, т.е.

_k

x[n]=ψ[n]+ ∑ C_iℰ_i[n]

ⁱ⁼¹

где C_i - произвольные постоянные, E_i[n] - решение однородного уравнения, удовлетворяющие:

W(E₁[n₀],...,E_k[n₀])≠0 (определитель).

Z - преобразования и его свойства.

И.М.

S

U y t

рис. 3.

Для изучения свойств и соотношений, связывающих входные и выходные последовательности системы, изображенной на рис.3, воспользуемся Z-преобразованием. (На рис.3 показана модель системы вход U с импульсным модулятором).

Определение Z-преобразование. функции U(0;∞) представляет собой функцию U комплексной переменной Z определяемую выражением:

∞

(18) U(z)=Z(U)= ∑ U(nT)Z^-n , где

n=0

Т-период повторения импульсного модулятора.

Замечание: Если U имеет разрыв в любой дискретный момент kT, смысл соотношения (18) становится не вполне понятным. Поэтому будем всегда считать

U(nT)=U(nT+), n=0,1, ...

,т.е. все функции от времени, которые будут преобразовываться в дискретные, будут равны 0 для t<0, и если они непрерывны в некоторые дискретные моменты, то должны существовать значения U(nT-) и U(nT+).

Пример: функция времени z-преобразование

1(t) 1/(1-z^-1)

e^-αt 1/(1-z^-1e^-αt)

Согласно (18) U(z) определяется степенным рядом от z^-1. Этот ряд сходится для всех z за пределами окружности |z|=R_u, где

R_u=lim SVp √ |U(nT)|

^n→∞

Будем полагать, что каждая рассматриваемая функция имеет конечный радиус сходимости.

Если U является входом импульсного модулятора, то его выход равен

∞

U= ∑ U(kT)δ(t-kT)

k=0

Такая последовательность импульсов имеет преобразование Лапласа

∞

U(S)= ∑ U(kT)e^-srT

k=0

Сравнивая (18) с данным соотношением, замечаем, что

U(z)|z=e^sT =U(S)

Th. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3. Пусть H(z) будет Z-преобразованием импульсной реакции h. Пусть у будет реакцией при нулевом состоянии на входе U, прикладываемый в момент t=0.

Тогда получим:

(19) Y(Z)=H(Z)U(Z) ,для |Z|>max(R_u,R_k)

Выражение (19) аналогично выражению Y(S)=H(S)V(S), которое устанавливает зависимость реакции при нулевом состоянии, импульсной реакции U входа непрерывной системы. По этой причине будем называть H(Z) дискретной передаточной функцией или передаточной функцией, Z-функцией.

∞

(20) H(Z)U(Z)= ∑ y_lz^-e=Y(Z), |Z|>max(R_h, R_u)

l=0

Формула для нахождения последовательности {y(kT)}, т.е. дискретного выхода.

Свойства Z-преобразования.

1. Теорема линейности.

Z(αf)=αZ(f ) ∀ комплексных чисел α, ∀|Z|>R_f

Z(f+g)=Z(f)+Z(g) ∀|Z|>max (R_f,R_g)

2. Теорема обращения

f(nT)=1/2∏j ⌡_Г F(Z)Z^-1 dZ, n=0,1,...,

где Г - любая замкнутая спрямляемая кривая, охватывающая начало координат и лежащая вне окружности |Z|=R>R_f.

3. Теорема о начальном значении.

f(0+)= lim F(Z)

^Z→∞

4. Теорема сдвига.

Если F(Z) есть Z- преобразование последовательности {f₀,f₁,f₂,...}, то Z^-1F(Z) есть Z-преобразование последовательности {0,f₀,f₁,f₂,...}.

1.6. СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ.

Введение: Реакция любой линейной системы содержит две составляющие: реакцию при нулевом входе и реакцию при нулевом состоянии, причем последняя характеризуется передаточной функцией.

Рассмотрим линейную стационарную систему У с несколькими входами и выходами описываемую уравнениями:

(1) x=Ax+Bu

(2) y=Cx+Du

где A,B,C,D- (n*n), (n*r), (p*n) и (p*r)- постоянные матрицы;

x- n-мерный вектор, характеризующий состояние данной системы;

u- входной r-мерный вектор, у- входной p-мерный вектор.

Будем говорить, что система У управляема, если при известных матрицах A и B и состоянии x₀ системы при t₀ можно найти некоторый вход u_[t0,t0+T], который будет переводить систему из состояния x₀ в нулевое состояние 0 в момент t₀+T.

Опр. Система Ф, определенная уравнением (1) называется управляемой в том и только том случае, если для всех х₀∈ℰ^N при начальном состоянии x₀ системы в момент t=0 и некотором конечном T(T>0) найдется вход U_[0,T]

такой, что:

(3) x(T;x₀;0;U_[0;T])=0

Опр. Состояние х₁ системы У, описываемой уравнением (1), будем называть управляемым в том и лишь в том случае, если для некоторого конечного Т существует управление U_[0,T] такое, что:

x(T;x₁;0;U_[0;T])=0

НАБЛЮДАЕМОСТЬ.

Понятие наблюдаемости тесно связано с понятием управляемости. Управляемость означает, что, зная начальное состояние и матрицы, характеризующие рассматриваемую систему, можно найти вход, который переводит это состояние в нулевое конечное время. Наблюдаемость означает, что знания матриц характеризующих систему, и реакции при нулевом входе Y[0,t] на конечном интервале достаточно для однозначного определения начального состояния данной системы.

Определение: система, описываемая (1) и (2) называется наблюдаемой в том случае, когда, для некоторого Т>0 и всех возможных начальных состояний х(0), значения матриц А и С и реакции при нулевом входе Y[0,t] достаточно, чтобы определить начальное состояние x(0).

Тh: Система, Y описываемая (1), (2) наблюдаема в том и лишь в том, случае, если на np столбцов матрицы Р=[С* ,А* С* ,..,А*^(n-1) С* ] натянуто пространство состояний ℇ . ( Матрицы А*, С*,. получаются транспонированием матриц А, С,. и заменой их элементов комплексно сопряженными. )

ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРАВЛЯЕМОСТИ.

Тh: Система Y , описываемая уравнением (1), управляема тогда и только тогда, когда на вектор столбцы В,АВ,..,B(n-1) матрицы Q≜[В,АВ,...,А^(n-1)В] натянуто пространство состояний системы Y. Рассмотрим интерпритацию этой теоремы в терминах канонической экордановой формы матрицы системы. Такая форма позволяет определить управление, требуемое для перевода любого состояния в нулевое. Для простоты будем рассматривать систему с одним входом, описываемую уравнением:

(6) х=Ах+Вu

где А постоянная матрица порядка n, В -n-мерный вектор, u-скалярный вход.

Если минимальный многочлен матрицы А имеет степень k⋜n-1, то система, характеризуемая уравнением (6), неуправляема.

Произведем замену переменных, положив х=Тy, причем матрица Т такова, что Т^(-1)АТ=J, где J-каноническая форма Экордана матрицы А. Если обозначить е=Т^(-1)В, то уравнение (6) преобразуется к виду:

(7) y=Jy+eU

Th. Пусть А имеет различные собственные значения, так что J=diag(ℷ₁,...,ℷ_N). Тогда система, описываемая (6), управляема в том и только в том случае, когда все компоненты вектора e=Т^-1В отличны от нуля.

1.7. СИГНАЛЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЬЕКТОВ.

Временная функция (форма передачи), передаваемая материальным параметром, называемым носителем информации или пространственное размещение (форма заполнения ), называется сигналом, если она по меньшей мере с помощью одного из ее параметров передает информацию.

пример:

t t

Носителем информации здесь является электрическое напряжение; информационным параметром амплитуда импульса. В качестве сигнала можно рассматривать временную функцию U(t) (математическую функцию).

Сигналы называются аналоговыми или дискретными, если они передают или изображают аналоговую или дискретную информацию. В аналоговых сигналах информационные параметры в пределах определенных границ могут принимать любое значение, а в дискретных сигналах они принимают только дискретные значения.

Дискретные сигналы, информационные параметры, которых могут принимать только два дискретных значения, называются двоичными.

Цифровыми сигналами являются закодированные дискретные сигналы, в которых дискретные значения информационного параметра соответствуют словам условного алфавита. Все дискретные сигналы не являющиеся цифровыми называются многозначными. Для классификации сигналов имеет значение разделения их на непрерывные и импульсные.

Сигналы называются непрерывными, если их информационные параметры изменяются в любой момент времени, и импульсными, если они изменяются в дискретные моменты времени.

Схема прохождения сигналов кибернетической системы представляет собой граничное изображение (статической и динамической) характеристик звеньев и связей с общей системой. Схема прохождения сигналов представляет собой графическое изображение математической модели системы. Математическая модель является совокупностью всех уравнений, которые описывают соотношение между всеми рассматриваемыми входными и выходными сигналами. Для изображения схем прохождения сигналов наиболее употребительны два способа, которые имеют определенные преимущества: способ изображения в виде структурной схемы и изображение в виде графа прохождения сигнала. При изображении схемы прохождения сигналов в виде структурной схемы звенья показываются в виде блоков, а стрелками указываются направления прохождения сигналов. Структурная схема представляет собой схематическое (качественное) изображение передаточных звеньев системы и ее связей через входные и выходные сигналы. Качественное описание характеристики звена с выходными сигналами U₁,...,U_m должна пониматься характеристика передачи в установившемся режиме, которая описывается статическим передаточным уравнением:

1. x_g=x(∞)=lim x(t)=f(U₁,...,U _v)

t→∞

в случае если существует х (∞).

Под динамическими характеристиками понимается зависимость выхода системы от ее входа в переходном процессе. Динамическая характеристика системы или звена может, быть описана различными способами.

Для аналоговых звеньев, входные и выходные характеристики которых изменяются непрерывно, характеристика передачи может быть, описана следующим дифференциальным уравнением в скалярной форме (после деления всех членов на коэффициент х”)

(2) xⁿ +A_n-1 x^n-1+...+A₁ x+A₀ x=B_m U^m+...+B₀ U

где U(t)-входной сигнал, x(t) выходной сигнал.

x=q₁, x=q_2, x^n-1=q_n получим уравнения системы для случая одномерного пространства:

(3) q(t)=Aq(t)+Bu(t)

x(t)=c^Tq(t)+du(t)

CКАЧКООБРАЗНАЯ И ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИИ.

Передаточные свойства линейного звена характеризуются реакцией на скачкообразное изменение входного сигнала:

u_s(t)=u_оδ(t)= 0, при t<0

u₀, при t⋝0

здесь δ(t) является единичной скачкообразной функцией:

δ(t)≜ 0, при t<0

1, при t⋝0

Значение скачкообразной функции основывается на том, что единичный входной сигнал u(t) может быть разложен на последовательность сдвинутых по времени скачкообразных функций с разными амплитудами.

u(t)

рис 1.

t

Благодаря применяемому для линейных систем методу суперпозиций соответствующий выходной сигнал можно получить путем наложения друг на друга реакций системы на отдельные скачкообразные функции. Реакция на единичное воздействие, х_s(t) линейного звена:

x_s(t)≜q u_s(t)=q U₀δ(t) (4)

Переходная функция h(t) линейного звена:

(5) h(t)≜x_s(t)/U₀=q(t)

Переходная функция линейного звена представляет собой его реакцию на единичное воздействие, отнесенную к амплитуде скачка вх. сигнала.

ИМПУЛЬСНАЯ И ВЕСОВАЯ ФУНКЦИИ.

Аналогично скачкообразной функции и реакции на единичное воздействие импульсная функция и соответствующая реакция на импульсное воздействие могут служить для характеристики передаточных свойств линейных звеньев. Этот метод заключается в том, что входной сигнал u(t) может быть представлен в виде последовательных импульсов функций рис 2

1/u u→0

u u

рис 2 рис 3

Разложение сигнала в последовательность импульсных эвристическая интерпретация функций

Для хорошей аппроксимации, ширина u приведенных на рис. 2, 3 функций, должна быть ничтожно мала. Реакция на импульсное воздействие х(t) линейного звена:

6. x↑(t)≜q*u↑(t)=q*A*δ(t)

(* -обозначается свертка функции u(t) и q(t) с помощью интеграла свертки); δ(t)-импульсная функция; А - площадь импульса u↑(t). Весовая функция q(t) линейного звена:

q(t)≜ x↑(t)/A=q*δ(t)

Весовая функция q(t) линейного звена представляет его реакцию на импульсное воздействие, отнесенную к интегралу от входного сигнала, взятому по времени.

В соответствии с общим значением импульсного сигнала (рис 3) следует, что весовая функция является свойством

передаточного звена, которое определяет его особенности при передаче сигнала. Схема прохождения сигнала: изображение в виде графа прохождения сигнала.

Граф представляет собой схему, состоящую из узлов и ветвей, соединяющих узлы. Граф прохождения сигналов, представляет собой граф с направленными ветвями.

x(t)=cu(t) узел x(p)=G(p)U(p)

x(t)=f{u(t)}

рис 4

При изображении схемы прохождения сигналов в виде графа, сигналы условно изображаются узлами, а звенья ветвями с указанием направления передачи. При этом принимается, что изображению временной функции (рис 4а) соответствует выражение:

x(t)=Cu(t) или x(t)=F{u(t)}

С - постоянная,F оператор, являющийся функцией времени.

ДЕТЕТМЕНИРОВАННЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ.

u u u

а) t б) t в) t

u

а-в детерминированные сигналы

г - стохастический сигнал

Рис. 5

г) t

Характеристика сигналов, представленных на рис 5, а –в, очевидно, что может быть однозначно описана аналитической функцией для всех t, если характер этой зависимости сохраняется за пределами показанного интервала. Таким образом, значение в каждый момент времени t определено, т.е. детерминировано.

Но это не имеет место для сигнала, показанного на рис 5г. Его характеристика, замеренная в конечном интервале времени, может быть с большими трудностями и разной степенью точности описана на этом интервале. Отсюда, дальнейшее значение изменение сигнала, нельзя точно предугадать заранее.