Xreferat.com » Рефераты по математике » Математические основы теории систем

Математические основы теории систем

Временная характеристика таких сигналов является случайной функцией. Такие сигналы получаются из-за многих, причин, которые вследствие больших трудностей не могут быть достаточно проанализированы.

Подобного вида сигналы называются стохастическими сигналами.

Сигналы называются детерминированными, если их временная характеристика, может быть, однозначно определена.

Сигналы называются стохастическими, если их временные характеристики являются случайными функциями, причем для этих характеристик могут быть указаны общие статические параметры.

Если все сигналы в системе детерминированы, то также оказываются детерминированными временные характеристики всей системы.

Стохастические сигналы могут возникать в системе из-за того, что-либо входные сигналы являются стохастическими, либо определенные параметры системы подвержены случайным колебаниям.

Системы называются детерминированными, если все сигналы (вход, состояние, выход) детерминированы, и стохастическими, если, по крайней мере, один сигнал является стохастическим. В детерминированных системах возможна детерминированная обработка задачи управления, стохастическая система требует стохастической обработки.


1.8. МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ.

Величина, которая в каждом определенном случае в зависимости от результатов опыта может принимать то или иное числовое значение, называется случайной величиной. Конкретное значение, которое может принять случайная величина, называется возможным ее значением. Случайную величину можно определить как, функцию заданную на пространстве элементарных событий.

Случайные величины обозначают большими буквами латинского алфавита X,Y,Z,.., а возможные их значения соответствующими буквами x, y, z,...,. Случайная величина зависит, от элементарного события. Этот факт обозначается следующим образом Х=Х(ω).

Случайная величина, множество значений которой конечно или счетною, называется дискретной, случайной величиной.

ВЕКТОРНЫЕ (МНОГОМЕРНЫЕ) СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Кроме одномерных, случайных величин можно рассматривать многомерные, случайные векторы, координаты которых являются одномерными, случайными величинами. Такие случайные величины встречаются во многих технических задачах.

Случайные сигналы G и Х на входе и выходе системы автоматического регулирования (САР) с n -выходами и m -входами можно рассматривать n- и m- мерные, случайные векторы (рис 1)


САР

САР

g1 x1

g2 x2

X G

gn xn


GT=[g1,g2,...,gn] XT=[x1,x2,...,xn]

Случайные векторные величины будем обозначать жирными буквами латинского алфавита X,Y,Z, . Рассмотрим совокупность n случайных величин x1( ), x ( ),.., x ( )заданных на пространстве элементарных событий. Эти величины можно интегрировать как одну векторную, случайную величину:

(1) XT(ω)=[x1(ω),...,xn(ω)]

Случайная векторная величина принимает каждый раз значения, зависящие от элементарного события. Таким образом, многомерная, случайная величина есть вектор-функция, заданная на пространстве элементарных событий, и каждое ее возможное значение есть вектор.

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (МОМЕНТЫ) СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Полными характеристиками случайных величин являются их функции распределения или плотности распределения вероятностей. Однако многие задачи теории вероятности можно решать, не используя функции распределения вероятностей. Оказывается, что статические свойства случайных величин могут быть описаны на основе числовых характеристик распределения этих случайных величин. Одной из наиболее важных числовых характеристик случайной величины является ее среднее значение, называемое также математическим ожиданием.

Математическим ожиданием М [Х] случайной величины Х называется число, определяемое интегралом вида:

(2) mX=M[X]=⌡ xf(x)dx

-∞

где f(х) - плотность распределения вероятностей случайной величины Х, х - возможные ее значения.

Для дискретной, случайной величины Х, плотность распределения вероятностей есть сумма дельта - функций получим:

n n

(3) M[X]=x ∑ pk δ(x-xk)dx= ∑ xk pk

k=1 k=1

здесь хk возможное значение случайной величины, pk- вероятность того, что случайная величина примет значение хк.

Из равенства (3) следует, что математическое ожидание случайной дискретной величины Х равно сумме произведений возможных значений, принимаемых случайной величиной, на соответствующие им вероятности.

Отсюда вытекает вероятностный смысл математического ожидания, оно определяет координату центра группирования значений, принимаемых случайной величиной; следовательно, математическое ожидание является средним значением случайной величины.

Для непрерывной, случайной величины каждому ее возможному значению х соответствует элементарная вероятность f(х)dx . Если задана случайная величина Y, которая является неслучайной функцией Y=Ψ(x) случайного дискретного элемента Х, то Y принимает возможные значения уk=Ψ(хk) с вероятностями pk; поэтому математическое ожидание случайной величины Y=Ψ(х) аналогично равенству (3).

n

(4) M[Ψ(x)]= ∑ Ψ(xk)pk

k=1

Если Х - непрерывная, случайная величина, то функция от этой величины Y=Ψ(х) принимает возможные значенияΨ(x) с вероятностями f(х)dх. В этом случае сумма (4) после предельного перехода равна соответствующему интегралу:

(5) M[Ψ(x)]= ⌡ Ψ(x)f(x)dx

-∞

Пологая, в формуле (5) Ψ(х)=хn получим выражение для моментов случайных величин Х.

Начальным моментом (или просто моментом) случайной величины Х называется математическое ожидание ее, n-ной степени. Этот момент обозначается αn т.е.

(6) αn=M[Xn]= ⌡ xn f(x)dx

-∞

Очевидно, математическое ожидание не может дать полное представление о случайной величине, т.к. характеризует только ее среднее значение:

* * * * **** x1

0 m


* *** *** * x2

0 m

На рисунке 2 крестиками показаны значения, которые приняли случайные величины х1, х2. Эти случайные величины имеют одинаковые математические ожидания M[x1]=M[x2]=m, но разброс значений, который имеет случайная величина х2 около своего математического ожидания, больше чем разброс значений случайной величины х1.

Для характеристики величины разброса значений случайной величины около математического ожидания вводится еще одна характеристика случайной величины, равная сумме произведений квадратов отклонений, возможных значений случайной величины от математического ожидания на соответствующие этим возможным значениям вероятности.

Такая числовая характеристика называется дисперсией случайной величины Х и обозначается D[Х]. Для дисперсии случайной величины Х имеем:

n

(7) D[X]= ∑ (xk-M[X])2 pk

k=1

Очевидно, что чем больше дисперсия, тем больше разброс возможных значений случайной величины от математического ожидания. Из выражения (6) следует, что дисперсия есть математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания.

Для непрерывной, случайной величины Х формула (6) после предельного перехода принимает вид:

(8) D[X]=M(X-M[X])2= ⌡ (x-M[X])2 f(x)dx

-∞

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется центрированной случайной величиной Х.

(9) X=X-M[X]

Центральным моментом n-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание n-ой степени интегрированной случайной величины Х, т.е.

(10) μn=M[(X)n]=M[X-M[X]n]= ⌡ (x-M[X]n) f(x)dx

-∞

Из формул (8), (9) следует, что дисперсия является центральным моментом второго порядка случайной величины. Дисперсия случайной величины имеет разность квадрата этой величины, однако, удобнее пользоваться мерой разброса случайной величины, имеющей ту же размерность, что и сама случайная величина. За эту меру принимают положительное значение квадратного корня из дисперсии и называют ее средним квадратичным отклонением.


(11) δx=√ D[X] = √ μx


МОМЕНТЫ МНОГОМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Как и для одномерных, случайных величин, для случайных векторов вводят понятие начального и центрального моментов. Рассмотрим случайный n-мерный вектор - столбец Х с координатами х1, х2,...,хn

Смешанным начальным моментом порядка k1+k2 +,...,+kn случайных, величин х1, .. , хn называется математическое ожидание произведения


(12) αk1, k2,..., kn=M[x1k1, x2k2,..., xnkn]


Смешанным центральным моментом порядка k1, k2,..., kn случайных, величин х1 ,..,хn называется математическое ожидание произведения (x1)k1(x2)k2..(xn)kn соответствующих центрированных случайных величин т.е.

(13) μk1, k2,..., kn=M[(x1)k1(x2)k2...(xn)kn]

Вычислим момент первого порядка для координат вектора X

(14) α0,..,0,1,0,..,0=M[(x1)...(xi-1)xi (xi+1)...(xn)=M[xi]

Отсюда, следует, что начальные моменты первого порядка для системы n-случайных величин, есть математическое ожидание этих случайных величин.

Математическим ожиданием случайного вектора Х называется вектор, координатами которого являются математические ожидания соответствующих координат случайного вектора Х, т.е.

(15) M[X]T=M[x1]...M[xn]

Рассмотрим момент второго порядка, пусть имеем две случайные величины хi, уi. Вычислим смешанный центральный момент второго порядка. Согласно равенству (13) имеем:

(16) μ1,1=M(xiyj)

Смешанный центральный момент второго порядка случайных величин называется корреляционным моментом и обозначается Кij.

Кроме корреляционного момента двух случайных величин, для характеристики связи случайных величин введем безразмерный коэффициент rij, равный отношению корреляционного момента Kij случайных величин хi, уj к положительному значению квадратного корня из произведения дисперсией этих случайных величин. Этот коэффициент называется коэффициентом корреляции случайных величин т. е.

Kij

(18) rij= √D[xi]D[xj]

Рассмотрим случайный вектор Х с коэффициентами х1, х2,.., хn. Матрица К, составленная из корреляционных моментов для всех координат этого случайного вектора:

k11 k12 ......k1n

k21 k22 ......k2n

(19) K= ...................... =M[X(X)T]=[M[XiXj]]

kn1 kn2 ......knn

называется корреляционной матрицей случайного вектора Х. из свойств корреляционного момента следует, что Кijji, т.е. матрица К является симметричной:


(20) КT

Пусть выполняется линейное преобразование случайного вектора Х, задаваемого в некотором базисе матрицей В, т.е.

(21) Y=ВХ

При линейном преобразовании (21) случайного вектора Х корреляционная матрица Y равна Кy=ВКxВT (22)

КОВАРЦИОННАЯ МАТРИЦА.

Если имеется не две, а большее число случайных величин, например, х1,...,хn, то резко возрастает и число числовых параметров, характеризующих эти величины. Кроме n-первых моментов, определяющих математическое ожидание случайных величин необходимо определение еще вторых центральных моментов, представляющих собой дисперсии каждой случайной величины и коварцией между каждой парой случайных величин. Всю совокупность случайных величин Х1,..., Хn, удобно представить в виде случайного вектора столбца:

X1 __ __

(23) X= ....... =(X1,...,Xn)T

Xn

Тогда совокупность математических ожиданий компонент этого вектора запишем в виде вектора математических ожиданий:

x1 __ __

(24) X=M[X]= ...... =(x1,...,xn)T

xn

Совокупность вторых центральных моментов, представляющих собой дисперсии:

(25) δ2xi=M[(xi-M[x])2] , i=1,...,n

и коварции

(26) cov(xixj)=M[(xi-M[xi])(xj-M[xj]) ,i, j=1,...,n, i≠j

Удобно записать в виде коварционной матрицы:


(27) Pxx=M[(X-M(X))(X-M(X)T)]


Диагональные члены этой матрицы представляют собой дисперсии. Коварционная матрица является симметричной.


ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ.

При изучении ряда явлений природы приходится наблюдать процессы, характеризуемые функциями, которые в зависимости от исхода опыта принимают различный вид. Указать заранее на то, какой вид примет случайная функция в данном опыте, невозможно, однако закономерности, присущие множеству значений, принимаемые случайной функцией, как закономерности массового явления можно изучить. Случайная функция как случайная величина, принимает различные значения в зависимости от исхода опыта элементарного события, кроме того, случайная функция зависит от некоторого неслучайного параметра t, например времени.

Если параметр t- время, то случайную функцию называют случайным процессом. Если зафиксировать элементарное событие ω=ω0, то Х(t,ω0) будет неслучайной функцией аргумента t. Конкретный вид случайной функции при фиксированном, т.е. возможном опыте, называется реализацией случайной функции.

Если зафиксировать параметр случайной функции t, т.е. рассмотреть сечение этой случайной функции при t=tk, то она будет зависеть только от элементарного события и, следовательно, станет случайной величиной Х(tk,ω).

Чтобы полностью задать случайную функцию Х(t), надо знать все n-мерные функции

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: