Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования
Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений может быть пока успешно выполнена только для сравнительно простых объектов. Как правило, в редких случаях можно при небольшой затрате времени составить достаточно точное дифференциальное уравнение объекта.
В настоящие время при составлении дифференциальных уравнений элементов и систем регулирования принято пользоваться безразмерными переменными величинами. Для этого отклонения величин относят к каким-либо постоянным (базовым) значениям величин, например к максимальным или средним (номинальным). Выражая входную и выходную величины элемента (или системы) в долях от этих базовых величин, вводят безразмерные координаты.
Например, уравнение
(С*d (DQ) /СC*dt) + DQ= 2*I0*R*DI/ СC*F (1)
DI/I = XВХ характеризует относительное отклонение входной величины от базового значения, а DQ/ Q0 = Хвых относительное отклонение выходной величины. Для перехода от размерной формы записи дифференциального уравнения к безразмерной производят замену абсолютных координат относительными. Так, например, уравнение (1) можно записать в безразмерной форме, заменив:
DQ = Q0 *Хвых и DI = I *XВХ
Тогда
С* Q0* d Хвых / СC* F* dt + Q0 Хвых = 2* I02* R* XВХ/ СC*F
Разделив обе части уравнения на Q0, получим:
С* d Хвых / СC* F* dt + Хвых = 2* I02* R* XВХ/ СC*F* Q0
Обозначим:
С / СC* F= Т 2* I02* R/ СC*F* Q0 = R
Коэффициенты при производных от выходной величины называются постоянными времени и имеют размерность времени
В самом деле,
С[дж/град] / СC[вт/см2*град]* F[ см ]= С / СC* F[дж*см2*град/град*вт*см2]
Коэффициент К при XВХ называется коэффициентом усиления, и естественно должен быть безразмерным:
2* I02[А2]* R[Ом]/ СC[ вт/см2*град ]*F[ см ]* Q0[град] =
= 2* I02* R/ СC*F* Q0[А2*Ом*см2*град/Вт*см2*град] =
= 2* I02* R/ СC*F* Q0[0] = К
Уравнение (1) с учетом введённых обозначений будет иметь в безразмерной форме следующий вид:
Т* Х/ вых + Х вых = К* Х вх (2)
Определим для примера уравнение кривой разгона термической печи, дифференциальное уравнение которой было введено ранее:
Т* Х/ вых + Х вых = К* Х вх
Будем искать решение этого уравнения в виде
Х вых = С*еrt + K* Х вх 0
Где r и С подлежат определению
Подставляя значения Х вых и Х/ вых в уравнение (2). Получим
Т* С*r*еrt + С*еrt = 0
Сокращая на С*еrt будем иметь:
Т* r + 1 = 0
Откуда r = - 1/Т и решение примет вид
Х вых = К* Х вх 0 (1-е-t/T)
При t = 0Х вых = 0 следовательно С = К* Х вх 0. тогда уравнение кривой разгона будет:
Х вых = К* Х вх 0 (1-е-t/T)
График кривой разгона:
При t = Ґ выходная величина Х вых достигает предельного значения
Х вых. уст = К* Х вх 0
Коэффициент усиления К определяет отношение установившихся значений выходной величины к входной:
К = Х вых. уст/ Х вх 0
Коэффициент усиления может быть непосредственно найден из графика переходной функции; постоянная времени Т характеризует инерционность процесса.
Таким образом, кривые разгона дают наглядное представление о характере протекания переходных процессов в системе или объекте.