Xreferat.com » Рефераты по математике » Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

Министерство образования Российской Федерации

Муниципальное общеобразовательное учреждение

"Средняя общеобразовательная школа №22"


Квадратные уравнения и уравнения высших порядков


Выполнили:

Ученики 8 "Б" класса

Кузнецов Евгений и Руди Алексей

Руководитель:

Зенина Алевтина Дмитриевна

преподаватель математики


Тюмень

2005

Оглавление


Введение

Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков

    1. Уравнения в Древнем Вавилоне

    2. Уравнения арабов

    3. Уравнения в Индии

Глава 2. Теория квадратные уравнения и уравнения высших порядков

    1. Основные понятия

    2. Формулы четного коэффициента при х

    3. Теорема Виета

    4. Квадратные уравнения частного характера

    5. Теорема Виета для многочленов (уравнений) высших степеней

    6. Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)

    7. Исследование биквадратных уравнений

    8. Формулы Кордано

    9. Симметричные уравнения третьей степени

    10. Возвратные уравнения

            1. Схема Горнера

Заключение

Список используемой литературы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Введение


Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

В этом реферате хотелось бы отобразить формулы и способы решения различных уравнений. Для этого приводятся уравнения, которые не изучаются в школьной программе. В основном это уравнения частного характера и уравнения высших степеней. Чтобы раскрыть эту тему приводятся доказательства этих формул.

Задачи нашего реферата:

- улучшить навыки решения уравнений

- наработать новые способы решения уравнений

- выучить некоторые новые способы и формулы для решения этих уравнений.

Объект исследования - элементарная алгебра Предмет исследования уравнения. Выбор этой темы основывался на том, что уравнения есть как в программе начальной, так и в каждом последующем классе общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Уравнения решали двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.

Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков


1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне


Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведённых над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучается общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Как было сказано ранее, квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилонянами. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются как неполные, так и полные квадратные уравнения.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решением, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратного уравнения.


1.2 Уравнения арабов


Некоторые способы решения уравнений как квадратных, так и уравнений высших степеней были выведены арабами. Так известный арабский математик Ал-Хорезми в своей книге «Ал - джабар» описал многие способы решения различных уравнений. Их особенность была в том, что Ал-Хорезми применял сложные радикалы для нахождения корней (решений) уравнений. Необходимость в решении таких уравнений была нужна в вопросах о разделе наследства.


1.3 Уравнения в Индии


Квадратные уравнения решали и в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме:


aхІ + bx = c, где a > 0


В этом уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Различные уравнения как квадратные, так и уравнения высших степеней решались нашими далекими предками. Эти уравнения решали в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военных делах, и в бытовых ситуациях.

Глава 2. Квадратные уравнения и уравнения высших порядков


2.1 Основные понятия


Квадратным уравнением называют уравнения вида


axІ+bx+c = 0,


где коэффициенты a, b, c – любые действительные числа, причём a ≠ 0.

Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1.

Пример:


x2 + 2x + 6 = 0.


Квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

Пример:


2x2 + 8x + 3 = 0.


Полное квадратное уравнение - квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.

Пример:


3x2 + 4x + 2 = 0.


Неполное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, у которого хотя бы один коэффициент b, c равен нулю.

Таким образом, выделяют три вида неполных квадратных уравнений:


  1. axІ = 0 (имеет два совпадающих корня x = 0).

  2. axІ + bx = 0 (имеет два корня x1 = 0 и x2 = -)


Пример:


x2 + 5x = 0

x(x+5) =0

x1= 0, x2 = -5.


Ответ: x1=0, x2= -5.


  1. axІ + c = 0


Если –<0 - уравнение не имеет корней.

Пример:


5x2 + 6 = 0


Ответ: уравнение не имеет корней.


Если –> 0, то x1,2 = ±


Пример:


2x2 – 6 = 0

х2

х1,2


Ответ: х1,2

Любое квадратное уравнение можно решить через дискриминант (bІ - 4ac). Обычно выражение bІ - 4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнение axІ +bx + c = 0 (или дискриминантом квадратного трёх члена axІ + bx + c)

Пример:


х2 +14x – 23 = 0

D = b2 – 4ac = 144 + 92 = 256

x1,2 =

x1 =

x2 =


Ответ: x1 = 1, x2 = - 15.

В зависимости от дискриминанта уравнение может иметь или не иметь решение.

1) Если D < 0, то не имеет решения.

2) Если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих решения x1,2 =

3) Если D > 0, то имеет два решения, находящиеся по формуле:


x1,2 =

2.2 Формулы четного коэффициента при х


Мы привыкли к тому, что корни квадратного уравнения


axІ + bx + c = 0 находятся по формуле


x1,2 =


Но математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления. Они обнаружили, что эту формулу можно упростить в случае, когда коэффициент b имеет вид b = 2k, в частности, если b есть четное число.

В самом деле, пусть у квадратного уравнения axІ + bx + c = 0 коэффициент b имеет вид b = 2k. Подставив в нашу формулу число 2k вместо b, получим:


x1,2=

=


Итак, корни квадратного уравнения axІ + 2kx + c = 0 можно вычислять по формуле:


x1,2=


Пример:


2 - 2х + 1 = 0

x1,2=


Преимущество этой формулы в том, что в квадрат возводится не число b, а его половина, вычитается из этого квадрата не 4ac, а просто ac и, наконец, в том, что в знаменателе содержится не 2a, а просто a.

В случае если квадратное уравнение приведенное, то наша формула будет выглядеть так:


x1,2=-k ±.


Пример:


х2 – 4х + 3 = 0

х1,2 = 2 ±

х1 = 3

х2 = 1


Ответ: х1 = 3, х2 = 1.


2.3 Теорема Виета


Очень любопытное свойство корней квадратного уравнения обнаружил французский математик Франсуа Виет. Это свойство назвали теорема Виета:

Чтобы числа x1 и x2 являлись корнями уравнения:


axІ + bx + c = 0


необходимо и достаточно выполнения равенства

x1 + x2 = -b/a и x1x2 = c/a


Теорема Виета позволяет судить о знаках и абсолютной величине квадратного уравнения

А именно


xІ + bx + c = 0


  1. Если b>0, c>0 то оба корня отрицательны.

  2. Если b<0, c>0 то оба корня положительны.

  3. Если b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

  4. Если b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.


2.4 Квадратные уравнения частного характера


1) Если a + b + c = 0 в уравнении axІ + bx + c = 0, то


х1=1, а х2 = .


Доказательство:

В уравнении axІ + bx + c = 0, его корни


x1,2 = (1).


Представим b из равенства a + b + c = 0

Подставим это выражение в формулу (1):

х1,2=

=


Если рассмотрим по отдельности два корня уравнения, получим:


  1. х1=

  2. х2=


Отсюда следует: х1=1, а х2 = .

1. Пример:


2хІ - 3х + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, следовательно

х1 = 1

х2 = Ѕ


2. Пример:


418хІ - 1254х + 836 = 0


Этот пример очень тяжело решить через дискриминант, но, зная выше приведенную формулу его с легкостью можно решить.


a = 418, b = -1254, c = 836.

х1 = 1 х2 = 2

2) Если a - b + c = 0, в уравнении axІ + bx + c = 0, то:


х1=-1, а х2 =- .


Доказательство:

Рассмотрим уравнение axІ + bx + c = 0, из него следует, что:


x1,2 = (2).


Представим b из равенства a - b + c = 0

b = a + c, подставим в формулу (2):


x1,2=

=


Получаем два выражения:


  1. х1=

  2. х2=


Эта формула похожа на предыдущую, но она тоже важна, т.к. часто встречаются примеры такого типа.

1) Пример:


2хІ + 3х + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, следовательно

х1 = -1

х2 = -1/2


2) Пример:



Ответ: x1 = -1; х2 = -


3) Метод “переброски

Корни квадратных уравнений yІ + by + аc = 0 и axІ + bx + c = 0 связанны соотношениями:


х1 = и х2 =


Доказательство:

а) Рассмотрим уравнение axІ + bx + c = 0


x1,2 = =


б) Рассмотрим уравнение yІ + by + аc = 0


y1,2 =

Заметим, что дискриминанты у обоих решений равны, сравним корни этих двух уравнений. Они отличаются друг от друга на старший коэффициент, корни первого уравнения меньше корней второго на а. Используя теорему Виета и выше приведенное правило, нетрудно решать разнообразные уравнения.

Пример:

Имеем произвольное квадратное уравнение


10хІ - 11х + 3 = 0


Преобразуем это уравнение по приведенному правилу


yІ - 11y + 30 = 0


Получим приведенное квадратное уравнение, которое можно достаточно легко решить с помощью теоремы Виета.

Пусть y1 и y2 корни уравнения yІ - 11y + 30 = 0


y1y2 = 30 y1 = 6

y1 + y2 = 11 y2 = 5


Зная, что корни этих уравнений отличны друг от друга на а, то


х1 = 6/10 = 0,6

х2 = 5/10 = 0,5


В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение axІ + bx + c = 0, а приведенное yІ + by + аc = 0, которое получается из данного «переброской» коэффициента а, а затем разделить найденный корни на а для нахождения исходного уравнения.

2.5 Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней


Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен


P(x) = a0xn + a1xn-1­­­ + … +an


Имеет n различных корней x1 , x2 …, xn.

В этом случае он имеет разложение на множители вида:


a0xn + a1xn-1 +…+ an = a0( x – x1)( x – x2)…(x – xn)


Разделим обе части этого равенства на a0 ≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:


xn + ()xn-1 + … + () = xn – (x1 + x2 + … + xn) xn-1 + ( x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn)xn-2 + … +(-1)n x1x2 … xn


Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство


x1 + x2 + … + xn = -

x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn =

x1x2 … xn = (-1)n

Например, для многочленов третей степени


a0xі + a1xІ + a2x + a3


Имеем тождества


x1 + x2 + x3 = -

x1x2 + x1x3 + x2x3 =

x1x2x3 = -


Как и для квадратных уравнений, эту формулу называют формулами Виета. Левые части этих формул являются симметрическими многочленами от корней x1 , x2 …, xn данного уравнения, а правые части выражаются через коэффициент многочлена.


2.6 Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)


К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени:


ax4 + bx2 + c = 0,


называемые биквадратными, причем, а ≠ 0.

Достаточно положить в этом уравнении х2 = y, следовательно,


ayІ + by + c = 0


найдём корни полученного квадратного уравнения

y1,2 =


Чтобы найти сразу корни х1,x2,x3,x4 , заменим y на x и получим


xІ =

х1,2,3,4 = .


Если уравнение четвёртой степени имеет х1, то имеет и корень х2 = -х1,

Если имеет х3, то х4 = - х3. Сумма корней такого уравнения равна нулю.

Пример:


4- 9xІ + 4 = 0


Подставим уравнение в формулу корней биквадратных уравнений:


х1,2,3,4 = ,


зная, что х1 = -х2, а х3 = -х4, то:


х1,2 =

х3,4 =


Ответ: х1,2 = ±2; х1,2 =

2.7 Исследование биквадратных уравнений


Возьмем биквадратное уравнение


ax4 + bx2 + c = 0,


где a, b, c –действительные числа, причем а > 0. Введя вспомогательную неизвестную y = xІ, исследуем корни данного уравнения, и результаты занесем в таблицу (см. приложение №1)


2.8 Формула Кардано


Если воспользоваться современной символикой, то вывод формулы Кардано может иметь такой вид:


х =


Эта формула определяет корни общего уравнения третей степени:


ax3 + 3bx2 + 3cx + d = 0.


Эта формула очень громоздкая и сложная (она содержит несколько сложныных радикалов). Она не всегда примениться, т.к. очень сложна для заполнения.


2.9 Симметричные уравнения третей степени


Симметричными уравнениями третей степени называют уравнения вида

axі + bxІ +bx + a = 0 (1)


или


axі + bxІ - bx – a = 0 (2)


где a и b – заданные числа, причём a № 0.

Покажем, как решаются уравнение (1).

Имеем:


axі + bxІ + bx + a = a(xі + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (xІ - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (axІ +(b – a)x + a).


Получаем, что уравнение (1) равносильно уравнению


(x + 1) (axІ +(b – a)x + a) = 0.


Значит его корнями, будут корни уравнения


axІ +(b – a)x + a = 0

и число x = -1

аналогично решается уравнение (2)


axі + bxІ - bx - a = a(xі - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (xІ + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) ( ax2 + ax + a + bx ) = (x - 1) (axІ +(b + a)x + a).


1) Пример:


2xі + 3xІ - 3x – 2 = 0

Ясно, что x1 = 1, а

х2 и х3 корни уравнения 2xІ + 5x + 2 = 0 ,

Найдем их через дискриминант:


x1,2 =

x2 = -, x3 = -2


2) Пример:


5хі + 21хІ + 21х + 5 = 0


Ясно, что x1 = -1, а

х2 и х3 корни уравнения 5xІ + 26x + 5 = 0 ,

Найдем их через дискриминант:


x1,2 =

x2 = -5, x3 = -0,2.


2.10 Возвратные уравнения

Возвратное уравнение – алгебраическое уравнение


а0хn + a1xn – 1 + … + an – 1x + an =0,


в котором ак = ank, где k = 0, 1, 2 …n, причем, а ≠ 0.

Задачу нахождения корней возвратного уравнения сводят к задаче нахождения решений алгебраического уравнения меньшей степени. Термин возвратные уравнения был введён Л. Эйлером.

Уравнение четвёртой степени вида:

ax4 + bx3 + cx2 + bmx + amІ = 0, (a ≠ 0).


Приведя это уравнение к виду


a (xІ + mІ/xІ) + b(x + m/x) + c = 0, и y = x + m/x и yІ -

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: