Похідні та диференціали функції багатьох змінних

. (2)

Вираз у перших квадратних дужках рівності (2) можна розглядати як приріст функції однієї змінної x, а в других – як приріст функції змінної . Оскільки дана функція має частинні похідні, то за теоремою Лагранжа отримаємо:

.

Похідні та неперервні в точці М, тому

,

.

Звідси випливає, що

,

,

де, – нескінченно малі функції при і.

Підставляючи ці вирази у рівність (2), знаходимо

, а це й означає, що функція диференційовна в точці.

З теорем 2 і 3 випливає такий наслідок: щоб функція була диференційовною в точці, необхідно, щоб вона мала в цій точці частинні похідні, і достатньо, щоб вона мала в цій точці неперервні частинні похідні.

Зазначимо, що для функції однієї змінної існування похідної в точці є необхідною і достатньою умовою її диференційовності в цій точці.

3 Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків

Нагадаємо, що коли функція диференційовна в точці, то її повний приріст у цій точці можна подати у вигляді

,

де і при.

Повним диференціалом диференційовної в точці функції називається лінійна відносно та частина повного приросту цієї функції в точці M, тобто

. (3)

Диференціалами незалежних змінних x та назвемо прирости цих змінних. Тоді з урахуванням теореми 2 рівність (3) можна записати так:

. (4)

Аналогічна формула має місце для диференційовної функції трьох змінних:

. (5)

З формул (4) і (5) може здатися, що повний диференціал існуватиме у кожній точці, в якій існують частинні похідні. Але це не так. Згідно з означенням, повний диференціал можна розглядати лише стосовно диференційовної функції.

Теореми та формули для диференціалів функції однієї змінної повністю зберігаються і для диференціалів функцій двох, трьох і т.д. змінних . Так, незалежно від того, від яких аргументів залежать функції u і , завжди справедливі рівності

Покажемо, що різниця між повним приростом і диференціалом при і є нескінченно мала величина вищого порядку, ніж величина.

Дійсно, з формул (1) і (3) маємо

,

оскільки функції – нескінченно малі при, , а та – обмежені функції:

.

Отже, різниця – нескінченно мала величина вищого порядку, ніж. Тому повний диференціал називають також головною частиною повного приросту диференційовної функції. При цьому виконується наближена рівність або

. (6)

Ця рівність тим точніша, чим менша величина. Рівність (6) широко використовується у наближених обчисленнях, оскільки диференціал функції обчислюється простіше, ніж повний приріст.

Покажемо, як за допомогою диференціала можна оцінити похибку в обчисленнях.

Нехай задана диференційовна функція, незалежні змінні якої виміряні з точністю. Потрібно знайти похибку, з якою обчислюється u.

Природно вважати, що ця похибка дорівнює величині

.

Для малих значень маємо

,

звідки

.

Якщо через позначити максимальну абсолютну похибку змінної , то можна отримати значення максимальної абсолютної похибки функції :

. (7)

Щоб оцінити максимальну відносну похибку функції u, поділимо обидві частини рівності (7) на:

.

Оскільки, то

,

або

,

тобто максимальна відносна похибка функції дорівнює максимальній абсолютній похибці її логарифма.

Введемо поняття диференціала вищого порядку.

Нехай функція незалежних змінних ,. Повний диференціал цієї функції, знайдений за формулою (3), називають ще диференціалом
першого порядку. Диференціал другого порядку визначають за формулою

.

Тоді, якщо функція має неперервні частинні похідні, то

,

звідки

. (8)

Символічно це записують так:

.

Аналогічно можна отримати формулу для диференціала третього порядку:

.

Застосовуючи метод математичної індукції, можна отримати формулу для диференціала n-го порядку:

. (9)

Зазначимо, що формула (9) справедлива лише для випадку, коли змінні x і функції є незалежними змінними.

4 Похідна складеної функції. Повна похідна. Інваріантність форми повного диференціала

Нехай – функція двох змінних та , кожна з яких, у свою чергу, є функцією незалежної змінної :

тоді функція є складеною функцією змінної .

Теорема. Якщо функції диференційовні в точці , а функція диференційовна в точці , то складена функція також диференційовна в точці . Похідну цієї функції знаходять за формулою

. (10)

Доведення

За умовою теореми ,

де та при,.

Поділимо на і перейдемо до границі при:

Аналогічно знаходять похідну, якщо число проміжних змінних більше двох. Наприклад, якщо , де , то

. (11)

Зокрема, якщо, а, то

,

а оскільки , то

. (12)

Цю формулу називають формулою для обчислення повної похідної
(на відміну від частинної похідної).

Розглянемо загальніший випадок. Нехай – функція двох змінних та, які, в свою чергу, залежать від змінних :, , тоді функція є складеною функцією незалежних змінних та