Xreferat.com » Рефераты по математике » Похідні та диференціали функції багатьох змінних

Похідні та диференціали функції багатьох змінних

диференціали функції багатьох змінних" width="15" height="17" align="BOTTOM" border="0" />, а змінні Похідні та диференціали функції багатьох змінних та Похідні та диференціали функції багатьох змінних – проміжні.

Аналогічно попередній теоремі доводиться таке твердження.

Якщо функції Похідні та диференціали функції багатьох змінних та Похідні та диференціали функції багатьох змінних диференційовні в точці Похідні та диференціали функції багатьох змінних, а функція Похідні та диференціали функції багатьох зміннихдиференційовна в точці Похідні та диференціали функції багатьох змінних, то складена функція Похідні та диференціали функції багатьох змінних диференційовна в точці Похідні та диференціали функції багатьох змінних і її частинні похідні знаходяться за формулами:


Похідні та диференціали функції багатьох змінних; Похідні та диференціали функції багатьох змінних. (13)


Формули (13) можна узагальнити на випадок більшого числа змінних. ЯкщоПохідні та диференціали функції багатьох змінних, деПохідні та диференціали функції багатьох змінних, то

Похідні та диференціали функції багатьох змінних

Знайдемо диференціал складеної функції. Скориставшись формулами (13), отримаємо

Похідні та диференціали функції багатьох змінних

Отже, диференціал функціїПохідні та диференціали функції багатьох змінних, де Похідні та диференціали функції багатьох змінних, Похідні та диференціали функції багатьох змінних, визначається формулою


Похідні та диференціали функції багатьох змінних, (14)


де

Похідні та диференціали функції багатьох змінних.

Порівнявши формули (14) і (4) дійдемо висновку, що повний диференціал функції Похідні та диференціали функції багатьох змінних має інваріантну (незмінну) форму незалежно від того, чи є x та Похідні та диференціали функції багатьох змінних незалежними змінними, чи диференційовними функціями змінних u та v. Проте формули (4) і (14) однакові лише за формою, а по суті різні, бо у формулі (4) Похідні та диференціали функції багатьох зміннихіПохідні та диференціали функції багатьох змінних– диференціали незалежних змінних, а у формулі (14) Похідні та диференціали функції багатьох зміннихіПохідні та диференціали функції багатьох змінних– повні диференціали функцій Похідні та диференціали функції багатьох змінних та Похідні та диференціали функції багатьох змінних.

Диференціали вищих порядків властивості інваріантності не мають. Наприклад, якщоПохідні та диференціали функції багатьох змінних, де Похідні та диференціали функції багатьох змінних, Похідні та диференціали функції багатьох змінних, то


Похідні та диференціали функції багатьох змінних (15)


Формула (15) відрізняється від формули (8), оскільки для складеної функції диференціали Похідні та диференціали функції багатьох змінних та Похідні та диференціали функції багатьох змінних можуть і не дорівнювати нулю. Отже, для складеної функціїПохідні та диференціали функції багатьох змінних, де Похідні та диференціали функції багатьох змінних, Похідні та диференціали функції багатьох змінних, формула (8) неправильна.


5 Диференціювання неявної функції


Нехай задано рівняння


Похідні та диференціали функції багатьох змінних, (16)


де Похідні та диференціали функції багатьох змінних – функція двох змінних.

Нагадаємо, що коли кожному значенню x з деякої множини Похідні та диференціали функції багатьох змінних відповідає єдине значенняПохідні та диференціали функції багатьох змінних, яке разом з x задовольняє рівняння (16), то кажуть, що це рівняння задає на множині Похідні та диференціали функції багатьох змінних неявну функціюПохідні та диференціали функції багатьох змінних.

Таким чином, для неявної функціїПохідні та диференціали функції багатьох змінних, заданої рівнянням (16), має місце тотожність

Похідні та диференціали функції багатьох змінних.

Які ж умови має задовольняти функція Похідні та диференціали функції багатьох змінних щоб рівняння (16) визначало неявну функцію і при тому єдину? Відповідь на це запитання дає така теорема існування неявної функції [8].

Теорема. Нехай функція Похідні та диференціали функції багатьох змінних і її похідні Похідні та диференціали функції багатьох змінних та Похідні та диференціали функції багатьох змінних визначені та неперервні у будь-якому околі точки Похідні та диференціали функції багатьох змінних і Похідні та диференціали функції багатьох змінних, аПохідні та диференціали функції багатьох змінних; тоді існує окіл точки Похідні та диференціали функції багатьох змінних, в якому рівняння Похідні та диференціали функції багатьох змінних визначає єдину неявну функціюПохідні та диференціали функції багатьох змінних, неперервну та диференційовну в околі точки Похідні та диференціали функції багатьох змінних і таку, що Похідні та диференціали функції багатьох змінних.

Знайдемо похідну неявної функції. Нехай ліва частина рівняння (16) задовольняє зазначені в теоремі умови, тоді це рівняння задає неявну функціюПохідні та диференціали функції багатьох змінних, для якої на деякій множині точок x має місце тотожністьПохідні та диференціали функції багатьох змінних. Оскільки похідна функції, що тотожно дорівнює нулю, також дорівнює нулю, то повна похіднаПохідні та диференціали функції багатьох змінних. Але за формулою (12) маємо Похідні та диференціали функції багатьох змінних, тому Похідні та диференціали функції багатьох змінних, звідки


Похідні та диференціали функції багатьох змінних. (17)


За цією формулою знаходять похідну неявної функції однієї змінної.


Размещено на

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Страницы: 1 2 3

Похожие рефераты:

  • Функція, її границя та неперервність

    Суть функції багатьох змінних, її означення і символіки. Границя і неперервність функції багатьох змінних. Визначення відкритої та замкненої області. Множина точок площини, для яких задана формула має зміст, як область визначення. Функція двох змінних.

  • Узагальнена функція Гріна

    Випадок однорідної крайової задачі. Розв’язання виродженого крайового виразу. Теорема Коші, іі доведення. Означення узагальненої функції Гріна крайової задачі. Формулювання алгоритму відшукання узагальненої функції Гріна. Приклади роз'язання завдань.

  • Інтегральне числення

    Вивчення елементарних функцій, інтеграли від яких не є елементарними функціями, тобто вони не обчислюються в скінченному вигляді або не 6еруться. Наближені методи обчислення визначених інтегралів. Дослідження невласних інтегралів та ознаки їх збіжності.

  • Визначення емпіричних закономірностей

    Метод найменших квадратів. Задача про пошуки параметрів. Означення метода найменших квадратів. Визначення параметрів функціональних залежностей. Вид нормальної системи Гауса. Побудова математичної моделі, використовуючи метод найменших квадратів.

  • Вивчення систем, еквівалентних системам з відомим типом крапок спокою

    Дослідження системи з відомим типом крапок спокою. Знаходження першого інтеграла системи, умови його існування. Застосування теореми про еквівалентність диференціальних систем. Визначення вложимої системи, умови вложимості. Поняття функції, що відбиває.

  • Метод найменших квадратів

    Етапи побудови емпіричних формул: встановлення загального виду формули; визначення найкращих її параметрів. Суть методу найменших квадратів К. Гауса і А. Лежандра. Побудова лінійної емпіричної формули. Побудова квадратичної емпіричної залежності.

  • Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя

    Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

  • Вивчення систем з постійною парною частиною

    Вивчення існування періодичних рішень диференціальних систем і рівнянь за допомогою властивостей симетричності (парність, непарність). Основні теорії вектор-функцій, що відбивають. Побудова множини систем, парна частина загального рішення яких постійна.

  • Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні

    Обчислення довжини дуги для просторової кривої, що задана параметрично. Варіант розрахунку у випадку задання кривої в полярній системі координат. Формули для обчислення площі поверхні обертання. Вираз площі циліндричної поверхні через елементарні функції.

  • Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса

    Запис системи рівнянь та їх розв'язання за допомогою методів оберненої матриці та Гауса. Поняття вектора-стовпця з невідомих та вільних членів. Пошук оберненої матриці до даної. Послідовне виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень.

  • Застосування частинних похідних

    Побудова дотичної площини та нормалі до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних. Поняття скалярного поля, зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці. Формула Тейлора для функції двох змінних та її локальні екстремуми.

  • Функцiя, класифiкацiя функцiй

    Абсолютна величина дiсного числа. Властивостi абсолютних величин. Функцiя. Парнiсть, непарнiсть, перiодичнicть, монотоннicть. Складна функцiя. Класифiкацiя функцiй.

  • Похідна функції, правила диференціювання

    Решение задач на дифференцирование функций.

  • Застосування подвійних інтегралів

    Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах. Застосування формул перетворення координат та оберненого перетворення. Функціональний визначник Якобі або якобіан. Подвійні інтеграли в рішенні задач з геометрії й механіки.

  • Метод хорд

    Опис одного з поширених ітераційних методів, методу хорда — ітераційного методу знаходження кореня рівняння, який ще має назви метод лінійного інтерполювання, метод пропорційних частин, або метод хибного положення. Задачі для самостійного розв’язування.

  • Подвійний інтеграл

    Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла. Обчислення об'єму циліндричного тіла. Маса неоднорідної матеріальної пластини. Поняття подвійного інтеграла, умови його існування та властивості. Адитивність подвійного інтеграла та його оцінка.

  • Абсолютна величина дiсного числа. Властивостi абсолютних величин

    Лекцiя Тема:Абсолютна величина дiсного числа.Властивостi абсолютних величин. Змiннi i сталi величини.Функцiя.Парнiсть,непарнiсть,перiодичнicть,моно-

  • Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули

    Дослідження особливостей скалярного та векторного полів. Похідна за напрямом. Градієнт скалярного поля, потенціальне поле. Сутність дивергенції, яка характеризує густину джерел даного векторного поля в розглянутій точці. Ротор або вихор векторного поля.

  • Потрійний інтеграл

    Характеристика та поняття потрійного інтеграла, умови його існування та основні властивості. Особливості схеми побудови та обчислення потрійного інтегралу, його застосування для розв’язання рівнянь. Правило заміни змінних в потрійному інтегралі.

  • Беселеві функції

    Беселеві функції з будь-яким індексом, з напівцілим індексом. Формули приведення для Беселевих функцій. Інтегральне подання функцій із цілим індексом. Ряди Фур'є-Беселя. Асимптотичне подання функцій із цілим індексом для більших значень аргументу.