Устойчивость систем дифференциальных уравнений

мультипликатора вещественны и один из них по абсолютной величине больше единицы, а при мультипликаторы являются комплексно-сопряженными с модулями, равными единице. По теореме 3 при уравнение неустойчиво, а при оно устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически.

2.4. Классификация положений равновесия
системы второго порядка.

Исследуем на устойчивость положения равновесия линейной однородной системы двух уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть , где . Как было показано в пункте 1.4, тип особой точки такой системы определяется корнями характеристического уравнения или . Его корни можно найти по формуле

.

Рассмотрим следующие случаи согласно пункту 1.4.

1) вещественны, различны и (). Параметрические уравнения траекторий: . Положение равновесия называется узел. Если корни положительны (), то решения будут неограниченно возрастать, и особая точка — неустойчивый узел.

Если отрицательны (), то решения с ростом времени будут неограниченно уменьшаться, то есть положение равновесия будет асимптотически устойчивым. Особая точка — устойчивый узел.

2) вещественны и (). В этом случае одна из траекторий всегда будет неограниченно возрастать, а другая неограниченно уменьшаться. Таким образом, седло всегда неустойчиво.

3) комплексно-сопряженные, но не чисто мнимые (). Решение в полярных координатах запишется в виде , где . Если (), то спирали будут раскручиваться от особой точки, и фокус будет неустойчивым.

Если (), то особая точка — устойчивый фокус, причем устойчивость асимптотическая.

4) (). Особая точка — центр, траектории — окружности, то есть положение равновесия является устойчивым, но не асимптотически.

5) . Если , то получаем неустойчивый узел, либо вырожденный, либо дикритический. Если , положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

6) Один из корней равен нулю (например ). Траекториями являются прямые, параллельные друг другу. Если , то получаем прямую неустойчивых особых точек. Если , то прямая будет содержать устойчивые особые точки.

7) Оба корня равны нулю. Тогда . Особая точка неустойчива.

Пример. Рассмотрим систему . Положение равновесия находится из уравнения , или , откуда . Следовательно, положение равновесия — неустойчивый узел. Жорданова форма матрицы А имеет вид:

.

Найдем координаты преобразования , приводящего матрицу А к жордановой форме, то есть переводящего систему к виду . Дифференцируя эти уравнения и подставляя в исходную систему, получаем:

откуда с учетом ,  — произвольное, ,  — произвольное. Получаем преобразование . Определим новое положение осей:

Решение системы запишется в виде , а исходной системы отсюда . Схематическое изображение траекторий:

Рассмотрим теперь некоторые положения равновесия в трехмерном пространстве. Характеристическое уравнение — кубическое с вещественными коэффициентами, оно может иметь три вещественных или один вещественный и два комплексно-сопряженных корня. В зависимости от расположения этих корней на плоскости возможно 10 "грубых" случаев (рис. 3, 1)-5) и 1')-5')) и ряд "вырожденных" (рис. 3, 6)-9)), когда вещественная часть одного из корней равна нулю или вещественной части не сопряженного с ним корня. Случаи кратных корней здесь не рассматриваются.

Поведение фазовых траекторий в приведенных случаях показано на рис. 4. Случаи 1')-5') получаются из случаев 1)-5) изменением направления оси t, так что на рис. 4 надо лишь заменить все стрелки на противоположные.

Устойчивость по Ляпунову в рассмотренных случаях следующая. Все случаи 1')-5'), а также 2), 5), 8) и 9) неустойчивы. Случаи 1), 3) и 4) устойчивы асимптотически. Случай 6) устойчив.

Рис. 3. Собственные числа матрицы А. Закрашенным кружком отмечены ,
светлым — начало координат.

Рис. 4. Фазовые кривые в трехмерном пространстве.

2.5. Автономные системы на плоскости. Предельные циклы.

Рассмотрим автономную двумерную систему

, (5)

где — область.

Предположим, что система (5) имеет замкнутую траекторию с наименьшим периодом . Возьмем произвольную точку и проведем через нее нормаль к единичной длины. Для определенности считаем, что направлен во внешнюю область. Не нарушая общности, считаем также, что — начало координат (этого можно добиться заменой ). Точки на нормали определяются единственной координатой . В качестве берем расстояние от точки нормали до начала координат, если точка лежит снаружи , и это расстояние, взятое с обратным знаком, если она лежит внутри .

Рассмотрим траектории , проходящие через точки нормали. Запишем уравнение

(6)

с неизвестными t, s ( — параметр).

Лемма 3. Существует такое, что в области уравнение (6) имеет единственное решение , удовлетворяющее условиям , причем функции непрерывно дифференцируемы при .

Доказательство. Так как — решение с периодом , то по теореме о дифференцируемости решения функция определена и непрерывно дифференцируема по t и  в некоторой окрестности точки . Тогда функция определена и непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Так как  периодична, то . Рассмотрим якобиан в точке . Имеем . Следовательно, в точке , поскольку и — ортогональные векторы. Тогда утверждение леммы вытекает из теоремы о неявной функции.

Следствие. Справедлива формула

.

Выясним геометрический смысл функций . Лемма 3 утверждает, что каждая траектория, пересекающая нормаль в точке из -окрестности начала координат, вновь пересечет ее через промежуток времени в точке . При этом так как функция также делает полный оборот вдоль при , то траектория также делает полный оборот при , оставаясь в малой окрестности , если  достаточно мало.

Функция называется функцией последования.

Определение. Замкнутая траектория автономного уравнения (5) называется устойчивым предельным циклом, если существует такое , что является -предельным множеством для любой траектории, проходящей через точку из -окрестности кривой .

Определение. Замкнутая траектория автономного уравнения (5) называется неустойчивым предельным циклом, если существует такое , что является -предельным множеством для любой траектории, проходящей через точку из -окрестности кривой .

Так как в реальной действительности время течет в положительном направлении, то на практике реализуются те периодические движения, которым соответствуют устойчивые предельные циклы. Такие движения называются автоколебаниями.

Теорема 4. Пусть . (7)

Если , то является устойчивым предельным циклом; если , то — неустойчивый предельный цикл.

Характер приближения соседних траекторий к при следующий: они приближаются к , образуя бесконечное число витков спирали, как изнутри, так и снаружи.

2.6. Устойчивость по первому приближению.

Вернемся к рассмотрению уравнения (1), где . После замены получим уравнение (2), которое, используя разложение в ряд Тейлора, запишем в виде

, (8)

где при . (9)

Теорема 5. Пусть — постоянная матрица, предельный переход в (9) выполняется равномерно по и вещественные части собственных чисел матрицы отрицательны. Тогда решение уравнения (8) асимптотически устойчиво.

Теорема 6. Пусть — постоянная матрица, предельный переход в (9) выполняется равномерно по . Для устойчивости по Ляпунову нулевого решения уравнения (8) необходимо, чтобы вещественные части собственных чисел матрицы были неположительны.

Рассмотрим теперь автономное уравнение (1): , (10)

где функция непрерывно дифференцируема при , причем . Тогда является положением равновесия уравнения (10). После замены уравнение (10) принимает вид , где , функция непрерывно дифференцируема при и

при . (11)

Из (11) и теорем 5 и 6 вытекает следующее утверждение.

Теорема 7. Если все собственные числа матрицы имеют отрицательные вещественные части, то положение равновесия асимптотически устойчиво; если же хоть одно из собственных чисел имеет положительную вещественную часть, то оно неустойчиво.

Пример. Рассмотрим систему двух уравнений Координаты положений равновесия определяются из уравнений . Положения равновесия:

Соответствующие матрицы имеют вид

, или .

Собственные числа определяются уравнением . При k четном , при k нечетном . По теореме 7 при k четном решения асимптотически устойчивы, а при k нечетном неустойчивы.

Предположим теперь, что правая часть уравнения (1) и решение периодичны по t с одним и тем же периодом . Тогда в уравнении (8) , . Далее, так как равномерно непрерывна на компакте , то в силу периодичности выполняется равномерно по . Поскольку — периодическая матрица, то существует замена переменных , (12)

где — периодическая с периодом  функция класса , причем , переводящая уравнение в с постоянной матрицей коэффициентов , определяемой теоремой Флоке. Следовательно, замена (12) переводит (8) в уравнение

, (13)

причем функция определена и непрерывна в области вида . Условие (9) также выполняется. Действительно, в силу (9), ограниченности и и поскольку