Устойчивость систем дифференциальных уравнений
2.4. Классификация
положений
равновесия
системы второго
порядка.
Исследуем на устойчивость положения равновесия линейной однородной системы двух уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть , где . Как было показано в пункте 1.4, тип особой точки такой системы определяется корнями характеристического уравнения или . Его корни можно найти по формуле
.
Рассмотрим следующие случаи согласно пункту 1.4.
1) вещественны, различны и (). Параметрические уравнения траекторий: . Положение равновесия называется узел. Если корни положительны (), то решения будут неограниченно возрастать, и особая точка — неустойчивый узел.
Если отрицательны (), то решения с ростом времени будут неограниченно уменьшаться, то есть положение равновесия будет асимптотически устойчивым. Особая точка — устойчивый узел.
2) вещественны и (). В этом случае одна из траекторий всегда будет неограниченно возрастать, а другая неограниченно уменьшаться. Таким образом, седло всегда неустойчиво.
3) комплексно-сопряженные, но не чисто мнимые (). Решение в полярных координатах запишется в виде , где . Если (), то спирали будут раскручиваться от особой точки, и фокус будет неустойчивым.
Если (), то особая точка — устойчивый фокус, причем устойчивость асимптотическая.
4) (). Особая точка — центр, траектории — окружности, то есть положение равновесия является устойчивым, но не асимптотически.
5) . Если , то получаем неустойчивый узел, либо вырожденный, либо дикритический. Если , положение равновесия будет асимптотически устойчивым.
6) Один из корней равен нулю (например ). Траекториями являются прямые, параллельные друг другу. Если , то получаем прямую неустойчивых особых точек. Если , то прямая будет содержать устойчивые особые точки.
7) Оба корня равны нулю. Тогда . Особая точка неустойчива.
Пример. Рассмотрим систему . Положение равновесия находится из уравнения , или , откуда . Следовательно, положение равновесия — неустойчивый узел. Жорданова форма матрицы А имеет вид:
.
Найдем координаты преобразования , приводящего матрицу А к жордановой форме, то есть переводящего систему к виду . Дифференцируя эти уравнения и подставляя в исходную систему, получаем:
откуда с учетом , — произвольное, , — произвольное. Получаем преобразование . Определим новое положение осей:
Решение системы запишется в виде , а исходной системы отсюда . Схематическое изображение траекторий:
Рассмотрим теперь некоторые положения равновесия в трехмерном пространстве. Характеристическое уравнение — кубическое с вещественными коэффициентами, оно может иметь три вещественных или один вещественный и два комплексно-сопряженных корня. В зависимости от расположения этих корней на плоскости возможно 10 "грубых" случаев (рис. 3, 1)-5) и 1')-5')) и ряд "вырожденных" (рис. 3, 6)-9)), когда вещественная часть одного из корней равна нулю или вещественной части не сопряженного с ним корня. Случаи кратных корней здесь не рассматриваются.
Поведение фазовых траекторий в приведенных случаях показано на рис. 4. Случаи 1')-5') получаются из случаев 1)-5) изменением направления оси t, так что на рис. 4 надо лишь заменить все стрелки на противоположные.
Устойчивость по Ляпунову в рассмотренных случаях следующая. Все случаи 1')-5'), а также 2), 5), 8) и 9) неустойчивы. Случаи 1), 3) и 4) устойчивы асимптотически. Случай 6) устойчив.
Рис. 3.
Собственные
числа матрицы
А.
Закрашенным
кружком отмечены
,
светлым — начало
координат.
Рис. 4. Фазовые кривые в трехмерном пространстве.
2.5. Автономные системы на плоскости. Предельные циклы.
Рассмотрим автономную двумерную систему
, (5)
где — область.
Предположим, что система (5) имеет замкнутую траекторию с наименьшим периодом . Возьмем произвольную точку и проведем через нее нормаль к единичной длины. Для определенности считаем, что направлен во внешнюю область. Не нарушая общности, считаем также, что — начало координат (этого можно добиться заменой ). Точки на нормали определяются единственной координатой . В качестве берем расстояние от точки нормали до начала координат, если точка лежит снаружи , и это расстояние, взятое с обратным знаком, если она лежит внутри .
Рассмотрим траектории , проходящие через точки нормали. Запишем уравнение
(6)
с неизвестными t, s ( — параметр).
Лемма 3. Существует такое, что в области уравнение (6) имеет единственное решение , удовлетворяющее условиям , причем функции непрерывно дифференцируемы при .
Доказательство. Так как — решение с периодом , то по теореме о дифференцируемости решения функция определена и непрерывно дифференцируема по t и в некоторой окрестности точки . Тогда функция определена и непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Так как периодична, то . Рассмотрим якобиан в точке . Имеем . Следовательно, в точке , поскольку и — ортогональные векторы. Тогда утверждение леммы вытекает из теоремы о неявной функции.
Следствие. Справедлива формула
.
Выясним геометрический смысл функций . Лемма 3 утверждает, что каждая траектория, пересекающая нормаль в точке из -окрестности начала координат, вновь пересечет ее через промежуток времени в точке . При этом так как функция также делает полный оборот вдоль при , то траектория также делает полный оборот при , оставаясь в малой окрестности , если достаточно мало.
Функция называется функцией последования.
Определение. Замкнутая траектория автономного уравнения (5) называется устойчивым предельным циклом, если существует такое , что является -предельным множеством для любой траектории, проходящей через точку из -окрестности кривой .
Определение. Замкнутая траектория автономного уравнения (5) называется неустойчивым предельным циклом, если существует такое , что является -предельным множеством для любой траектории, проходящей через точку из -окрестности кривой .
Так как в реальной действительности время течет в положительном направлении, то на практике реализуются те периодические движения, которым соответствуют устойчивые предельные циклы. Такие движения называются автоколебаниями.
Теорема 4. Пусть . (7)
Если , то является устойчивым предельным циклом; если , то — неустойчивый предельный цикл.
Характер приближения соседних траекторий к при следующий: они приближаются к , образуя бесконечное число витков спирали, как изнутри, так и снаружи.
2.6. Устойчивость по первому приближению.
Вернемся к рассмотрению уравнения (1), где . После замены получим уравнение (2), которое, используя разложение в ряд Тейлора, запишем в виде
, (8)
где при . (9)
Теорема 5. Пусть — постоянная матрица, предельный переход в (9) выполняется равномерно по и вещественные части собственных чисел матрицы отрицательны. Тогда решение уравнения (8) асимптотически устойчиво.
Теорема 6. Пусть — постоянная матрица, предельный переход в (9) выполняется равномерно по . Для устойчивости по Ляпунову нулевого решения уравнения (8) необходимо, чтобы вещественные части собственных чисел матрицы были неположительны.
Рассмотрим теперь автономное уравнение (1): , (10)
где функция непрерывно дифференцируема при , причем . Тогда является положением равновесия уравнения (10). После замены уравнение (10) принимает вид , где , функция непрерывно дифференцируема при и
при . (11)
Из (11) и теорем 5 и 6 вытекает следующее утверждение.
Теорема 7. Если все собственные числа матрицы имеют отрицательные вещественные части, то положение равновесия асимптотически устойчиво; если же хоть одно из собственных чисел имеет положительную вещественную часть, то оно неустойчиво.
Пример. Рассмотрим систему двух уравнений Координаты положений равновесия определяются из уравнений . Положения равновесия:
Соответствующие матрицы имеют вид
, или .
Собственные числа определяются уравнением . При k четном , при k нечетном . По теореме 7 при k четном решения асимптотически устойчивы, а при k нечетном неустойчивы.
Предположим теперь, что правая часть уравнения (1) и решение периодичны по t с одним и тем же периодом . Тогда в уравнении (8) , . Далее, так как равномерно непрерывна на компакте , то в силу периодичности выполняется равномерно по . Поскольку — периодическая матрица, то существует замена переменных , (12)
где — периодическая с периодом функция класса , причем , переводящая уравнение в с постоянной матрицей коэффициентов , определяемой теоремой Флоке. Следовательно, замена (12) переводит (8) в уравнение
, (13)
причем функция определена и непрерывна в области вида . Условие (9) также выполняется. Действительно, в силу (9), ограниченности и и поскольку