Согласно лемме из п. 2.1. вопрос об устойчивости тривиального решения уравнения (8) эквивалентен вопросу об устойчивости тривиального решения уравнения (13). Так как , где — собственные числа матрицы , а — мультипликаторы линейного уравнения , называемые также мультипликаторами периодического решения , то из теорем 5 и 6 вытекает следующая теорема:

Теорема 8. Если модули всех мультипликаторов периодического решения периодического уравнения (1) меньше единицы, то это решение асимптотически устойчиво. Если же модуль хоть одного из мультипликаторов больше единицы, то оно неустойчиво.

Рассмотрим смешанный случай, когда исследуется устойчивость -периодического решения автономного уравнения (10). Дифференцируя тождество , получаем . Следовательно, функция является -периодическим решением уравнения в вариациях . По следствию 1 п. 1.5. один из мультипликаторов равен единице. Если среди остальных мультипликаторов имеются такие, модули которых больше единицы, то решение неустойчиво по теореме 8. В противном случае теорема 8 неприменима.

Теорема 9. (Андронова-Витта) Если мультипликаторов периодического решения уравнения (10) имеют модули, меньшие единицы, то это решение устойчиво по Ляпунову.

Замечание. Уравнение (10) автономно, поэтому наряду с решением имеются и решения , , следовательно, решение не может быть асимптотически устойчивым.

2.7. Экспоненциальная устойчивость.

Рассмотрим уравнение (10), в котором . Обозначим через траекторию, проходящую через точку при . Предположим, что нулевое решение (10) асимптотически устойчиво, причем существуют число и функция , при такие, что при . В этом случае существуют положительные числа такие, что при справедливо неравенство

. (14)

Если имеет место оценка (14), то говорят, что нулевое решение экспоненциально асимптотически устойчиво. Например, в условиях теоремы 5 нулевое решение уравнения (8) экспоненциально асимптотически устойчиво. Более того, нулевое решение уравнения (8) экспоненциально асимптотически устойчиво при более слабых, чем в теореме 5, ограничениях на нелинейность . Достаточно, чтобы левая часть (9) удовлетворяла неравенству , где — собственные числа матрицы A (их вещественные части по условию отрицательны).

Для автономного уравнения (10) из экспоненциальной устойчивости следует асимптотическая устойчивость, и наоборот. Однако для неавтономных систем справедливо только первое утверждение.

Для неавтономной системы по формуле (14) вводится аналогичное понятие экспоненциальной устойчивости, однако асимптотическая устойчивость. Кроме того, справедлив следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы линейная система была экспоненциально устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы существовали две квадратичные формы и , обладающие следующими свойствами:

1. вещественная, симметричная и ограниченная;

2. вещественная, симметричная и ограниченная;

3. ;

4. (см. п. 3.1).

3. Второй метод Ляпунова.

3.1. Основные определения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

, (1)

где . Предположим, что G — область единственности и при всех , т. е. уравнение (1) имеет тривиальное решение . Рассмотрим вопрос об устойчивости этого решения.

Сущность второго метода Ляпунова заключается в исследовании поведения некоторой функции как функции t при замене x на произвольное решение уравнения (1). В дальнейшем используем определения устойчивости и асимптотической устойчивости, где .

Под функцией Ляпунова будем понимать любую непрерывную функцию такую, что при всех . На множестве функций Ляпунова задан линейный оператор D, определяемый формулой

. (2)

называется производной V в силу уравнения (1). Справедлива формула

, (3)

где — решение уравнения (1) с начальными данными .

Определение. Функция Ляпунова , не зависящая от t, называется определенно-положительной, если в области G при . Функция Ляпунова называется определенно-положительной, если существует определенно-положительная функция такая, что . Функция Ляпунова называется определенно-отрицательной, если — определенно-положительная функция.

Определение. Функция Ляпунова называется положительной, если в области G и отрицательной, если в G.

Таким образом, функцию Ляпунова, тождественно равную в G нулю, можно рассматривать и как положительную, и как отрицательную.

Отметим следующее свойство определенно-положительных и определенно-отрицательных функций: если , то . (4)

Импликация в (4) вытекает непосредственно из определения функций Ляпунова. Чтобы обосновать импликацию , рассмотрим произвольную последовательность , , для которой при . Покажем, что при . Предположим, что это неверно. Тогда найдется подпоследовательность и положительное число такие, что . Согласно определению , где — определенно-положительная функция. Положим . Множество компактно, поэтому по теореме анализа , где , следовательно, . Тогда , что противоречит свойству последовательности .

3.2. Теоремы второго метода Ляпунова.

Теорема 1. Пусть существует определенно-положительная функция Ляпунова , такая, что DV есть отрицательная функция. Тогда решение уравнения (1) устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Пусть  — произвольная положительная постоянная, . Положим при . Так как V определенно-положительная, то . По l найдем такое, чтобы . Рассмотрим решение при . Покажем, что

. (5)

Пусть (5) не имеет места. Тогда существует такое, что , а при . В силу (3) и условия теоремы функция является при невозрастающей функцией t. Так как , то , тогда тем более , что противоречит определению T и тому, что . Таким образом, импликация (5) имеет место, а это и означает по определению устойчивость решения по Ляпунову. Теорема доказана.

Следствие. Если уравнение (1) имеет в области G определенно-положительный интеграл, не зависящий от t и уничтожающийся в начале координат, то решение устойчиво по Ляпунову.

Теорема 2. Пусть существует определенно-положительная функция Ляпунова , такая, что DV определенно-отрицательная при . Тогда решение уравнения (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Условия теоремы 1 выполнены, и решение устойчиво по Ляпунову. Следовательно, существует такое, что

при . (6)

Из определения асимптотической устойчивости в силу (4) заключаем, что достаточно доказать импликацию при . В силу (3) и условия теоремы — строго убывающая функция t.

Предположим, что теорема неверна. Тогда

. (7)

Отсюда, из (6) и (4) следует, что при . По условию теоремы , где — определенно-положительная функция. Пусть . Из (3) следует, что при всех , что противоречит определенной положительности . Полученное противоречие доказывает теорему.

В случае когда уравнение автономно, условия теоремы (2) можно ослабить.

Теорема 3. Пусть уравнение (1) автономно, выполнены условия теоремы 1 и множество не содержит целиком полных траекторий уравнения (1), за исключением положения равновесия . Тогда решение асимптотически устойчиво.

Доказательство. Используем доказательство теоремы 2 до формулы (7) включительно. Далее, пусть — -предельная точка траектории . Из определения -предельной точки и (7) следует, что . По первому свойству предельных множеств (п. 1.3.) все точки траектории являются -предельными для траектории . Следовательно, для всех t, при которых определено решение , . Отсюда и из (3) следует, что при указанных t , что противоречит условию теоремы, так как не совпадает с началом координат. Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим уравнение движения диссипативной системы с одной степенью свободы , где удовлетворяют условию Липшица при , удовлетворяет условию при и при . Докажем, что положение равновесия асимптотически устойчиво.

Соответствующая система двух уравнений имеет вид

.

В качестве функции Ляпунова возьмем полную энергию системы .

В силу условия V —определенно-положительная функция, при этом

.

Следовательно, DV —отрицательная функция и множество M — интервал оси абсцисс при . Так как при при , то множество M не содержит целых траекторий, отличных от положения равновесия .

По теореме 3 решение системы асимптотически устойчиво, что и требовалось доказать.

Перейдем к рассмотрению неустойчивости. Пусть — функция Ляпунова. Обозначим через любую связную компоненту открытого множества с началом координат на ее границе.

Теорема 4. Пусть существует функция Ляпунова такая, что не пусто и при . Тогда решение уравнения (1) неустойчиво.

Доказательство. Пусть . Будем рассматривать решения с начальной точкой . Достаточно показать, что для каждого из этих решений можно указать момент T (для каждого решения свой) такой, что .

Пусть это неверно, т. е. существует решение , удовлетворяющее при всех неравенству . Покажем, что траектория решения принадлежит при . Действительно, по определению она может покинуть область только через ту часть ее границы, где . Но это невозможно, так как и при возрастании функция строго возрастает, пока , в силу (3).

Итак, доказано, что при и . Следовательно, по условию теоремы при . Интегрируя (3) от до , получаем

,

что противоречит ограниченности при . Противоречие доказывает теорему.

Пример. Рассмотрим уравнение , где — удовлетворяющая условию Липшица при функция такая, что при . Докажем неустойчивость решения .

Рассмотрим систему , соответствующую уравнению примера. В качестве функции Ляпунова возьмем . Имеем: