Математический анализ
1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.
Множество - совокупность некоторых объектов
Элементы множества - объекты составляющие множество
Числовые множества - множества элементами которых являются числа.
Задать множество значит указать все его элементы:
1 Способ: А={а: Р(а)} эти записи Читать- множество тех а таких что...
A={а-Р(а)} равноценны
Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых предикат истина.
2 Способ: Конструирование из других множеств:
AB = {c: cA cB}, AB = {c: cA cB}, A B = {c: cA сB}
U - универсальное множество (фиксированное)
UA; U A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)
Свойства:
1. A(BC)=(AB)C - ассоциативность; AB=BA - коммутативность; A=A; AU=U
2. A (BC)=(AB)(AC) & A (BC)=(AB)(AC) - дистрибутивность; А=А
A” =A - закон исключающий третьего (AB)’=A’B’; (AB)’=A’B’; AA’=
Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.
"=>" c(AB)’ => cAB => cA & cB => c A’ & cB’ => cA’B’
"<=" cA’B’ => cA’ & cB’ => cA & cB => cAB => cAB)’
Отображение множеств:
f:Aна множестве А задано отображение f со значением множества B
aA; b=> b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз элемента b при отображении f
Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В, значит А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f B)
Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im
Отображение f инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в разные)
Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)
Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества равномощны(содержат одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно - взаимооднозначно.
Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N)
Теорема: Множество Q счетно.
Докозательство: Q=
Лемма 1: nN Z/n - счетно.
Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:
10/n 5-2/n
2/n 63/n
3-1/n 7-3/n
42/n ...
Лемма 2: Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа счетных множеств - счетно.
А1={а11, а12, а13,...}
А2={а21, а22, а23,...}
А3={а31, а32, а33,...}
...
Применяем диагональную нумерацию (а11 - 1; а21 - 2; а12 - 3; а31 - 4; а22 - 5...) и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа счетных множеств - счетно.
Часть может быть равномощна целому: (-1,1) равномощен R (через полуокружность и лучи)
Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно
2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью. Плотность Q в R.
Действительные числа - множество чисел вида [a0],а1 a2 а3... где а0Z а1,а2,а3,...{0,1,...,9}
Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:
[ао],а1 а2 а3...ак (0) = ао + а1/10 + а2/100 + ... +ак/10k = [ао],а1 а2 а3...а’к (9), где а’к=ак-1
х=[хо],х1 х2 х3...хк...
у=[уо],у1 у2 у3...ук...
х’к - катое приближение икса с недостатком = [хо],х1 х2 х3...хк
у”к - катое приближение игрека с избытком = [уо],у1 у2 у3...ук + 1/10k
х’к+1 > х’к (х’к - монотонно растет)
у”к+1 у”k (у”k - не возрастает), т.к. у”к=[уо],у1 у2 у3...ук + 1/10к
у”к+1 = [уо],у1 у2 у3...ук ук+1 + 1/10к+1
у”к - у”к+1 = 1/10к - ук+1 + 1/10к+1 0
10 - ук+1 - 1 / 10к+1 0
9 ук+1
Определение: 1) х > у <=> к: х’к > у”к
2) х = у <=> х’к не> у”к & у”к не> х’к
По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)
Свойства: 1)х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у
2) х>у & у>z => х>z
3) х не> х
Док-во (2): х>у у>z
х’к>у”к у’m>z”m
n=max{k;m}
х’nх’к>у”ку”n у’n у’m>z”mz”n
у”n>у’n => х’n>z”n
Определение: Если АR и х,уR аА: х<а<у, то А плотно в R
Теорема: Q плотно в R.
Доказательство: х > у х’к > у”к х х’к у”к у
х х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у
Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)Q
3.Несчетность множества действительных чисел.
Теорема: R несчетно.
Доказательство от противного:
1х1=[х1], х11 х12 х13... |
2х2=[х2], х21 х22 х23... | Пусть здесь нет девяток в периоде
3х3=[х3], х31 х32 х33... |
... | (*)
кхк=[хк ], хк1 хк2 хк3... |
... |
Найдем число которого нет в таблице:
с=[с], с1 с2 с3...
[с][х1] => сх1
с1 {9;х21} => сх2
с2 {9;х32} => сх3
...
ск {9;хк+1к} => схк
Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)
5.Теорема Дедекинда о полноте R
Пусть 1) 0АR; 2) aA, b: аB=R, тогда ! сR: aA, b: асb
Замечания: 1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)
2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс), В называют верхним множеством сечения (верхний класс)
Доказательство:
aA, b: а A ограничено сверху => SupA=m => b: bm => B ограничено снизу => InfB=n, mn
Докажем, что m = n:
Пусть
m
следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим асb
Докажем, что с единственное(от противного):
Пусть с’с,с’>с
(с’<с), так как
c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию.
с’>с
(с’<с) найдется
такое b(a), что b
8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)
Если n0:n>n0 xNyNzN и Lim xN=x, Lim zN=z, причем x=z, то Lim yN=y => x=y=z.
Доказательство: n>n0 xNyNzN
Возьмем произвольно Е>0, тогда n’: n>n’ xN(х-Е,х+Е) & n”: n>n” zN(х-Е,х+Е) => n>max{n0,n’,n”} yN(x-E,x+E)
4. Верхние и нижние грани числовых множеств.
Определение: АR mR, m - верхняя (нижняя) грань А, если аА аm (аm).
Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что аА, выполняется аm (аm).
Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A
2) m’:
m’
InfA = n, если 1) n - нижняя грань A
2) n’: n’>n => n’ не нижняя грань A
Определение: SupA=m называется число, такое что: 1) aA am
2) >0 aA, такое, что aa-
InfA = nназывается число, такое что: 1) 1) aA an
2) >0 aA, такое, что aEa+
Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.
Доказательство:
Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.
[m]=max{[a]:aA} [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - верхняя грань A
Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей
m1=max[10*{a-[m]:aA}]
m2=max[100*{a-[m],m1:aA}]
...
mк=max[10K*{a-[m],m1...mK-1:aA}]
[[m],m1...mK, [m],m1...mK + 1/10K]A=>[m],m1...mK + 1/10K - верхняя грань A
Докажем, что m=[m],m1...mK - точная верхняя грань и что она единственная:
к:
[m’K,m”K)Aк
аА:
а
Единственность(от противного):
аА, пусть а>m”K => к: а’K>m”K => аа’K>m”K - это противоречит ограниченности => am
Точная верхняя грань:
Пусть
l
Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АR, имееет точную нижнюю грань, причем единственную.
Рассмотрим множество B{-а: аА}, оно ограничено сверху и не пусто => -SupB=InfA
6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.
Определение: Последовательность аN называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю (Е>0 n0: n>n0 |аN|<Е)
Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм последовательностью.
Доказательство:
Пусть Lim aN=Lim
bN=0, cN=aN+bN,
dN=aN-bN.
Так как вне
любой эпсилон-окрестности
точки 0
(в частности
окрестности
Е/2) лежит конечное
число членов
последовательности
aN,
т.е.
n’: n>n’:
|aN|<Е/2.
Аналогично
n”: n>n”:
|bN|<Е/2.
При n>max{n’,n”} выполнены
оба неравен
ства |aN|<Е/2
& |bN|<Е/2
=> при любом n>
max{n’,n”} имеем:
|cN|=|aN+bN||aN|+|bN| Теорема:
Произведение
бм и ограниченной
последовательности
- бм последовательность. Доказательство:
Пусть aN
- бм посл-ть, bN
- ограниченная
посл-ть zN=aN*bN. Т.к.
bN - ограниченная
посл-ть, значит
такое с: |bN|с0 Т.к.
aN - бм
посл-ть, значит
вне любой
Е-окрестности
точки 0 (в частности
Е/с)лежит конечное
число членов
посл-ти aN,
т.е.
n0: n>n0
|aN|<Е/с.Таким
образом n>n0:
|zN|=|aN*bN|=|aN|*|bN|<Е/с
* с=Е Следствие:
произведение
бм посл-тей -
тоже бм посл-ть Теорема:
Пусть aN
- бм. Еслиn’:
n>n’
последовательностьть
|bN|aN
=> bN - бм Доказательство:
aN - бм
=>
n”: n>n”:
|aN|<Е.
Для n>=max{n’,n”} |bN||aN|<Е Определение:
Последовательность
аN
называется
бесконечно
большой (бб)
если Е>0
n0: n>n0
|аN|>Е) Теорема:
Если aN
- бм, то 1/aN
- бб последовательностьть,
обратное тоже
верно. Доказательство:
"=>"
aN-бм=>вне
любой эпсилон-окрестности
точки 0 (в частности
1/Е) находится
конечное число
членов посл-ти,
т.е. n0:
n>n0
|aN|<1 /E =>1/|aN|>Е. "<="
1/|aN| - бб
последовательность
=> Е>0
n0: n>n0
1/|aN|>1/Е
=> |aN|<Е Теорема:
Пусть aN
- бб. Если
n’: n>n’
последовательность
bN|aN|
=> bN - бб.
Доказательство:
aN - бб
=>
n”: n>n”
|aN|>Е.
Для n>max{n’,n”} bN|aN|>Е
7.Арифметика
пределов Предложение:
Число а
является пределом
последовательности
aN
если разность
aN-a
является бм
(обратное тоже
верно) Докозательство:
Т.к. Lim aN=a,
то |aN-a|<Е.
Пусть N=aN-a.
|N|=|aN-a|<Е Обратное:
Пусть N=aN-a,
т.к. N
- бм => |N|Е.
|N|=|aN-a|<Е Теорема:
Если Lim xN=x,
Lim yN=y, то:
Lim (xN+yN)
и Lim (xN+yN)=х+у
Lim (xN*yN)
и Lim (xN*yN)=х*у n
yN0
& y0
=>
Lim (xN/yN)
и Lim(xN/yN)=х/у Доказательство: Пусть
xN=х+N,
N
- бм; yN=у+N,
N
- бм 1)
(xN+yN)-(х+у)=N+N
(По теореме
о сумме бм: N+N
- бм => (xN+yn)-(х+у)-бм,
дальше по
предложению) 2)
xN*yN
- х*у = х*N+у*N+N*N
(По теоремам
о сумме бм посл-тей
и * бм посл-тей
на огр. посл-ти
получаем: xN*yN
- х*у - бм, дальше
по предл-нию) 3)
xN/yN
- х/у = (у*N-х*N)
/ (у*(у+N))=
(у*N-х*N)
* 1/у * 1/уN
доказательство
сводится к
доказательству
утверждения:
если уn
- сходящаяся
не к 0 посл-ть,
то 1/уN
тоже сходящаяся
последовательность:
Lim уN=y =>
по определению
предела получаем
n0: n>n0
|уn-у|<у/2 (Е=y/2),
что равносильно
неравенству:
у-у/2<уN<у/2+у,
откуда получаем:
|уN|уN>у/2.|уN|>у/2=>1/|уN|<2 /у => n:
1/|уN|max{2/у,
1/у1,
1/у2,...1/уno} Теорема:
Если хN
сходится к х,
yN сходится
к у и
n0: n>n0
последовательность
хNуN,
то ху Доказательство(от
противного):
Пусть х>у. Из
опр. предела
E>0
(в частности
Е<(у-х)/2): n’:
n>n’
|xN-x|
(х-Е,х+Е)(у-Е,у+Е)=.
И т.к мы предположили,
что х>у, то
n>max{n’,n”}:
хN>уN
- противоречие
с условием =>
ху. 5.
Определение
предела последовательности
и его единственность. Определение:
Пусть даны два
множества Х
и У. Если каждому
элементу хХ
сопоставлен
по определенному
правилу некоторый
элемент уУ,
то говорят,
что на множестве
Х определена
функция f и пишут
f:ХУ
или х
(f(х)| хХ). Определение:
Последовательность-это
ф-ция определенная
на мн-ве N, со
значениями
во мн-ве R f:NR.
Значение такой
ф-ции в (.) nN
обозначают
аN. Способы
задания: 1)
Аналитический:
Формула общего
члена 2)
Рекуррентный:
(возвратная)
формула: Любой
член последовательности
начиная с некоторого
выражаетс
через предидущие.
При этом способе
задани обычно
указывают
первый член
(или нсколько
начальных
членов) и формулу,
позволющкю
определить
любой член
последовательности
через предидущие.
Пример: а1=а;
аN+1=аN
+ а 3)
Словесный:
задание последовательности
описанием:
Пример: аN
= n-ый десятичный
знак числа Пи Определение:
Число а
называется
пределом
последовательности
аN,
если
n0:
n>n0
выполняется
неравенство
|аN-a|<.
Обозначение
Lim aN=a. Если
не существует
числа а,
являющегося
пределом посл-ти,
то говорят что
последовательность
расходится,
если существует,
то сходится
(к числу а). Геометрически
существование
предела последовательности
означает, что
любой интервал
вида (а-,а+),
называемый
эпсилон-окрестностью
точки а,
содержит все
члены последовательности
аN
начиная с некоторого
номера, или
что то же самое,
вне любой
эпсилон-окрестности
точки а
находится ко
нечное число
членов последовательности
аN. Определение:
Число а
назывется
пределом посл-ти
аN
если вне всякой
окрестности
точки а
содержится
конечное число
членов последова
тельности. Теорема:
Сходящаяся
последовательность
имеет только
один предел. Доказательство(от
противного):
Пусть
последовательность
аN
имеет предел
а и
предел с,
причем ас.
Выберем такой
эпсилон, чтобы
пересечение
эпсилон-окрестностей
точек а
и с бы
ло пусто. Очевидно
достаточно
взять эпсилон
меньше |а-с|/2.
Вне окрестности
точки а содержится
конечное число
членов последовательности
=> в ок рестности
точки с содержится
конечное число
членов последовательности
- противоречие
с условием
того, что с - предел
последовательности. Теорема:
Сходящаяся
последовательность
ограничена. Доказательство:
Пусть
последовательность
аN
сходится к
числу а.
Возьмем какое-либо
эпсилон, вне
эпсилон-окрестности
точки а лежит
конечное число
членов последо
вательности,
значит всегда
можно раздвинуть
окрестность
так, чтобы все
члены последовательности
в нее попали,
а это и означает
что последователь
ность ограничена. Замечания:
1) Обратное не
верно (аn=(-1)N,
ограничена
но не сходится)
2) Если существует
предел последовательности
аN,
то при отбрасывании
или добавлении
конечного
числа членов
предел не меняется. Порядковые
свойства пределов: Теорема
о предельном
переходе:
Если Lim xN=x,
Lim yN=y, n0:
n>n0
хNyN,
тогда xy Доказательство(от
противного):
Пусть
х>у => по определению
предела
n0’: n>n0’
|хN-х|