Xreferat.com » Рефераты по математике » Математический анализ

Математический анализ

1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.

Множество - совокупность некоторых объектов

Элементы множества - объекты составляющие множество

Числовые множества - множества элементами которых являются числа.

Задать множество значит указать все его элементы:

1 Способ: А={а: Р(а)} эти записи Читать- множество тех а таких что...

A={а-Р(а)} равноценны

Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых предикат истина.

2 Способ: Конструирование из других множеств:

AB = {c: cA cB}, AB = {c: cA cB}, A B = {c: cA сB}

U - универсальное множество (фиксированное)

UA; U A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)

Свойства:

1. A(BC)=(AB)C - ассоциативность; AB=BA - коммутативность; A=A; AU=U

2. A (BC)=(AB)(AC) & A (BC)=(AB)(AC) - дистрибутивность; А

A” =A - закон исключающий третьего (AB)’=A’B’; (AB)’=A’B’; AA’=

Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.

"=>" c(AB)’ => cAB => cA & cB => c A’ & cB’ => cA’B’

"<=" cA’B’ => cA’ & cB’ => cA & cB => cAB => cAB)’

Отображение множеств:

f:Aна множестве А задано отображение f со значением множества B

aA; b=> b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз элемента b при отображении f

Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В, значит А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f B)

Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im

Отображение f инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в разные)

Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)

Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества равномощны(содержат одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно - взаимооднозначно.

Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N)

Теорема: Множество Q счетно.

Докозательство: Q=

Лемма 1: nN Z/n - счетно.

Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:

10/n 5-2/n

2/n 63/n

3-1/n 7-3/n

42/n ...

Лемма 2: Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа счетных множеств - счетно.

А1={а11, а12, а13,...}

А2={а21, а22, а23,...}

А3={а31, а32, а33,...}

...

Применяем диагональную нумерацию (а11 - 1; а21 - 2; а12 - 3; а31 - 4; а22 - 5...) и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа счетных множеств - счетно.

Часть может быть равномощна целому: (-1,1) равномощен R (через полуокружность и лучи)

Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно


2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью. Плотность Q в R.

Действительные числа - множество чисел вида [a0],а1 a2 а3... где а0Z а123,...{0,1,...,9}

Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:

о],а1 а2 а3...ак (0) = ао + а1/10 + а2/100 + ... +ак/10k = [ао],а1 а2 а3...а’к (9), где а’кк-1

х=[хо],х1 х2 х3...хк...

у=[уо],у1 у2 у3...ук...

х’к - катое приближение икса с недостатком = [хо],х1 х2 х3...хк

у”к - катое приближение игрека с избытком = [уо],у1 у2 у3...ук + 1/10k

х’к+1 > х’к (х’к - монотонно растет)

у”к+1 у”k (у”k - не возрастает), т.к. у”к=[уо],у1 у2 у3...ук + 1/10к

у”к+1 = [уо],у1 у2 у3...ук ук+1 + 1/10к+1

у”к - у”к+1 = 1/10к - ук+1 + 1/10к+1 0

10 - ук+1 - 1 / 10к+1 0

9 ук+1

Определение: 1) х > у <=> к: х’к > у”к

2) х = у <=> х’к не> у”к & у”к не> х’к

По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)

Свойства: 1)х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у

2) х>у & у>z => х>z

3) х не> х

Док-во (2): х>у у>z

х’к>у”к у’m>z”m

n=max{k;m}

х’nх’к>у”ку”n у’n у’m>z”mz”n

у”n>у’n => х’n>z”n

Определение: Если АR и х,уR аА: х<а<у, то А плотно в R

Теорема: Q плотно в R.

Доказательство: х > у х’к > у”к х х’к у”к у

х х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у

Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)Q

3.Несчетность множества действительных чисел.

Теорема: R несчетно.

Доказательство от противного:

1х1=[х1], х11 х12 х13... |

2х2=[х2], х21 х22 х23... | Пусть здесь нет девяток в периоде

3х3=[х3], х31 х32 х33... |

... | (*)

кхк=[хк ], хк1 хк2 хк3... |

... |

Найдем число которого нет в таблице:

с=[с], с1 с2 с3...

[с]1] => сх1

с1 {9;х21} => сх2

с2 {9;х32} => сх3

...

ск {9;хк+1к} => схк

Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)

5.Теорема Дедекинда о полноте R

Пусть 1) 0АR; 2) aA, b: аB=R, тогда ! сR: aA, b: асb

Замечания: 1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)

2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс), В называют верхним множеством сечения (верхний класс)

Доказательство:

aA, b: а A ограничено сверху => SupA=m => b: bm => B ограничено снизу => InfB=n, mn

Докажем, что m = n:

Пусть m сQ: m cА & cВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что mn

следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим асb

Докажем, что с единственное(от противного):

Пусть с’с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию. с’>с (с’<с) найдется такое b(a), что bc’)-противоречие с aA, b: асb


8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)

Если n0:n>n0 xNyNzN и Lim xN=x, Lim zN=z, причем x=z, то Lim yN=y => x=y=z.

Доказательство: n>n0 xNyNzN

Возьмем произвольно Е>0, тогда n’: n>n’ xN(х-Е,х+Е) & n”: n>n” zN(х-Е,х+Е) => n>max{n0,n’,n”} yN(x-E,x+E)

4. Верхние и нижние грани числовых множеств.

Определение: АR mR, m - верхняя (нижняя) грань А, если аА аm (аm).

Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что аА, выполняется аm (аm).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) m’: m’ m’ не верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) n’: n’>n => n’ не нижняя грань A

Определение: SupA=m называется число, такое что: 1) aA am

2) >0 aA, такое, что aa-

InfA = nназывается число, такое что: 1) 1) aA an

2) >0 aA, такое, что aEa+

Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.

Доказательство:

Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.

[m]=max{[a]:aA} [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей

m1=max[10*{a-[m]:aA}]

m2=max[100*{a-[m],m1:aA}]

...

mк=max[10K*{a-[m],m1...mK-1:aA}]

[[m],m1...mK, [m],m1...mK + 1/10K]A=>[m],m1...mK + 1/10K - верхняя грань A

Докажем, что m=[m],m1...mK - точная верхняя грань и что она единственная:

к: [m’K,m”K)Aк аА: аK

Единственность(от противного):

аА, пусть а>m”K => к: а’K>m”K => аа’K>m”K - это противоречит ограниченности => am

Точная верхняя грань:

Пусть l к: m’K>l”K, но так как к [m’K,m”K)A => а[m’K,m”K) => а>l =>l - не верхняя грань.

Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АR, имееет точную нижнюю грань, причем единственную.

Рассмотрим множество B{-а: аА}, оно ограничено сверху и не пусто => -SupB=InfA

6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.

Определение: Последовательность аN называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю (Е>0 n0: n>n0N|<Е)

Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм последовательностью.

Доказательство: Пусть Lim aN=Lim bN=0, cN=aN+bN, dN=aN-bN. Так как вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит конечное число членов последовательности aN, т.е. n’: n>n’: |aN|<Е/2. Аналогично n”: n>n”: |bN|<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен ства |aN|<Е/2 & |bN|<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем: |cN|=|aN+bN||aN|+|bN| |dN|=|aN-bN| |aN|+|bN|

Теорема: Произведение бм и ограниченной последовательности - бм последовательность.

Доказательство: Пусть aN - бм посл-ть, bN - ограниченная посл-ть zN=aN*bN.

Т.к. bN - ограниченная посл-ть, значит такое с: |bN|с0

Т.к. aN - бм посл-ть, значит вне любой Е-окрестности точки 0 (в частности Е/с)лежит конечное число членов посл-ти aN, т.е. n0: n>n0 |aN|<Е/с.Таким образом n>n0: |zN|=|aN*bN|=|aN|*|bN|<Е/с * с=Е

Следствие: произведение бм посл-тей - тоже бм посл-ть

Теорема: Пусть aN - бм. Еслиn’: n>n’ последовательностьть |bN|aN => bN - бм

Доказательство: aN - бм => n”: n>n”: |aN|<Е. Для n>=max{n’,n”} |bN||aN|<Е

Определение: Последовательность аN называется бесконечно большой (бб) если Е>0 n0: n>n0N|>Е)

Теорема: Если aN - бм, то 1/aN - бб последовательностьть, обратное тоже верно.

Доказательство:

"=>" aN-бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е) находится конечное число членов посл-ти, т.е. n0: n>n0 |aN|<1 /E =>1/|aN|>Е.

"<=" 1/|aN| - бб последовательность => Е>0 n0: n>n0 1/|aN|>1/Е => |aN|<Е

Теорема: Пусть aN - бб. Если n’: n>n’ последовательность bN|aN| => bN - бб.

Доказательство: aN - бб => n”: n>n” |aN|>Е. Для n>max{n’,n”} bN|aN|>Е


7.Арифметика пределов

Предложение: Число а является пределом последовательности aN если разность aN-a является бм (обратное тоже верно)

Докозательство: Т.к. Lim aN=a, то |aN-a|<Е. Пусть N=aN-a. |N|=|aN-a|<Е

Обратное: Пусть N=aN-a, т.к. N - бм => |N|Е. |N|=|aN-a|<Е

Теорема: Если Lim xN=x, Lim yN=y, то:

  1.  Lim (xN+yN) и Lim (xN+yN)=х+у

  2.  Lim (xN*yN) и Lim (xN*yN)=х*у

  3. n yN0 & y0 => Lim (xN/yN) и Lim(xN/yN)=х/у

Доказательство:

Пусть xN=х+N, N - бм; yN=у+N, N - бм

1) (xN+yN)-(х+у)=N+N (По теореме о сумме бм: N+N - бм => (xN+yn)-(х+у)-бм, дальше по предложению)

2) xN*yN - х*у = х*N+у*N+N*N (По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм посл-тей на огр. посл-ти получаем: xN*yN - х*у - бм, дальше по предл-нию)

3) xN/yN - х/у = (у*N-х*N) / (у*(у+N))= (у*N-х*N) * 1/у * 1/уN доказательство сводится к доказательству утверждения: если уn - сходящаяся не к 0 посл-ть, то 1/уN тоже сходящаяся последовательность: Lim уN=y => по определению предела получаем n0: n>n0 |уn-у|<у/2 (Е=y/2), что равносильно неравенству: у-у/2<уN<у/2+у, откуда получаем: |уN|уN>у/2.|уN|>у/2=>1/|уN|<2 /у => n: 1/|уN|max{2/у, 1/у1, 1/у2,...1/уno}

Теорема: Если хN сходится к х, yN сходится к у и n0: n>n0 последовательность хNуN, то ху

Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела E>0 (в частности Е<(у-х)/2): n’: n>n’ |xN-x|n”:n>n” |yN-y|n>max{n’,n”} все члены посл-ти xN будут лежать в Е-окрестности точки х, а все члены посл-ти уN будут лежать в Е-окрестности точки у, причем

(х-Е,х+Е)(у-Е,у+Е)=. И т.к мы предположили, что х>у, то n>max{n’,n”}: хNN - противоречие с условием => ху.


5. Определение предела последовательности и его единственность.

Определение: Пусть даны два множества Х и У. Если каждому элементу хХ сопоставлен по определенному правилу некоторый элемент уУ, то говорят, что на множестве Х определена функция f и пишут f:ХУ или х (f(х)| хХ).

Определение: Последовательность-это ф-ция определенная на мн-ве N, со значениями во мн-ве R f:NR. Значение такой ф-ции в (.) nN обозначают аN.

Способы задания:

1) Аналитический: Формула общего члена

2) Рекуррентный: (возвратная) формула: Любой член последовательности начиная с некоторого выражаетс через предидущие. При этом способе задани обычно указывают первый член (или нсколько начальных членов) и формулу, позволющкю определить любой член последовательности через предидущие. Пример: а1=а; аN+1N + а

3) Словесный: задание последовательности описанием: Пример: аN = n-ый десятичный знак числа Пи

Определение: Число а называется пределом последовательности аN, если  n0: n>n0 выполняется неравенство |аN-a|<. Обозначение Lim aN=a.

Если не существует числа а, являющегося пределом посл-ти, то говорят что последовательность расходится, если существует, то сходится (к числу а).

Геометрически существование предела последовательности означает, что любой интервал вида (а-,а+), называемый эпсилон-окрестностью точки а, содержит все члены последовательности аN начиная с некоторого номера, или что то же самое, вне любой эпсилон-окрестности точки а находится ко нечное число членов последовательности аN.

Определение: Число а назывется пределом посл-ти аN если вне всякой окрестности точки а содержится конечное число членов последова тельности.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство(от противного):

Пусть последовательность аN имеет предел а и предел с, причем ас. Выберем такой эпсилон, чтобы пересечение эпсилон-окрестностей точек а и с бы ло пусто. Очевидно достаточно взять эпсилон меньше |а-с|/2. Вне окрестности точки а содержится конечное число членов последовательности => в ок рестности точки с содержится конечное число членов последовательности - противоречие с условием того, что с - предел последовательности.

Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.

Замечания: 1) Обратное не верно (аn=(-1)N, ограничена но не сходится)

2) Если существует предел последовательности аN, то при отбрасывании или добавлении конечного числа членов предел не меняется.

Порядковые свойства пределов:

Теорема о предельном переходе: Если Lim xN=x, Lim yN=y, n0: n>n0 хNyN, тогда xy

Доказательство(от противного):

Пусть х>у => по определению предела n0’: n>n0’ |хN-х| n0”: n>n0” |yN-y|n>max{n0’, n0”}: |хN-х|<|х-у|/2 & |уN-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)(х-Е,х+Е)=. n>max{n0’, n0”} хN(х-Е,х+Е) & уN

Похожие рефераты: