Xreferat.com » Рефераты по математике » Математический анализ

Математический анализ

class="symbol">(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.

Теорема: Если n0:n>n0 aNbNcN и Lim aN=a, Lim cN=c, причем a=c, то Lim bN=b => a=b=c.

Доказательство: Возьмем произвольно Е>0, тогда n’: n>n’ => cN<(a+E) & n”: n>n” => (a-E)N. При n>max{n0,n’,n”} (a-E)NbNcN<(a+E), т.е. n>max{n0,n’,n”}=>bN(a-E,a+E)


9. Предел монотонной последовательности

Определение: Последовательность называется монотонно возрастающей (убывающей) если n1>n2 (n12): xN1xN2 (xN1xN2).

Замечание: Если xN1 строго больше (меньше) xN2, тогда посл-ть называется строго монотонно возрастающая (убывающая) в случае нестрогости неравенства последовательность называется нестрого возрастающей (убывающей).

Теорема: Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.

Доказательство: Пусть хN ограниченная монотонно возрастающая последовательность. Х={xN: nN}

По теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества имеем: SupX=x, Е>0 xE: (х-Е)<хE => n0 xNo>(х-E). Из монотон ности имеем: n>n0 xNxNo>(x-E), получили xNx=SupX, значит n>n0 xN(x-E,х]<(x-E,x+E)


10.Лемма о вложенных промежутках

Определение: Пусть а,bR и а

1) Mножество хR: ахb (а<х

2) Mножество хR: ахb) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хR: а<х & x

4) Mножество хR: ах & хb - числовой луч

5) Mножество хR - числовая прямая

Определение: Число b и а (если они существуют) называются правым и левым концами отрезка (далее промежутка), и его длина равна b-a

Лемма: Пусть aN монотонно возрастает, bN монотонно убывает, n aNbN и (bN-aN)-бм, тогда ! с: n c[aN,bN] (с[aN,bN])

Доказательство:

aNbNb1 aN монтонно возрастает & aNb1 => Lim aN=a

a1aNbN bN монтонно убывает & a1bN => Lim bN=b

aNa bbN aNbN => ab

Lim (bN-aN)=b-a=0(по условию)=>a=b

Пусть c=a=b, тогда aNcbN

Пусть с не единственное: aNc’bN, с’с

aNcbN=>-bN-c-aN => aN-bNc’-cbN-aN => (По теореме о предельном переходе) => Lim(aN-bN)Lim(c’-c)Lim(bN-aN) => (a-b)Lim(c`-c)b-a) =>

0lim(c`-c)0 => 0(c`-c)0 => c’=c => c - единственное.

Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки промежутка 1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к 0 при n lim(bN-aN)=0, тогда концы промежутков aN и bN стремятся к общему пределу с (с разных сторон).


42.Локальный экстремум. Теорема Ферма и ее приложение к нахождению наибольших и наименьших значений.

Определение: Пусть задан промежуток I=(a;b), точка x0a;bТочка x0, называется точкой локалниого min(max), если для всех xa;bвыполняется

f(x0)0)>f(x)).

Лемма: Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x0. Если эта производная f‘(x0)>0(f‘(x0)<0), то для значений х, достаточно близких к x0 справа, будет f(x)>f(x0) (f(x)0)), а для значений x, достаточно близких слева, будет f(x)0) (f(x)>f(x0)).

Доказательство: По определению производной,.

Если f‘(x0)>0, то найдется такая окрестность (x0-,x0+) точки x0, в которой (при хx0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)>0. Пусть x0так что х-х0>0 => из предыдущего неравенства следует, что f(x)-f(x0)>0, т.е. f(x)>f(x0). Если же x-x0 и х-х0<0, то очевидно и f(x)-f(x0)<0, т.е. f(x)0). Ч.т.д.

Теорема Ферма: Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x0 этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то необходимо f‘(x0)=0.

Доказательство: Пусть для определенности f(x) принимает наибольшее значение в точке x0. Предположение, что f‘(x0)0, приводит к противоречию: либо f‘(x0)>0, и тогда (по лемме) f(x)>f(x0), если x>x0 и достаточно близко к x0, либо f‘(x0)<0 , и тогда f(x)>f(x0), если x0 и достаточно близко к x0. В обоих случаях f(x0) не может быть наибольшим значением функции f(x) в промежутке I=(a;b) => получили противоречие => теорема доказана.

Следствие: Если существует наибольшее (наименьшее) значение функции на [a;b] то оно достигается либо на концах промежутка, либо в точках, где производной нет, либо она равна нулю.


43.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши (о среднем значении).

Теорема Ролля

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

3) на концах промежутка функция принимает равные значения: f(a)=f(b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a), что f’(с)=0.

Доказательство: f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и потому, по второй теореме Вейерштрасса (Если f(x), определена и непрерывна в замкну том промежутке [a;b], то она достигает в этом промежутке своих точных верхней и нижней границ), принимает в этом промежутке как свое наибольшее значение M, так и свое наименьшее значение m.

Рассмотрим два случая:

1) M=m. Тогда f(x) в промежутке [a;b] сохраняет постоянное значение: неравенство mf(x)M в этом случае x дает f(x)=M => f’(x)=0 во всем промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку из (a;b).

2) M>m. По второй теореме Вейерштрасса оба эти значения функцией достигаются, но, так как f(a)=f(b), то хоть одно из них достигается в некоторой точ ке с между a и b. В таком случае из теоремы Ферма (Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x0 этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то необходимо f‘(x0)=0) следует, что произ водная f’(с) в этой точке обращается в нуль.

Теорема Коши:

Пусть 1) f(x) и g(x) непрерывны в замкнутом промежутке [a;b] & g(b)g(a)

2) сущестуют конечные производные f’(x) и g’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

3) g’(x)в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a), что

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию h(x)=[f(x) - f(a) -*(g(x) - g(a))]

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) h(x) непрерывна на [a;b], как комбинация непрерывных функций

2) сущестует конечная производная h’(x) в (a;b), которая равна h’(x)=f’(x) -*g’(x)

3) прямой подстановкой убеждаемся h(a)=h(b)=0

Вследствие этого в промежутке (a;b) существует такая точка с, что h’(x)=0 => f’(c) -*g’(c) или f’(c) =*g’(c).

Разделив обе части равенства на g’(x) (g’(x)0) получаем требуемое равенство.

Теорема Лагранжа:

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a), что

Доказательство: По теореме Коши, полагая g(x)=x, имеем:

Промежуточное значение с удобно записывать в виде с=а+b-a, где (0;1). Тогда принимая x0=a, (b-a)=h, мы получаем следующее следствие:

Следствие: Пусть f(x) дифференцируема в интервале I=(a;b), x0 x0+hтогда 0;1f(x0+h)-f(x0)=f’(x0+h)*h ([x0;x0+h] h>0, [x0+h;x0] h<0)


11. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Определение: Пусть аN некоторая числовая посл-ть и kN-строго возрастающая посл-ть N чисел. В результате композиции ф-ций naN и nkN получа ем посл-ть aKn-которая наз. подпосл-тью посл-ти aN=>подпосл-сть - это либо сама посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов.

Теорема: Если Lim аN=а, то и Lim аKn=а.

Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число членов последовательности аn и в частности последовательности.

Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n0: n>n0N-а|<Е, ввиду того что kNсуществует и такое n’, что при всех n>n’ kN>n0 тогда при тех же значениях n будет верно |аKn-а|<Е

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: хN - ограничена => n: ахNb. Поделим промежуток [a,b] пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество членов посл-ти хN (в противном случае и во всем промежутке содержится конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть [а1,b1] - та половиа, которая содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично выделим на промежутке [а1,b1] промежуток [а2,b2] также содержащий бесконечное число членов посл-ти хN. Продолжая процесс до бесконечности на к-том шаге выделим промежуток [аK,bK]-также содержащий содержащий бесконеч ное число членов посл-ти хN. Длина к-того промежутка равна bKK = (b-a)/2K, кроме того она стремится к 0 при к и аKаK+1 & bKbK+1. Отсюда по лемме о вложенных промежутках ! с: n аNcbN.

Теперь построим подпоследовательность:

хN1 1,b1]

хN2 2,b2] n2>n1

. . .

хNKK,bK] nK>nK-1

ахNkb. (Lim aK=LimbK=c из леммы о вложенных промежутках)

Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim хNk=c - ч.т.д.


12.Верхний и нижний пределы последовательности.

xN - ограниченная последовательность =>n аNхNbN

хNKх, так как хNK-подпоследовательность => n ахNb =>ахb

х - частичный предел последовательности хN

Пусть М - множество всех частичных пределов.

Множество М ограничено (аМb) => SupM & InfM

Верхним пределом посл-ти xN называют SupMSup{xN}: пишут Lim xN

Нижним предел ом посл-ти xn называют InfMnf{xN}: пишут lim xN

Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.

Достижимость:

Теорема: Если хN ограничена сверху (снизу), то подпосл-ть хNK: предел которой равен верхнему (нижнему) пределу хN.

Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел хN

 х’М: х-1/к<х’ (следует из того что х - SupМ), т.к. х’М => подпоследовательность хNSх’ => Е>0 (в частности Е=1/к) s0: s>s0 =>

х’-1/к<хNS<х’+1/к

х -1/к-1/к<х’-1/к<хNS<х’+1/к<х+1/к (т.к.х-1/к<х’ и х’<х=SupМ)

х-2/к<хNS<х+1/к

Берем к=1: х-2<хNS<х+1, т.е s0: s>s0 это неравенство выполняется берем член посл-ти хNS с номером больше s0 и нумеруем его хN1

k=1: х-2/1<хN1<х+1/1

k=2: х-2/2<хN2<х+1/2 n12

...

k=k: х-2/к<хNK<х+1/к nK-1K

При к хNKх


13.Фундаментальные последовательности.

Определение: Последовательность {аN} - называется фундаментальной, если Е>0 n0: n>n0 и любого рN выполнено неравенство |аN+р-аN|<Е. Геометрически это означает что Е>0 n0, такой что расстояние между любыми двумя членами посл-ти, с большими чем n0 номерами, меньше Е.

Критерий Коши сходимости посл-ти: Для того, чтобы данная посл-ть сходилась необходимо и достаточно, чтобы она являлась фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость: Пусть Lim xN=x, тогда Е>0 n0: n>n0 N-х|<Е/2. n>n0, n’>n0NN’|=|хN-х+х-хN’|<|хN-х|+|х-хN’|<Е/2+Е/2<Е

Достаточность: Пусть хN - фундаментальная

1) Докажем что хN ограничена: Е1=1998 n0: |хNN’|<Е, n>n0, n’>n0

n>n0NN0|<Е1 х N0-1998<хN N0+1998 => хN - ограничена

2) По теореме Больцано-Вейерштрасса

 подпосл-ть хNKх. Можно выбрать к настолько большим, чтобы |хNK-х|<Е/2 и одновременно nк>n0. Следовательно (из фунд-ти) |хNNK|<Е/2 =>

NK-х|<Е/2 => х-Е/2<хNK<х+Е/2 => |хNNK|<Е/2 => хNK-Е/2<хNNK+Е/2 => х-Е<хN<х+Е => |хN-х|<Е


14.Бином Ньютона для натурального показателя.Треугольник Паскаля.

Формула Ньютона для бинома:

n

Разложение Паскаля

(Записав коэффициенты в виде пирамиды - получим треугольник Паскаля)

...

*: к=0,1,...,n

Доказательство(по индукции):

1) n=0 - верно (1+х)0=1 =>(1+х)0 =

2) Пусть верно для n: докажем что это верно и для n+1:

= Ч.т.д


16.Последовательности (во всех пределах n)

1) Lim= 0 (p>0)

- это означает что, мы нашли такое n0=: n>n0 ||

2) Lim=1

xN= - 1

=1+xN

n=(1+xN)n

n=

xN2<2/(n-1)

При n 0 => xN0 (Лемма о зажатой последовательности)=>Lim=Lim (1+xN)=1+0=1


16.Последовательность (1+1/n)n и ее предел.

xN=; yN=; zN=yN +

xN монотонно возрастает: докажем:

xN=(1+1/n)n=1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n2 +... < 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = yN => yNN<3

Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)n1+nx, x>-1) (доказывается по индукции):

x=1/n => (1+1/n)n1+n/n=2

Получили: 2 xN<3 => xN - ограничена, учитывая что xN - монотонно возрастает => xN - сходится и ее пределом является число е.


17. Последовательности (во всех пределах n)

1) Lim=1, a>0

a) a1:

xN=xN+1==> Lim xN=x

xN+1=xN *

xN=xN+1 *

xN=xN+1*xN*(n+1)

Lim xN=Lim (xN+1*xN*(n+1)) => x = x*x => x = 1

б) 0N=

Lim=1 b=1/a =>= 1/=> Lim= 1/1 = 1

2) Lim = 0, a>1

xN=xN+1=

т.к. Lim= Lim=Lim=1

=> n0: n>n0 xn+1/xn<1 => СТ x=limxn

xN+1=xN*

Lim xN+1 = Lim xN* => x = x*1/a => x=0

Докажем, что если xN1 => (xN)1:

a) n: xN1 и 0

(xN) [](xN)<(xN)[]+1 => по лемме о зажатой посл-ти, учитывая что Lim (xN)[]=Lim (xN)[]+1=1 (по теореме о Lim произведения) получаем Lim (xN)=1

б) n: 0N<1 и 0

yN=1/xN => yn>1 Lim yN=lim1/xN=1/1=1 => (по (а)) Lim (yN) =1 => lim 1/(xN)=1 => Lim (xN) =1

Объединим (а) и (б):

xN1 >0

xN1,xN2,...>1 (1)

xM1,xM2,...<1 (2)

Вне любой окрестности точки 1 лежит конечное число точек (1) и конечное число точек (2) => конечное число точек xN.

в) <0

(xN) =1/(xN) <0 => ->0 => по доказанному для >0 получаем, Lim 1/(xN) = 1 => Lim (xN)


15. Доказательство формулы e=...

yN=; zN=yN +

1) yN монотонно растет

2) yNN

3) zN-yN0

4) zN монотонно убывает

Доказателство:

zN-zN+1 = yN + - yN+1 -= +-=

2=y1NN1=3

e = Lim yN = Lim zN - по лемме о вложенных промежутках имеем: yN<eN = yN + 1/(n*n!)

Если через обозначить отношение разности e - yN к числу 1/(n*n!), то можно записать e - yN =/(n*n!), заменяя yN его развернутым выражением получаем e = yN + /(n*n!), (0,1)

Число e иррационально:

Доказательство(от противного): Пусть e=m/n, mZ, nN

m/n = e = yN + /(n*n!)

m*(n-1)!= yN*n! + /n, где (m*(n-1)! & yN*n!)Z, (/n)Z => противоречие


23. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.

Определение по Коши: f(x) сходится к числу А при хх0 если Е>0 >0: 0<|х-х0|< & хDf => |f(x)-А|<Е

Определение по Гейне: f(x) сходится к числу А при хх0 если последовательности хNх0, хNх0 f(xN)А

Теорема: Два определения эквивалентны:

Д-во: Для эквивалентности определений достаточно доказать, что из сходимости по Коши следует сходимость по Гейне и из сходимости по Гейне следует сходимость по Коши.

1) (К)=>(Г)

Е>0 >0: 0<|х-х0|< & хDf => |f(x)-А|<Е - определение Коши

хNх0, хNх0, т.к. хNх0 => n0: n>n0 0<|xN-x0|<Е (Е=) => 0<|xN-x0|< => по определению Коши |f(xN)-А|<Е

2) (Г)=>(К) Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует отрицание А, то из А следует В:

Таким образом нам надо доказать что из отрицания (К) => отрицание (Г)

Отрицание (К): Е>0:  >0 x: 0<|x-x0|< => |f(x)-A|E

Отрицание (Г): хNх0, хNх0: |f(xN)-A|E

 хNх0, хNх0 => n0: n>n0 0<|xN-x0|<Е (Е=) => по отрицанию определения Коши |f(xN)-А|Е

Для ф-ции хf(х) определенной на интервале (а,+), определяется предел при хN следующим образом: limf(х) при хN = Limf(1/t) t+0

(если последний существует). Таким же образом определяются Lim f(х) при хN = Lim f(1/t) t0 и хN = lim f(1/t) t0


24. Односторонние пределы. Классификация разрывов. Определение непрерывности.

Lim(х0|h|) при h0 - называется односторонним правым (левым пределом) ф-ции f(x) в точке х0

Теорема: Пусть интервал (x0-,x0+){x0} принадлежит области определения ф-ции для некоторго >0. Тогда Lim f(x) в точке х0 существует <=> когда cуществуют правый и левый предел f(x) в точке х0 и они равны между собой.

Необходимость: Пусть предел f(х) существует и равен А => Е>0 >0: -<х-х0< => |f(х)-А|<Е, т.е. такое, что как только х попадает в -окрестность точки x0 сразу f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А). Если х попадает в интервал (0, x0+) => x попадает в интервал (x0-,x0+) => f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел существует и он равен А. Если х попадает в интервал (x0-,0) => x попадает в интервал (x0-,x0+) => f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) => левый предел существует и он равен А.

Достаточность: Lim (х0|h|) при h0: Lim(х0+|h|) = Lim(х0-|h|)=А

Е>0 ’ >0: 0<х-х0<’ => |f(х)-А|<Е

Е>0 ” >0: -”<х-х0<0 => |f(х)-А|<Е

Получили Е>0 0<=min{’,”}: - <х-хо< => |f(х)-А|<Е

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 если при хх0 Lim f(х)=f(х0). Заменяя в определениях предела фнкции по Коши и по Гейне А на f(х0) получаем определения по Коши и по Гейне непрерывности ф-ции f(x) в точке х0. Поскольку в опр-нии по Коши нер-во |f(х)-f(х0)|<Е выполнено и при х=х0 => в определении можно снять ограничение хх0 => получим второе равносильное определение:

Определение 2: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если Е>0 >0: - <х-хо< => |f(х)-f(а)|<Е

Аналогично сняв ограничение хх0 - получим определение по Гейне:

Определение 3: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если посл-ти хNх0, f(xN)f(a)

Если при хх0 limf(х)f(х0), то говорят что функция f(x) имеет разрыв в точке х0. Это происходит если:

а) f(х) неопределена в точке х0

б) Предел f(х) в точке х0 не существует

в) f(х) определена в х0 и limf(х) в точке х0 существует но равенство Дшь

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: