Математический анализ
Теорема: Если n0:n>n0 aNbNcN и Lim aN=a, Lim cN=c, причем a=c, то Lim bN=b => a=b=c.
Доказательство: Возьмем произвольно Е>0, тогда n’: n>n’ => cN<(a+E) & n”: n>n” => (a-E)N. При n>max{n0,n’,n”} (a-E)NbNcN<(a+E), т.е. n>max{n0,n’,n”}=>bN(a-E,a+E)
9. Предел монотонной последовательности
Определение:
Последовательность
называется
монотонно
возрастающей
(убывающей)
если n1>n2
(n1
Замечание: Если xN1 строго больше (меньше) xN2, тогда посл-ть называется строго монотонно возрастающая (убывающая) в случае нестрогости неравенства последовательность называется нестрого возрастающей (убывающей).
Теорема: Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.
Доказательство: Пусть хN ограниченная монотонно возрастающая последовательность. Х={xN: nN}
По теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества имеем: SupX=x, Е>0 xE: (х-Е)<хE => n0 xNo>(х-E). Из монотон ности имеем: n>n0 xNxNo>(x-E), получили xNx=SupX, значит n>n0 xN(x-E,х]<(x-E,x+E)
10.Лемма о вложенных промежутках
Определение:
Пусть а,bR
и а 1)
Mножество хR:
ахb
(а<х
2)
Mножество хR:
ахb)
- открытый справа
(слева) промежуток
3)
Mножество хR:
а<х & x
4)
Mножество хR:
ах
& хb
- числовой луч 5)
Mножество хR
- числовая прямая Определение:
Число b и а (если
они существуют)
называются
правым и левым
концами отрезка
(далее промежутка),
и его длина
равна b-a Лемма:
Пусть aN
монотонно
возрастает,
bN монотонно
убывает, n
aNbN
и (bN-aN)-бм,
тогда !
с: n
c[aN,bN]
(с[aN,bN]) Доказательство: aNbNb1
aN монтонно
возрастает
& aNb1
=> Lim
aN=a a1aNbN
bN монтонно
убывает & a1bN
=>
Lim bN=b aNa
bbN
aNbN
=> ab Lim
(bN-aN)=b-a=0(по
условию)=>a=b Пусть
c=a=b, тогда aNcbN Пусть
с не единственное:
aNc’bN,
с’с aNcbN=>-bN-c-aN
=> aN-bNc’-cbN-aN
=> (По теореме
о предельном
переходе) =>
Lim(aN-bN)Lim(c’-c)Lim(bN-aN)
=> (a-b)Lim(c`-c)b-a)
=>
0lim(c`-c)0
=> 0(c`-c)0
=> c’=c => c - единственное. Перефразировка
Леммы: Пусть
имеется бесконечнаz
посл-ть вложенных
друг в друга
промежутков
(промежуток
1 вложен в промежуток
2 если все точки
промежутка
1 принадлежат
промежутку
2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так что
каждый последующий
содержится
в предыдущем,
причем длины
этих промежутков
стремятся к
0 при n
lim(bN-aN)=0,
тогда концы
промежутков
aN и bN
стремятся к
общему пределу
с (с разных сторон). 42.Локальный
экстремум.
Теорема Ферма
и ее приложение
к нахождению
наибольших
и наименьших
значений. Определение:
Пусть задан
промежуток
I=(a;b), точка x0a;bТочка
x0, называется
точкой локалниого
min(max), если для всех
xa;bвыполняется f(x0) Лемма:
Пусть функция
f(x) имеет конечную
производную
в точке x0.
Если эта производная
f‘(x0)>0(f‘(x0)<0),
то для значений
х, достаточно
близких к x0
справа, будет
f(x)>f(x0)
(f(x) Доказательство:
По определению
производной,. Если
f‘(x0)>0,
то найдется
такая окрестность
(x0-,x0+)
точки x0,
в которой (при
хx0)
(f(x)-f(x0))/(x-x0)>0.
Пусть x0 Теорема
Ферма: Пусть
функция f(x) определена
в некотором
промежутке
I=(a;b) и во внутренней
точке x0
этого промежутка
принимает
наибольшее
(наименьшее)
значение. Если
функция f(x)
дифференцируема
в точке x0,
то необходимо
f‘(x0)=0. Доказательство:
Пусть для
определенности
f(x) принимает
наибольшее
значение в
точке x0.
Предположение,
что f‘(x0)0,
приводит к
противоречию:
либо f‘(x0)>0,
и тогда (по лемме)
f(x)>f(x0),
если x>x0
и достаточно
близко к x0,
либо f‘(x0)<0 , и тогда f(x)>f(x0),
если x Следствие:
Если существует
наибольшее
(наименьшее)
значение функции
на [a;b] то оно
достигается
либо на концах
промежутка,
либо в точках,
где производной
нет, либо она
равна нулю. 43.Теоремы
Ролля, Лагранжа,
Коши (о среднем
значении). Теорема
Ролля
Пусть
1) f(x) определена
и непрерывна
в замкнутом
промежутке
[a;b]
2) сущестует
конечная производная
f’(x), по крайней
мере в отткрытом
промежутке
(a;b)
3) на концах
промежутка
функция принимает
равные значения:
f(a)=f(b)
Тогда
между a и
b найдется
такая точка
c(a Доказательство:
f(x) непрерывна
в замкнутом
промежутке
[a;b] и потому, по
второй теореме
Вейерштрасса
(Если f(x), определена
и непрерывна
в замкну том
промежутке
[a;b], то она достигает
в этом промежутке
своих точных
верхней и нижней
границ), принимает
в этом промежутке
как свое наибольшее
значение M, так
и свое наименьшее
значение m. Рассмотрим
два случая: 1)
M=m. Тогда f(x) в промежутке
[a;b] сохраняет
постоянное
значение:
неравенство
mf(x)M
в этом случае
x
дает f(x)=M => f’(x)=0 во
всем промежутке,
так что в качестве
с можно
взять любую
точку из (a;b). 2)
M>m. По второй
теореме Вейерштрасса
оба эти значения
функцией
достигаются,
но, так как
f(a)=f(b), то хоть одно
из них достигается
в некоторой
точ ке с
между a и
b. В таком
случае из теоремы
Ферма (Пусть
функция f(x) определена
в некотором
промежутке
I=(a;b) и во внутренней
точке x0
этого промежутка
принимает
наибольшее
(наименьшее)
значение. Если
функция f(x)
дифференцируема
в точке x0,
то необходимо
f‘(x0)=0)
следует, что
произ водная
f’(с) в этой точке
обращается
в нуль. Теорема
Коши: Пусть
1) f(x) и g(x) непрерывны
в замкнутом
промежутке
[a;b] & g(b)g(a)
2) сущестуют
конечные производные
f’(x) и g’(x), по крайней
мере в отткрытом
промежутке
(a;b)
3) g’(x)в
отткрытом
промежутке
(a;b) Тогда
между a и
b найдется
такая точка
c(a Доказательство:
Рассмотрим
вспомогательную
функцию h(x)=[f(x) - f(a)
-*(g(x)
- g(a))]
Эта
функция удовлетворяет
всем условиям
теоремы Ролля:
1)
h(x) непрерывна
на [a;b], как комбинация
непрерывных
функций
2)
сущестует
конечная производная
h’(x) в (a;b), которая
равна h’(x)=f’(x) -*g’(x) 3)
прямой подстановкой
убеждаемся
h(a)=h(b)=0 Вследствие
этого в промежутке
(a;b) существует
такая точка
с, что
h’(x)=0 => f’(c) -*g’(c)
или f’(c) =*g’(c). Разделив
обе части равенства
на g’(x) (g’(x)0)
получаем требуемое
равенство. Теорема
Лагранжа: Пусть
1) f(x) определена
и непрерывна
в замкнутом
промежутке
[a;b]
2) сущестует
конечная производная
f’(x), по крайней
мере в отткрытом
промежутке
(a;b) Тогда
между a и
b найдется
такая точка
c(a Доказательство:
По теореме
Коши, полагая
g(x)=x, имеем:
Промежуточное
значение с
удобно записывать
в виде с=а+b-a,
где (0;1).
Тогда принимая
x0=a, (b-a)=h, мы
получаем следующее
следствие:
Следствие:
Пусть f(x)
дифференцируема
в интервале
I=(a;b), x0
x0+hтогда
0;1f(x0+h)-f(x0)=f’(x0+h)*h
([x0;x0+h]
h>0, [x0+h;x0]
h<0) 11.
Подпоследовательности.
Теорема
Больцано-Вейерштрасса. Определение:
Пусть аN
некоторая
числовая посл-ть
и kN-строго
возрастающая
посл-ть N чисел.
В результате
композиции
ф-ций naN
и nkN
получа ем посл-ть
aKn-которая
наз. подпосл-тью
посл-ти aN=>подпосл-сть
- это либо сама
посл-ть либо
исходная посл-ть,
из которой
выбросили
часть членов. Теорема:
Если Lim аN=а,
то и Lim аKn=а. Доказательство:
Вне любой
Е-окрестности
точки а
лежит конечное
число членов
последовательности
аn и в частности
последовательности. Доказательство:
Пусть для заданного
Е нашлось n0:
n>n0
|аN-а|<Е,
ввиду того что
kNсуществует
и такое n’, что
при всех n>n’
kN>n0
тогда при тех
же значениях
n будет верно
|аKn-а|<Е Теорема
Больцано-Вейерштрасса:
Из всякой
ограниченной
последовательности
можно выделить
сходящуюся
подпоследовательность. Доказательство:
хN -
ограничена
=> n:
ахNb.
Поделим промежуток
[a,b] пополам, хотя
бы в одной его
половине содержится
бесконечное
множество
членов посл-ти
хN (в
противном
случае и во
всем промежутке
содержится
конечное число
членов посл-ти,
что невозможно).
Пусть [а1,b1]
- та половиа,
которая содержит
бесконечное
число членов
посл-ти. Аналогично
выделим на
промежутке
[а1,b1]
промежуток
[а2,b2]
также содержащий
бесконечное
число членов
посл-ти хN.
Продолжая
процесс до
бесконечности
на к-том
шаге выделим
промежуток
[аK,bK]-также
содержащий
содержащий
бесконеч ное
число членов
посл-ти хN.
Длина к-того
промежутка
равна bK-аK
= (b-a)/2K, кроме
того она стремится
к 0 при к
и аKаK+1
& bKbK+1.
Отсюда по лемме
о вложенных
промежутках
!
с: n
аNcbN. Теперь
построим
подпоследовательность: хN1
[а1,b1] хN2
[а2,b2]
n2>n1 .
. . хNK[аK,bK]
nK>nK-1 ахNkb.
(Lim aK=LimbK=c
из леммы о вложенных
промежутках) Отсюда
по лемме о зажатой
последовательности
Lim хNk=c -
ч.т.д. 12.Верхний
и нижний пределы
последовательности. xN
- ограниченная
последовательность
=>n
аNхNbN хNKх,
так как
хNK-подпоследовательность
=> n
ахNb
=>ахb х
- частичный
предел последовательности
хN Пусть
М - множество
всех частичных
пределов. Множество
М ограничено
(аМb)
=>
SupM &
InfM
Верхним
пределом посл-ти
xN называют
SupMSup{xN}:
пишут Lim xN Нижним
предел ом посл-ти
xn называют
InfMnf{xN}:
пишут lim
xN Cуществование
нижнего и верхнего
пределов вытекает
из определения. Достижимость: Теорема:
Если хN
ограничена
сверху (снизу),
то
подпосл-ть
хNK: предел
которой равен
верхнему (нижнему)
пределу хN. Доказательство:
Пусть х=SupM=верхний
предел хN
х’М:
х-1/к<х’ (следует
из того что х
- SupМ), т.к. х’М
=>
подпоследовательность
хNSх’
=> Е>0
(в частности
Е=1/к)
s0: s>s0
=>
х’-1/к<хNS<х’+1/к х
-1/к-1/к<х’-1/к<хNS<х’+1/к<х+1/к
(т.к.х-1/к<х’ и
х’<х=SupМ) х-2/к<хNS<х+1/к Берем
к=1: х-2<хNS<х+1,
т.е
s0: s>s0
это неравенство
выполняется
берем член
посл-ти хNS
с номером больше
s0 и
нумеруем его
хN1 k=1:
х-2/1<хN1<х+1/1 k=2:
х-2/2<хN2<х+1/2
n1
... k=k:
х-2/к<хNK<х+1/к
nK-1 При
к
хNKх 13.Фундаментальные
последовательности. Определение:
Последовательность
{аN} -
называется
фундаментальной,
если Е>0
n0: n>n0
и любого рN
выполнено
неравенство
|аN+р-аN|<Е.
Геометрически
это означает
что Е>0
n0, такой
что расстояние
между любыми
двумя членами
посл-ти, с большими
чем n0
номерами, меньше
Е. Критерий
Коши сходимости
посл-ти:
Для того, чтобы
данная посл-ть
сходилась
необходимо
и достаточно,
чтобы она являлась
фундаментальной. Доказательство: Необходимость:
Пусть Lim xN=x,
тогда Е>0
n0: n>n0
|хN-х|<Е/2.
n>n0, n’>n0
|хN-хN’|=|хN-х+х-хN’|<|хN-х|+|х-хN’|<Е/2+Е/2<Е Достаточность:
Пусть хN
- фундаментальная 1)
Докажем что
хN
ограничена:
Е1=1998
n0: |хN-хN’|<Е,
n>n0, n’>n0 n>n0
|хN-хN0|<Е1
х
N0-1998<хN<х
N0+1998 => хN
- ограничена 2)
По теореме
Больцано-Вейерштрасса
подпосл-ть
хNKх.
Можно выбрать
к настолько
большим, чтобы
|хNK-х|<Е/2
и одновременно
nк>n0.
Следовательно
(из фунд-ти)
|хN-хNK|<Е/2
=> |хNK-х|<Е/2
=> х-Е/2<хNK<х+Е/2
=> |хN-хNK|<Е/2
=> хNK-Е/2<хN<хNK+Е/2
=> х-Е<хN<х+Е
=> |хN-х|<Е 14.Бином
Ньютона для
натурального
показателя.Треугольник
Паскаля. Формула
Ньютона для
бинома:
n
Разложение
Паскаля
(Записав
коэффициенты
в виде пирамиды
- получим треугольник
Паскаля)
...
*:
к=0,1,...,n Доказательство(по
индукции): 1)
n=0 - верно (1+х)0=1
=>(1+х)0
= 2)
Пусть верно
для n: докажем
что это верно
и для n+1: =
Ч.т.д 16.Последовательности
(во всех пределах
n) 1)
Lim=
0 (p>0)
- это означает
что, мы нашли
такое n0=:
n>n0
|| 2)
Lim=1 xN=
- 1 =1+xN n=(1+xN)n n= xN2<2/(n-1) При
n
0
=> xN0
(Лемма о зажатой
последовательности)=>Lim=Lim
(1+xN)=1+0=1 16.Последовательность
(1+1/n)n
и ее предел. xN=;
yN=;
zN=yN
+ xN
монотонно
возрастает:
докажем: xN=(1+1/n)n=1+
n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n2
+... < 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = yN =>
yN Воспользуемся
неравенством
Бернулли
(1+x)n1+nx,
x>-1) (доказывается
по индукции): x=1/n
=> (1+1/n)n1+n/n=2 Получили:
2
xN<3 => xN
- ограничена,
учитывая что
xN - монотонно
возрастает
=> xN -
сходится и ее
пределом является
число е. 17.
Последовательности
(во
всех пределах
n) 1)
Lim=1,
a>0 a)
a1: xN=xN+1==>
Lim xN=x xN+1=xN
* xN=xN+1
* xN=xN+1*xN*(n+1) Lim
xN=Lim
(xN+1*xN*(n+1))
=> x = x*x => x = 1 б)
0N= Lim=1
b=1/a =>=
1/=>
Lim=
1/1 = 1 2)
Lim
=
0, a>1 xN=xN+1= т.к.
Lim=
Lim=Lim=1 =>
n0:
n>n0
xn+1/xn<1 => СТ x=limxn xN+1=xN* Lim
xN+1 = Lim xN*
=> x = x*1/a => x=0 Докажем,
что если xN1
=> (xN)1: a)
n:
xN1
и 0 (xN)
[](xN)<(xN)[]+1
=> по лемме
о зажатой посл-ти,
учитывая что
Lim (xN)[]=Lim
(xN)[]+1=1
(по теореме о
Lim произведения)
получаем Lim
(xN)=1 б)
n:
0 yN=1/xN
=> yn>1 Lim yN=lim1/xN=1/1=1
=> (по (а)) Lim (yN)
=1 => lim 1/(xN)=1
=> Lim (xN)
=1 Объединим
(а) и (б): xN1
>0 xN1,xN2,...>1
(1) xM1,xM2,...<1
(2) Вне
любой окрестности
точки 1 лежит
конечное число
точек (1) и конечное
число точек
(2) => конечное
число точек
xN. в)
<0 (xN)
=1/(xN)
<0 => ->0
=> по доказанному
для >0
получаем, Lim
1/(xN)
= 1 => Lim (xN) 15.
Доказательство
формулы e=... yN=;
zN=yN
+ 1)
yN монотонно
растет 2)
yN 3)
zN-yN0 4)
zN монотонно
убывает Доказателство: zN-zN+1
= yN +
- yN+1 -=
+-= 2=y1 e
= Lim yN =
Lim zN - по
лемме о вложенных
промежутках
имеем: yN<e Если
через
обозначить
отношение
разности e
- yN к
числу 1/(n*n!), то можно
записать e
- yN =/(n*n!),
заменяя yN
его развернутым
выражением
получаем e
= yN + /(n*n!),
(0,1) Число
e иррационально: Доказательство(от
противного):
Пусть e=m/n,
mZ,
nN m/n
= e = yN
+ /(n*n!) m*(n-1)!=
yN*n! + /n,
где (m*(n-1)! & yN*n!)Z,
(/n)Z
=> противоречие 23.
Определения
предела функции
по Коши и по
Гейне. Их эквивалентность. Определение
по Коши:
f(x) сходится к
числу А при
хх0
если Е>0
>0:
0<|х-х0|<
& хDf
=> |f(x)-А|<Е Определение
по Гейне:
f(x) сходится к
числу А при
хх0
если
последовательности
хNх0,
хNх0
f(xN)А Теорема:
Два определения
эквивалентны: Д-во:
Для эквивалентности
определений
достаточно
доказать, что
из сходимости
по Коши следует
сходимость
по Гейне и из
сходимости
по Гейне следует
сходимость
по Коши. 1)
(К)=>(Г) Е>0
>0:
0<|х-х0|<
& хDf
=> |f(x)-А|<Е - определение
Коши хNх0,
хNх0,
т.к. хNх0
=>
n0: n>n0
0<|xN-x0|<Е
(Е=)
=> 0<|xN-x0|<
=> по определению
Коши |f(xN)-А|<Е 2)
(Г)=>(К) Воспользуемся
законом логики:
Если из отрицания
B следует отрицание
А, то из А следует
В: Таким
образом нам
надо доказать
что из отрицания
(К) => отрицание
(Г) Отрицание
(К):
Е>0:
>0 x:
0<|x-x0|<
=> |f(x)-A|E Отрицание
(Г):
хNх0,
хNх0:
|f(xN)-A|E
хNх0,
хNх0
=>
n0: n>n0
0<|xN-x0|<Е
(Е=)
=> по отрицанию
определения
Коши |f(xN)-А|Е Для
ф-ции хf(х)
определенной
на интервале
(а,+),
определяется
предел при
хN
следующим
образом: limf(х) при
хN
= Limf(1/t) t+0 (если
последний
существует).
Таким же образом
определяются
Lim f(х) при хN
= Lim f(1/t) t0
и хN
= lim f(1/t) t0 24.
Односторонние
пределы. Классификация
разрывов.
Определение
непрерывности. Lim(х0|h|)
при h0
- называется
односторонним
правым (левым
пределом) ф-ции
f(x) в точке х0 Теорема:
Пусть интервал
(x0-,x0+){x0}
принадлежит
области определения
ф-ции для некоторго
>0.
Тогда Lim f(x) в точке
х0
существует
<=> когда cуществуют
правый и левый
предел f(x) в точке
х0 и
они равны между
собой. Необходимость:
Пусть предел
f(х) существует
и равен А => Е>0
>0: -<х-х0<
=> |f(х)-А|<Е, т.е.
такое,
что как только
х попадает в
-окрестность
точки x0
сразу f(х) попадает
в интервал
(f(х)-А,f(х)+А). Если
х попадает в
интервал (0, x0+)
=> x попадает в
интервал (x0-,x0+)
=> f(х) попадает
в интервал
(f(х)-А,f(х)+А) => правый
предел существует
и он равен А.
Если х попадает
в интервал
(x0-,0)
=> x попадает в
интервал (x0-,x0+)
=> f(х) попадает
в интер вал
(f(х)-А,f(х)+А) => левый
предел существует
и он равен А. Достаточность:
Lim (х0|h|)
при h0:
Lim(х0+|h|)
= Lim(х0-|h|)=А Е>0
’
>0: 0<х-х0<’
=> |f(х)-А|<Е Е>0
”
>0: -”<х-х0<0 => |f(х)-А|<Е Получили
Е>0
0<=min{’,”}:
-
<х-хо<
=> |f(х)-А|<Е Определение:
Функция f(x) называется
непрерывной
в точке х0
если при хх0
Lim f(х)=f(х0).
Заменяя в
определениях
предела фнкции
по Коши и по
Гейне А на f(х0)
получаем определения
по Коши и по
Гейне непрерывности
ф-ции f(x) в точке
х0. Поскольку
в опр-нии по
Коши нер-во
|f(х)-f(х0)|<Е
выполнено и
при х=х0 =>
в определении
можно снять
ограничение
хх0
=> получим второе
равносильное
определение: Определение
2: Функция
f(x) называется
непрерывной
в точке х0,
если Е>0
>0:
-
<х-хо<
=> |f(х)-f(а)|<Е Аналогично
сняв ограничение
хх0
- получим определение
по Гейне: Определение
3: Функция
f(x) называется
непрерывной
в точке х0,
если
посл-ти хNх0,
f(xN)f(a) Если
при хх0
limf(х)f(х0),
то говорят что
функция f(x) имеет
разрыв в точке
х0. Это
происходит
если:
а)
f(х) неопределена
в точке х0
б)
Предел f(х) в точке
х0 не
существует в)
f(х) определена
в х0
и limf(х) в точке х0
существует
но равенство
Дшь