Xreferat.com » Рефераты по математике » Призма и параллелепипед

Призма и параллелепипед

Содержание


Понятие призмы и виды призм

Понятие параллелепипеда

Свойства параллелепипеда

Дополнительные соотношения между элементами призмы

Задачи

Тесты

Глоссарий

Литература


Понятие призмы и виды призм


Рассмотрим два равных многоугольника Призма и параллелепипед и Призма и параллелепипед, расположенных в параллельных плоскостях Призма и параллелепипед и Призма и параллелепипед так, чтобы отрезки Призма и параллелепипед, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1).


Призма и параллелепипедПризма и параллелепипед


Каждый из n четырехугольников


Призма и параллелепипедПризма и параллелепипед…, Призма и параллелепипед (1)


является параллелограммом, так как имеет попарно параллельные противоположные стороны.

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников Призма и параллелепипед и Призма и параллелепипед, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов (1), называется призмой.

Многоугольники Призма и параллелепипед и Призма и параллелепипед называются основаниями, а параллелограммы (1) – боковыми гранями призмы. Отрезки Призма и параллелепипед называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов (1), следовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призму с основаниями Призма и параллелепипед и Призма и параллелепипед называют n – угольной призмой. На рисунке 2 изображены треугольная и шестиугольная призмы.


Призма и параллелепипедПризма и параллелепипед


Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники. На рисунке 2 изображена правильная шестиугольная призма. [1, 62]


Понятие параллелепипеда


Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани – параллелограммы.

На рисунке 3 изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 4 – прямой параллелепипед.


Призма и параллелепипед

Призма и параллелепипедПризма и параллелепипед


Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. [4, 301]

Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называется прямым параллелепипедом. У него все боковые грани прямоугольники, а основания параллелограммы. Если все грани параллелепипеда – прямоугольники, то его называют прямоугольным параллелепипедом. Длины трех его ребер, которые выходят из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны, называется кубом. Соотношение между различными видами параллелепипеда приведено в схеме: [2, 115]

Призма и параллелепипед

Призма и параллелепипедПризма и параллелепипедПризма и параллелепипед

Призма и параллелепипедПризма и параллелепипед

Призма и параллелепипедПризма и параллелепипед

Призма и параллелепипедПризма и параллелепипед

Призма и параллелепипедПризма и параллелепипед

Призма и параллелепипедПризма и параллелепипед

Призма и параллелепипедПризма и параллелепипедПризма и параллелепипед


Свойства параллелепипеда


Теорема:

У параллелепипеда:

1) противолежащие грани равны и параллельны;

2) все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Доказательство:

1) Рассмотрим какие-нибудь две противоположные грани параллелепипеда, например, Призма и параллелепипед и Призма и параллелепипед (рис. 5).


Призма и параллелепипед

Призма и параллелепипед


Поскольку все грани параллелепипеда – параллелограммы, то прямая AD параллельна прямой ВС, а прямая Призма и параллелепипед параллельна прямой Призма и параллелепипед. Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.

Из того, что грани параллелепипеда – параллелограммы, следует, что АВ, Призма и параллелепипед, CD и Призма и параллелепипедПризма и параллелепипед параллельны и равны. Отсюда сделаем вывод, что грань Призма и параллелепипед совмещается параллельным переносом вдоль ребра АВ с гранью Призма и параллелепипед. Следовательно, эти грани равны.

2) Возьмем две диагонали параллелепипеда (рис. 5), например, Призма и параллелепипед и Призма и параллелепипед, и проведем дополнительные прямые Призма и параллелепипед и Призма и параллелепипед. АВ и Призма и параллелепипед соответственно равны и параллельны ребру DC, поэтому они равны и параллельны между собою; вследствии этого фигура Призма и параллелепипед есть параллелограмм, в котором прямые Призма и параллелепипед и Призма и параллелепипед – диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам. Аналогично мы можем доказать, что две другие диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Точка пересечения каждой пары диагоналей лежит в середине диагонали Призма и параллелепипед. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам. Таким образом, точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии. [3, 21]

Теорема:

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Доказательство:

Это выплывает из пространственной теоремы Пифагора. Если Призма и параллелепипед – диагональ прямоугольного параллелепипеда Призма и параллелепипед, то Призма и параллелепипед – ее проекции на три попарно перпендикулярные прямые (рис. 6). Следовательно, Призма и параллелепипед. [2, 116]


Призма и параллелепипед

Призма и параллелепипед


Замечание: в прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.


Дополнительные соотношения между элементами призмы


Если в наклонной призме боковое ребро Призма и параллелепипед образует одинаковые углы со сторонами основания, которые выходят из вершины Призма и параллелепипед, то основание О высоты Призма и параллелепипед лежит на биссектрисе угла Призма и параллелепипед (рис. 7).

Доказательство: Призма и параллелепипед


Призма и параллелепипедПризма и параллелепипед


Проведем Призма и параллелепипед Призма и параллелепипед и отрезки Призма и параллелепипед Призма и параллелепипед Согласно теореме о трех перпендикулярах, имеем Призма и параллелепипед и Призма и параллелепипед. Прямоугольные треугольники Призма и параллелепипед и Призма и параллелепипед равны, поскольку имеют общую гипотенузу Призма и параллелепипед и одинаковые углы (Призма и параллелепипед по условию). Следовательно, Призма и параллелепипед и Призма и параллелепипед, отсюда Призма и параллелепипед Таким образом, точка О равноудалена от сторон угла Призма и параллелепипед и, следовательно, лежит на биссектрисе Призма и параллелепипед угла Призма и параллелепипед. [3, 24]


Задачи


1. Ребро куба равно а.

Найдите:

Диагональ грани: d= a√2.

Диагональ куба: D= a√3.

Периметр основания: P= 4a.


Призма и параллелепипед


2. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 8см. Высота призмы равняется 12см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат.


Призма и параллелепипед


Решение

Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то есть Призма и параллелепипед, где Призма и параллелепипед- площадь основания призмы, Призма и параллелепипед- площадь боковой поверхности, содержащей основание, Призма и параллелепипед- площадь боковой поверхности, содержащей стороны равнобедренного треугольника. (Они равны, так как стороны основания равны в следствие того, что треугольник равнобедренный, а вторые стороны равны высоте призмы)

Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см. (основание треугольника одновременно является стороной грани).

Таким образом, зная высоту и основание равнобедренного треугольника можно найти его остальные стороны и площадь:

Призма и параллелепипед

Катеты, соответственно равны (у нас высота, являющаяся в равнобедренном треугольнике одновременно и медианой Призма и параллелепипед, с каждым из катетов образует прямоугольный треугольник) по теореме Пифагора:

Призма и параллелепипед

Таким образом:

Призма и параллелепипед, Призма и параллелепипед

Призма и параллелепипед

3. В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 Призма и параллелепипед, а высота 14 см. Найти диагональ призмы.

Решение

Правильный четырехугольник – это квадрат.

Соответственно, сторона основания будет равна Призма и параллелепипед

Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна Призма и параллелепипед

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна: Призма и параллелепипед

Ответ: 22 см

4. Рассмотрим правильную четырехугольную призму Призма и параллелепипед, диагональное сечение которой – квадрат. Через вершину Призма и параллелепипед и середины ребер АВ и ВС проведена плоскость. Найти площадь полученного сечения, если Призма и параллелепипед

Решение


Призма и параллелепипед


Построение сечения видно на рисунке, где К и L – середины сторон АВ и ВС основания призмы, Е и F – точки пересечения прямой КL соответственно с продолжениями сторон DA и DC. Сечением является пятиугольник Призма и параллелепипед площадь которого можно найти. Можносначала вычислить площади треугольников Призма и параллелепипед и Призма и параллелепипед а потом от площади первого треугольника вычесть удвоенную площадь второго (поскольку треугольники Призма и параллелепипед и Призма и параллелепипед равны). Однако в данном случае проще воспользоваться формулой:


Призма и параллелепипед


Проекция пятиугольника Призма и параллелепипед на плоскость основания призмы есть пятиугольник Призма и параллелепипед, площадь которого найдем, вычитая из площади квадрата Призма и параллелепипед площадь треугольника ВКL:

Призма и параллелепипед

Пусть диагональ ВD основания пересекает отрезок КL в точке О. Так как Призма и параллелепипед и Призма и параллелепипед (согласно теореме о трех перпендикулярах), то Призма и параллелепипед – линейный угол двугранного угла КL.

Далее находим:


Призма и параллелепипед Призма и параллелепипед


Из прямоугольного треугольника Призма и параллелепипед по теореме Пифагора имеем:


Призма и параллелепипед


Значит, Призма и параллелепипед и Призма и параллелепипед


5. Дана правильная призма: Призма и параллелепипед, Призма и параллелепипед. Найти высоту призмы.

Решение


Призма и параллелепипед


Площадь основания Призма и параллелепипед

АВ= 2 см.

Периметр основания Р = 8 см.

Высота призмы Призма и параллелепипед

6. Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b от этого основания. Сторона основания равна a . Найдите полную поверхность параллелепипеда.

Решение

Пусть Призма и параллелепипед – данный параллелепипед с основаниями Призма и параллелепипед, Призма и параллелепипед и боковыми рёбрами Призма и параллелепипед, причём ABCD – квадрат со стороной a , вершина Призма и параллелепипед равноудалена от вершин A, B, C и D, а расстояние от вершины Призма и параллелепипед до плоскости основания ABCD равно b. Поскольку точка Призма и параллелепипед равноудалена от вершин квадрата ABCD, она лежит на перпендикуляре к плоскости ABCD, проходящем через центр O квадрата. Перпендикуляр, опущенный из точки O на сторону BC, проходит через её середину M. По теореме о трёх перпендикулярах Призма и параллелепипед, поэтому Призма и параллелепипед – высота грани Призма и параллелепипед. Из прямоугольного треугольника Призма и параллелепипед находим, что


Призма и параллелепипед.


Значит,


Призма и параллелепипед


Аналогично,

Призма и параллелепипед


Если S – полная поверхность параллелепипеда Призма и параллелепипед, то


Призма и параллелепипед.


7. Докажите, что если сечение параллелепипеда плоскостью является многоугольником с числом сторон, большим трёх, то у этого многоугольника есть параллельные стороны.

Доказательство

У параллелепипеда 3 пары параллельных граней. Если плоскость пересекает более трёх граней, то по крайней мере две стороны многоугольника сечения лежат в

Похожие рефераты: