Xreferat.com » Рефераты по математике » Разбиение натурального ряда

Разбиение натурального ряда

Размещено на /

Отдел образования администрации Центрального района

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 4

Секция математика


НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА


По теме

Разбиение натурального ряда


Сорока Александра Александровна

Василькова Евгения Сергеевна

Учащихся 11 В класса МОУ СОШ №4

Центрального района

8-905-958-2583

8-913-954-3357

Руководитель: Тропина Наталья

Валерьяновна,

Кандидат педагогических наук

доцент кафедры математического анализа

НГПУ

(работа выполнена в МОУ СОШ №4)


Новосибирск 2008г.

Содержание


Введение

§1. Основные понятия и определения

§2. Две последовательности. Их свойства

§3. Упражнения

§4. Геометрическая интерпретация

§5. Некоторые приложения (Палиндромы)

Заключение

Список литературы

рациональный иррациональный число

ВВЕДЕНИЕ


Целью данной работы является изучение вопроса о разбиениях натурального ряда на две непересекающиеся возрастающие последовательности.

Работа состоит из пяти параграфов:

Первый параграф посвящен понятиям и определениям, которые пригодятся нам в работе.

Во втором параграфе идет речь о построении двух последовательностей и о гипотезе Акулича.

В третьем параграфе приведены упражнения.

Четвертый параграф посвящен геометрической интерпретации построения последовательностей.

В пятом параграфе приведены некоторые приложения.


§1 Основные понятия и определения


Целая и дробная части числа

Определение 1. Целой частью числа x называется наибольшее целое число r, не превышающее x.

Целая часть числа x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier "антье" — целый).

Если x принадлежит промежутку


[r; r +1),


где r — целое число, то [x]=r, т.е. x находится на промежутке [ [x]; [x]+1). По свойствам числовых неравенств, разность x-[x] будет на промежутке [0; 1).

Определение 2. Число q = x - [x] называют дробной частью числа x и обозначают {x}. Следовательно, дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, тогда как целая часть числа может принимать как положительные значения, так и неположительные. Таким образом {x} = x - [x], а, следовательно, x = [x] + {x}.


Примеры

[5]=5 [7,2]=7 [-3]=-3 [-4,2]=-5 [0]=0
{5}=0 {7,2}=0,2 {-3}=0 {-4,2}=0,8 {0}=

Свойство целой части


[x+n] = [x]+n


где n – натуральное число


Рациональные и иррациональные числа и их свойства

Определение 3.Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде дроби


Разбиение натурального ряда


где m – целое число, а n – натуральное.

Определение 4. Если число не представимо в виде Разбиение натурального ряда, то такое число называется иррациональным.

Теорема 1. Любое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической дроби.

Любое иррациональное число представимо в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

Примеры


0,5=Разбиение натурального ряда-рациональное число

0,(3)= Разбиение натурального ряда- рациональное число

1,0123456789101112…-иррациональное число

Разбиение натурального ряда- иррациональное число


Свойства арифметических действий над рациональными и иррациональными числами

1. Если Разбиение натурального ряда- рациональные числа, то Разбиение натурального ряда, Разбиение натурального ряда, Разбиение натурального ряда, Разбиение натурального ряда,Разбиение натурального ряда - рациональные числа.

Дано: Доказательство


Разбиение натурального ряда ; Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда - рациональное

2. Если r-рациональное число, Разбиение натурального ряда-иррациональное число, то


Разбиение натурального ряда - иррациональные числа.


Доказательство: (от противного)

Предположим что


Разбиение натурального рядано Разбиение натурального ряда- противоречие

3. Если Разбиение натурального ряда,то про Разбиение натурального ряда ничего определенного нельзя сказать.


Примеры


Разбиение натурального ряда


§2 Две последовательности. Их свойства


В этом параграфе речь пойдет о задачах, посвященных разбиению натурального ряда на последовательности и о теореме, доказывающей их.

Рассмотрим один из способов разбиения натурального ряда на две возрастающие непересекающиеся последовательности


Разбиение натурального ряда и Разбиение натурального ряда


которые при любом натуральном n удовлетворяют условию Разбиение натурального ряда.

Двигаясь по натуральному ряду, можем последовательно вычислять члены обеих последовательностей.


Разбиение натурального ряда


Поскольку все Разбиение натурального ряда, то наименьшее натуральное число, т.е. 1- должно равняться Разбиение натурального ряда.

Следовательно


Разбиение натурального ряда


и так далее. Каждый раз, выбирая наименьшее неиспользованное натуральное число и считая его равным Разбиение натурального ряда, затем, находя Разбиение натурального рядапо формуле


Разбиение натурального ряда


можем строить последовательности.

В 1877 году в «Теории звука» лорд Рэлей писал: «если x есть некоторое положительное иррациональное число, меньшее единицы, то можно взять два ряда величин n/x и n/(x-1) где n = 1,2,3…; каждое число, принадлежащее к тому или иному ряду, и только оно одно, будет заключено между двумя последовательными натуральными числами”. Т.е.


Разбиение натурального ряда и Разбиение натурального ряда


заполняют без пропусков и перекрытий весь натуральный ряд, если


0<x<1 и xРазбиение натурального рядаQ

Гипотеза Акулича и явные формулы


И.Ф. Акулич предложил гипотезу: отношение количества a-чисел к количеству b-чисел стремится к «золотому сечению»


Разбиение натурального ряда


(где a-числа – числа, принадлежащие последовательности Разбиение натурального ряда, b-числа- числа, принадлежащие последовательности Разбиение натурального ряда).


Разбиение натурального ряда[(1+Разбиение натурального ряда)n/2]

Разбиение натурального ряда=[(1+Разбиение натурального ряда)n/2]+n=[(3+Разбиение натурального ряда)n/2]


Выведем из явных формул гипотезу Акулича.

Обозначим


Разбиение натурального ряда ;Разбиение натурального ряда


Рассмотрим натуральное число N и выясним сколько a-чисел и b-чисел среди первых N натуральных чисел, если последовательности заданы формулами:


Разбиение натурального рядаРазбиение натурального ряда ;Разбиение натурального ряда


Неравенства Разбиение натурального рядаравносильно, по определению целой части, неравенству Разбиение натурального ряда<N+1, т.е. неравенству n<(N+1)/Разбиение натурального ряда. Значит, a-чисел среди первых N натуральных чисел имеется ровно [(N+1)/Разбиение натурального ряда]. Аналогично, b-чисел

[(N+1)/Разбиение натурального ряда]


Тогда отношение количества a - чисел к количеству b- чисел равно


Разбиение натурального ряда

Устремим N к бесконечности, получим


Разбиение натурального ряда

Гипотеза оказалась верна, при условии что обе последовательности Разбиение натурального ряда и Разбиение натурального ряда заданы явными формулами


Разбиение натурального ряда[(1+Разбиение натурального ряда)n/2]

Разбиение натурального ряда =[(3+Разбиение натурального ряда)n/2]


Но Акулич не первый догадался представить последовательности Разбиение натурального ряда и Разбиение натурального ряда в виде [Разбиение натурального ряда] и [Разбиение натурального ряда].

Эти же явные формулы получаются из формул Рэлея при x = 2/(1+Разбиение натурального ряда), поскольку при этом величина 1-x равна как раз 2/(3+Разбиение натурального ряда), т.е.


Разбиение натурального ряда


Возникает вопрос об единственности разбиения множества N на две последовательности.

В статье Баабабова [2] доказывается теорема, обобщающая этот результат и утверждает, что таких разбиений натурального ряда существует бесконечно много. Приведем данную теорему и ее подробное доказательство.

Обозначим


Разбиение натурального ряда


Теорема.

Если Разбиение натурального ряда и Разбиение натурального ряда - положительные иррациональные числа, связанные соотношением Разбиение натурального ряда, то среди чисел вида [Разбиение натурального ряда] и [Разбиение натурального ряда] , где n Разбиение натурального ряда, каждое натуральное число встречается ровно один раз.

Доказательство:

Поскольку Разбиение натурального ряда> 1, в последовательности Разбиение натурального ряда никакое число не повторяется. Аналогично вследствие неравенства Разбиение натурального ряда>1 строго возрастает и последовательность Разбиение натурального ряда

Действительно, пусть [Разбиение натурального ряда] – k

Разбиение натурального ряда

Следовательно, Разбиение натурального ряда

Докажем теперь, что каждое натуральное число встречается ровно один раз.

Предположим, что некоторое натуральное число k вошло в обе последовательности т е k = Разбиение натурального ряда, где m,n – натуральные числа. Тогда должны быть выполнены неравенства


k<Разбиение натурального ряда< k + 1, k<Разбиение натурального ряда<k + 1,

т.е.

Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда

сложим эти неравенства, не забывая про условие


Разбиение натурального ряда


Получим


Разбиение натурального ряда

откуда k<m+n<k+1


Но такого для натуральных чисел не может быть. Значит, число k не могло войти в обе последовательности.

Теперь предположим, что k не вошло ни в одну из последовательностей. Тогда для некоторых натуральных чисел m и n должны выполняться неравенства


Разбиение натурального рядаm < k <k+1< Разбиение натурального ряда(m+1)

Разбиение натурального рядаn < k <k+1< Разбиение натурального ряда(n+1)


которые можно преобразовать к виду


Разбиение натурального ряда

складывая, получаем


Разбиение натурального ряда

откуда m+n<k и k+1<m+n+2 Разбиение натурального рядаm+n<k и m+n>k-1

Такого для натуральных чисел тоже не может быть. Получаем противоречие, следовательно, теорема доказана.

В следующем параграфе рассмотрены упражнения о разбиениях натурального ряда, при решении которых используются результаты данного параграфа.


§3. Упражнения


Упражнение 1


Пусть последовательность задана формулой


Разбиение натурального ряда.Найти Разбиение натурального ряда.

Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального рядаРазбиение натурального ряда

1 … 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального рядаРазбиение натурального ряда

49 50

Разбиение натурального ряда


Используя эту формулу, можно найти любое aРазбиение натурального ряда.


Упражнение 2.


Вычислить


n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

[(1+Разбиение натурального ряда)n/2]

1 3 4 6 8 9 11 12 14 16 17 19 21 22 24 25 27 29

[(3+Разбиение натурального ряда)n/2]

2 5 7 10 13 15 18 20 23 26 28 31 34 36 39 41 44 47

Упражнение 3


Используя формулы


Разбиение натурального ряда и Разбиение натурального ряда


постройте последовательности, которые заполняют весь натуральный ряд без пропусков и перекрытий


Разбиение натурального ряда

Разбиение натурального ряда, Разбиение натурального ряда, Разбиение натурального ряда

Разбиение натурального ряда, Разбиение натурального ряда, Разбиение натурального ряда

Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального рядаРазбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда

Разбиение натурального рядаРазбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда Разбиение натурального ряда

Похожие рефераты: