Расчет вероятностей событий
Задание №1
Какова вероятность того, что наудачу взятое натуральное число не делится:
а) ни на два, ни на три;
б) на два или на три?
Решение:
Пусть А – событие, что натуральное число делится на 2→ p(A)=1/2 (каждое второе натуральное число кратно 2)
В-событие, что натуральное число делится на 3
p(В)=1/3 (каждое третье натуральное число кратно 3)
а) С – событие, что наудачу взятое натуральное число не делится ни на два, ни на три
Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей
Тогда вероятность события С:
Т.е. пять из шести натуральных чисел не делится ни на 2 ни на 3
б) D – событие, что наудачу взятое натуральное число не делится на 2 или на 3 .
Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий
Тогда вероятность события D:
.
Т.е. одно из трех натуральных чисел не делится на 2 или на 3
Задание №2
В ружейной пирамиде имеются винтовки двух систем: одна винтовка типа 1 и две винтовки типа 2. Вероятность попасть в мишень при выстреле из винтовки типа 1 равна р1, из винтовки типа 2 – р2.
Стрелок производит 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки. Чему равна вероятность того, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз?
Решение:
А – событие, что поражена мишень
Пусть событие Н1 – винтовка I типа; событие Н2 – винтовка II типа.
и
А/Н1 – мишень поражена при выстреле из винтовки I типа
А/Н2 – мишень поражена при выстреле из винтовки II типа
Для нахождения вероятности применяют формулу
2. Рn (k) – вероятность, что в n испытаниях событие наступит k раз находится по формуле Бернулли .
Вероятность события, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз, если произведено 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки.
Задание №3
При измерении урожайности картофеля вес клубней в одном кусте распределился по интервалам следующим образом:
Х(кг) | 2,5–2,7 | 2,7–2,9 | 2,9–3,1 | 3,1–3,3 | 3,3–3,5 | 3,5–3,7 | 3,7–4,3 |
К-во кустов | 50 | 150 | 200 | 250 | 150 | 100 | 100 |
Построить гистограмму и найти средний вес одного куста.
Решение:
Гистограмма – служит для изображения интервальных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака , и высотами, равными частотам интервалов.
Для расчета среднего веса одного куста воспользуемся формулой средней арифметической.
Средней арифметической дискретного вариационного ряда называется отношение суммы произведений вариантов на соответствующие частоты к объему совокупности:
где - варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, - соответствующие им частоты.
Для каждого интервала найдем середины по формуле .
Х(кг) | 2,5–2,7 | 2,7–2,9 | 2,9–3,1 | 3,1–3,3 | 3,3–3,5 | 3,5–3,7 | 3,7–4,3 |
2,6 | 2,8 | 3 | 3,2 | 3,4 | 3,6 | 4 | |
К-во кустов | 50 | 150 | 200 | 250 | 150 | 100 | 100 |
Ответ: средний вес одного куста составляет 3,22 кг.
Задание №4
По следующим данным построить интервальный вариационный ряд и гистограмму: 24, 14, 15, 26, 16, 17, 14, 15, 1, 11, 14, 12, 16, 17, 13, 10, 11, 12, 13, 15, 14, 10, 11, 14, 7, 15, 14, 15, 15, 14, 15, 14, 2, 5, 18, 19, 16, 17, 9, 10, 18, 19, 20, 22, 28.
Найти среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение.
Решение:
1. Проранжируем1 исходный ряд, подсчитаем частоту вариантов. Получим вариационный ряд
2. Для определения числа групп воспользуемся формулой Стерджесса:
n = 1+3,322 * lgN
где n – число групп, N =45 – число единиц совокупности
Для данных задачи n = 1 + 3,322*lg 45 = 1 + 3,322 * 1,65 = 6б49 » 6 групп
Величина интервала представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака в каждой группе.
3. Выполним промежуточные вычисления во вспомогательной таблице и определим значения числовых характеристик:
Середины интервалов
Средняя арифметическая где - варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, - соответствующие им частоты.
Дисперсия .
Среднее квадратическое отклонение .
№ | Значения | № группы | Интервалы | Частота | |||
1 | 1 | нач | кон | ||||
2 | 2 | 1 | 1,0 | 5,5 |
3 |
||
3 | 5 | 2 | 5,5 | 10,0 |
5 |
||
4 | 7 | 3 | 10,0 | 14,5 |
15 |
||
5 | 9 | 4 | 14,5 | 19,0 |
17 |
||
6 | 10 | 5 | 19,0 | 23,5 |
2 |
||
7 | 10 | 6 | 23,5 | 28,0 |
3 |
||
8 | 10 | ||||||
9 | 11 | ||||||
10 | 11 | ||||||
11 | 11 | ||||||
12 | 12 | ||||||
13 | 12 | ||||||
14 | 13 | ||||||
15 | 13 | ||||||
16 | 14 | ||||||
17 | 14 | ||||||
18 | 14 | ||||||
19 | 14 | ||||||
20 | 14 | ||||||
21 | 14 | ||||||
22 | 14 | ||||||
23 | 14 | ||||||
24 | 15 | ||||||
25 | 15 | ||||||
26 | 15 | ||||||
27 | 15 | ||||||
28 | 15 | ||||||
29 | 15 | ||||||
30 | 15 | ||||||
31 | 16 | ||||||
32 | 16 | ||||||
33 | 16 | ||||||
34 | 17 | ||||||
35 | 17 | ||||||
36 | 17 | ||||||
37 | 18 | ||||||
38 | 18 | ||||||
39 | 19 | ||||||
40 | 19 | ||||||
41 | 20 | ||||||
42 | 22 |
x min |
1 |
||||
43 | 24 |
x max |
28 |
||||
44 | 26 |
h |
4,5 |
||||
45 | 28 |
№ группы | Интервалы | Частота | Промежуточные вычисления | |||||
нач | кон | сер | ni | xcp*ni | (x-Xcp) | (x-Xcp)2 | ni*(x-Xcp)2 | |
1 | 1,0 | 5,5 | 3,25 | 3 | 9,75 | -10,9 | 118,81 | 356,43 |
2 | 5,5 | 10,0 | 7,75 | 5 | 38,75 | -6,4 | 40,96 | 204,80 |
3 | 10,0 | 14,5 | 12,25 | 15 | 183,75 | -1,9 | 3,61 | 54,15 |
4 | 14,5 | 19,0 | 16,75 | 17 | 284,75 | 2,6 | 6,76 | 114,92 |
5 | 19,0 | 23,5 | 21,25 | 2 | 42,50 | 7,1 | 50,41 | 100,82 |
6 | 23,5 | 28,0 | 25,75 | 3 | 77,25 | 11,6 | 134,56 | 403,68 |
| 45 | 636,75 | | 1234,80 | ||||
|
14,15 | S2 | 27,44 | |||||
| 5,24 |
Среднее значение
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Ответ: , ,
Задание №5
Некоторая случайная величина подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием 50 и дисперсией 36. Найти вероятность того, что отдельное значение случайной величины заключено в интервале от 40 до 60.
Решение:
Пусть X – случайная величина подчиняется закону нормального распределения
По условию и
Найти:
Для нормального распределения СВ X
где Ф(Х) – функция Лапласа, дифференциальная функция нормального закона имеет вид .
Значения Ф(Х) – табулированы
Ответ:
Задание №6
Определить вероятность того, что истинное значение расстояния отличается от среднего (1000 м), полученного в 100 опытах, не более, чем на 5 м, если стандартное отклонение 25 м.
Решение:
Пусть X – случайная величина расстояния, м
По условию
Найти:
Ответ:
Задание №7
При измерении дальности расстояния дальномеры дали различные показания так, что среднее расстояние оказалось 1000 м с выборочной дисперсией 36 м2. В каких пределах находится истинное расстояние с вероятностью 80%, если произведено 11 измерений.
Решение:
По условию задана выборка объемом и дисперсия нормально распределенной СВ X 36. Найдено выборочное среднее . Требуется найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания , если доверительная вероятность должна быть равна
1. Доверительный интервал имеет общий вид
2. По условию
находим из решения уравнения
→ →
используя таблицу значений функции Лапласа
3. Находим значения концов доверительного интервала
.
.
Т.о., искомый доверительный интервал , т.е.
Ответ:
Задание №8
При определении массы пяти таблеток лекарственного вещества получены следующие результаты: 0,148; 0,149; 0,151; 0,153; 0,155 (г). Найти ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80%.
Решение:
xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
mi | 0,148 | 0,149 | 0,151 | 0,153 | 0,155 |
Вычислим ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80% по формуле: - предельная ошибка малой выборки.
Учитывая, что определим табулированные значения - критерия Стьюдента.
.
Таким образом,
.
Ответ: Ошибка в определении массы таблетки с вероятностью 80% составляет 0,00088
Задание №9
При изменении скорости реакции 2-х человек провели по сто опытов и получили следующие данные: Xср = 100 мс, дисперсия средних равна 9 мс2, Yср = 110 мс, дисперсия средних равна 16 мс2.
Проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений для уровня значимости 0,02.
Решение:
Пусть - гипотеза, математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y равны.
При достаточно больших объемах выборки выборочные средние и имеют приближенно нормальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией .
При выполнении гипотезы статистика
имеет стандартное нормальное распределение N (0; 1)
По данным задачи
В случае конкурирующей гипотезы выбирают одностороннюю критическую область, и критическое значение статистики находят из условия
Т.о.
Табулированное значение
Если фактические наблюдаемое значение статистики t больше критического tкр, определенного на уровне значимости a (по абсолютной величине), т.е. , то гипотеза отвергается, в противном случае – гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.
Т.к. наблюдаемое значение статистики , а критическое значение , то в силу условия →делаем ввод, что гипотеза отвергается, т.е. математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y не равны.
Задание №10
Оцените достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10:
X | 60 | 65 | 66 | 70 | 64 |
Y | 72 | 71 | 80 | 78 | 69 |
Решение:
Пусть - гипотеза, достоверность различия в продолжительности жизни мужчин и женщин на уровне значимости 0,10
Вычислим и
При выполнении гипотезы статистика .
где и
X |
60 | 65 | 66 | 70 | 64 | |
Y |
72 | 71 | 80 | 78 | 69 | |
25 | 0 | 1 | 25 | 1 |
52 |
|
4 | 9 | 36 | 16 | 25 |
90 |
|
13 |
||||||
22,5 |
Критическое значение статистики находят из условия .
Т.о. .
Табулированное значение .
Т.к. наблюдаемое значение статистики , а критическое значение то в силу условия делаем ввод, что гипотеза отвергается, т.е. достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10 не подтверждается.
Задание №11
По данным наблюдений за последние 5 лет составили таблицу урожайности пшеницы и числа дождливых дней за вегетативный период:
Ц/ га | 10 | 15 | 6 | 20 | 9 |
Число дождливых дней | 14 | 20 | 6 | 20 | 10 |
Коррелируют ли данные величины?
Решение:
Для оценки тесноты корреляционной зависимости между величинами Y и X используется коэффициент корреляции – показатель тесноты линейной связи.
()
()
Свойства коэффициента корреляции:
1 0 Коэффициент корреляции удовлетворяет неравенству .
2 0 В зависимости от близости r к единице различают связь слабую, умеренную, заметную, достаточно тесную, тесную и весьма тесную
Оценка тесноты линейной связи (шкала Чаддока)
Значение ЅrЅ |
0–0,1 |
0,1–0,3 |
0,3–0,5 |
0,5–0,7 |
0,7–0,9 |
0,9–0,99 |
1 |
Теснота линейной связи |
Нет связи |
Слабая | Умеренная | Заметная | Высокая | Очень высокая | Функциональная |
Значение R |
Связь |
Интерпретация связи |
R = 0 | Отсутствует | Отсутствует линейная связь между х и у |
0<R < 1 | Прямая | С
увеличением
х
Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.),
обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus.
Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Похожие рефераты: |