Кривые, заданные в полярных координатах

Размещено на /

Кривые, заданные в полярных координатах

Р.Л. Ткачук

Вологда

Введение

Тема «Полярная система координат» позволяет познакомить учащихся с красивейшими результатами математической науки.

Полярная система координат на плоскости определяется заданием точки O (полюс), луча Ох (полярная ось) и единичного отрезка т. Кроме того, должен быть указан поворот луча Ох, называемый положительным. Пусть это будет поворот в направлении против движения часовой стрелки. Повороты луча, совершаемые в направлении, противоположном положительному, будем называть отрицательными.

Пусть М — произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом. Обозначим через длину отрезка ОМ, а через — величину угла, образованного лучами Ох и ОМ. Числа и такие, что р>0 и 0 ф < 2π, именуют полярными координатами точки М. Число называют первой полярной координатой, или полярным радиусом, число — второй полярной координатой, или полярным углом (рис. 1) Если точка М совпадает с полюсом, то = 0, а полярный утол считаем равным нулю. Заметим, что при заданных нами условиях > 0, 0 ≤ < 2π, полярные координаты любой точки определяются однозначно.

Введение таких координат очень естественно, ведь местонахождение любой точки на земной поверхности для неподвижного наблюдателя удобно определять с помощью расстояния от наблюдателя до этой точки и направления к точке от наблюдателя (в этом случае точка, в которой находится наблюдатель, служит полюсом).

Школьникам можно напомнить, что в повести Р.Л.Стивенсона «Остров сокровищ» описано, как старый пират Флинт определил местоположение закопанного клада: «Десять футов к северу от высокого дерева на склоне Подзорной Трубы» (рис. 2).

Построение кривых, заданных полярными уравнениями, имеет некоторые специфические особенности, которые мы проиллюстрируем на примерах. Как известно, математики Древней Индии заменяли доказательства теорем геометрическим чертежом, сопровождая его короткой подписью: «Смотри!». Мы пользовались тем же принципом, заменив долгие разъяснения рисунками, из которых видны все свойства кривых.

В дальнейшем, при построении кривых мы позволим углу принимать любые неотрицательные значения, выделяя на рисунках жирной линией фрагменты кривых, получающиеся при ограниче-нии 0 ≤ < 2π.

Алгебраические спирали

Сначала рассмотрим так называемые алгебраические спирали, т.е. кривые, полярные уравнения которых являются алгебраическими относительно и и имеют вид F(, ) = 0, ≥0, ≥ 0. Если перейти к прямоугольной системе координат, то эти уравнения уже не будут алгебраическими относительно х и у. Кривые, задаваемые такими уравнениями, принято называть трансцендентными.

Достаточно громоздкие декартовы уравнения упрощаются при переходе к полярной системе координат. Зависимость между полярными и декартовыми координатами весьма проста.

Пусть полюс O совпадает с началом декартовой системы координат, полярная ось совмещена с положительным направлением оси Ох; М(х; у) — произвольная точка декартовой плоскости. Легко убедиться, что

И обратно:

x=

Спираль Архимеда

= .

Поместим точку на секундную стрелку часов и будем перемешать точку вдоль секундной стрелки с постоянной скоростью, не обращая внимания на равномерное движение стрелки часов по кругу. Тогда точка опишет кривую, называемую спиралью Архимеда. Изобретение этой кривой приписывается Конону Самосскому, хотя ее основные свойства описал именно Архимед (ок. 287-212 гг. до н.э.). Архимеду, в частности, было известно, что расстояние между двумя последовательными витками спирали является постоянной величиной и равно 2π (рис. 3).

Кстати, в силу этой особенности в расположении витков реальный образ спирали Архимеда можно видеть, например, наблюдая туго завернутый рулон бумаги с его торцевой стороны.

На внеклассных занятиях полезно показать построение первого витка спирали Архимеда.

Начертим окружность. Разделим ее и радиус ОА на п равных частей.

Пусть n = 8. Проведем ко всем точкам деления лучи из центра О окружности и пронумеруем их (рис. 4). На луче 1 отметим точку на расстоянии =ОА от центра окружности. На луче 2 отметим точку на расстоянии = ОА, на луче 3 - точку на расстоянии =ОА и т.д. На луче 8 поставим точку на расстоянии =ОА.

Соединив последовательно плавной кривой полученные точки, мы увидим первый виток спирали Архимеда. Построение будет тем более точным, чем больше точек деления радиуса и окружности будет выбрано первоначально.

Спираль Архимеда используется в качестве линии, позволяющей разделить заданный угол на любое количество равных частей. В некоторых готовальнях в старину в состав рабочих инструментов входила металлическая пластинка с тщательно выгравированной на ней спиралью Архимеда. С помощью такого приспособления было нетрудно разделить угол на несколько равных частей. Например, для трисекции угла ВАС достаточно приложить пластину ее ровной частью к одному из лучей угла (рис. 5) и поделить получившийся отрезок АВ на 3 равные части. На дуге спирали следует сделать засечку радиусом АО = - АВ. Тогда угол САО будет равен одной трети угла ВАС.

В области техники спираль Архимеда находит применение в так называемых кулачковых механиз-мах, которые преобразуют вращательное движение шайбы в поступательное движение стержня. В некоторых механизмах (например, в часах) требуется, чтобы стержень двигался равномерно. Обеспечить это можно, очертив профиль шестеренки по спирали Архимеда.

В качестве второго объекта для применения спирали Архимеда в технике можно привести самоцентрирующийся патрон (рис. 6), направляющие канавки которого выполнены по спирали Архимеда. При одном повороте диска этого патрона кулачки перемещаются на величину радиального расстояния смежных канавок.

Кроме того, форму спирали Архимеда имеют звуковая дорожка на грампластинке и одна из деталей швейных машин - механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку.

Логарифмическая спираль

lg = , = . При = 0 получаем = 1. При →+∞ видно, что →+∞ и спираль развертывается против хода часовой стрелки (рис. 7)

Логарифмическую спираль описывает точка, движущаяся по секундной стрелке не с постоянной скоростью (как в случае архимедовой спирали), а с возрастающей, причем это возрастание пропорционально расстоянию от центра часов.

Логарифмическую спираль можно построить с помощью так называемого золотого прямоугольника, т.е. такого, у которого отношение сторон равно золотому сечению: .

Если от золотого прямоугольника АВСD отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получим золотой прямоугольник ЕFСD, но меньших размеров. Если продолжить этот процесс далее, а затем соединить плавной кривой вершины квадратов, как это сделано на рис. 8, то получим логарифмическую спираль.

Логарифмическая спираль обладает рядом интересных свойств:

• расстояния между последовательными витками образуют геометрическую прогрессию;

• последовательность длин радиусов, образующих одинаковые углы друг с другом, также составляет геометрическую прогрессию;

• образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими радиусами, подобны друг другу.

Логарифмическая спираль часто встречается в природе и связана с определенными видами роста. У очень многих моллюсков последовательные витки раковины не одинаковы, а все более и более утолщаются. Во многих случаях приближенные значения толщины последовательных витков образуют геометрическую прогрессию. Хотя саму раковину моллюска нельзя назвать живой, она образуется растущим организмом. Один из простейших способов наращивания нового вещества автоматически приводит к образованию некоторой фигуры, очень близкой к логарифмической спирали. Во многих раковинах обнаруживается поразительно близкое совпадение между результатами измерений и теоретическими значениями, ожидаемыми для точной логарифмической спирали (рис. 9). В подсолнухе семечки расположены по характерным дугам, близким, как показывают соответствующие измерения, к дугам логарифмической спирали. В связи с подобными фактами некоторые ученые считают логарифмическую спираль кривой, являющейся одним из выражений законов органического роста.

Применения логарифмической спирали в технике основаны на свойстве этой кривой пересекать все свои радиус-векторы под одним и тем же углом2. На этом свойстве основаны применения логарифмической спирали в технике. Так, вращающиеся ножи в различных режущих машинах (рис. 10) имеют профиль, очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания (угол между лезвием ножа и направлением его скорости вращения) остается постоянным вдоль всей кромки подвижного ножа, что обеспечивает меньший его износ.

Труба, подводящая струю воды к лопастям турбинного колеса гидроэлектростанции, имеет профиль, очерченный по дуге логарифмической спирали. Это позволяет обеспечить минимальные потери энергии на изменение направления течения, и, следовательно, напор воды используется с максимальной производительностью.

В истории математики логарифмическая спираль упоминается впервые в 1638 г. Декартом, который определял новую спираль как линию, у которой отношение длины дуги к соответствующему радиус-вектору является постоянным.

Логарифмическая спираль - кривая с «твердым» характером. Она не изменяет своей природы при многих преобразованиях, к которым чувствительны другие кривые. Сжать или разжать эту спираль относительно ее полюса - то же самое, что повернуть ее на определенный угол. Это свойство логарифмической спирали было открыто Якобом Бернулли, называвшим ее spira mirablis— дивная спираль. Открытые Бернулли свойства логарифмической спирали оставаться неизменной при различных преобразованиях настолько поразили ученого, что он был склонен придать им мистический смысл. Якоб Бернулли завещал высечь логарифмическую спираль на своем надгробном камне, сопроводив изображение латинской фразой «Eadem mutate resurgo» — «Измененная, возрождаюсь прежней».

Далее рассмотрим несколько примеров кривых, полярные уравнения которых содержат тригонометрические функции. Построение этих кривых можно выполнить по точкам, где принимает значения от 0 до 2π.

Семейство роз Гранди

=sink ,

где k - положительная постоянная.

В XVIII в. итальянский геометр Гвидо Гранди (1671—1742) создал розы. Нет, вовсе не те прекрас-ные цветы, о которых вы, наверное, подумали. Розы Гранди радуют нас правильными и плавными линиями, но их очертания не каприз природы — они предопределены специально подобранными математическими зависимостями. Эти зависимости были подсказаны самой природой, ведь в большинстве случаев абрис листа или цветка представляет собой кривую, симметричную относительно оси.

Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как

| sin(k | ≤1,

то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.

Наиболее красивые «цветы» получаются при k = 2 (четырехлепестковая роза) и при k = 3 (трехлепестковая роза, хотя читателю, обратившему внимание на рис. 11,б, может показаться, что эта кривая больше напоминает пропеллер).

Покажем, как построить трёхлепестковую розу. Для построения этой кривой сначала заметим, что поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство sin3≥0, решая которое находим область допустимых углов: 0≤ ,

В силу периодичности функции sin3 (ее период равен ) достаточно построить график для углов в промежутке 0 , а в остальных двух промежутках использовать периодичность. Итак, пусть 0≤. Если угол изменяется от 0 до 1 , sin3 изменяется от 0 до 1, и, следовательно, изменяется от 0 до 1. Если угол изменяется от , то радиус изменяется от 1 до 0. Таким образом, при изменении угла от 0 до , точка на плоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка и возвращается в начало координат. Такие же лепестки получаются, когда угол изменяется в пределах от до π и от до . Рассмотрим теперь, как построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением .

Функция — периодическая с периодом π, кроме того,

sin(2( ,

поэтому достаточно построить кривую в первой четверти, потом зеркально отразить ее относительно оси Оу и использовать периодичность для построения кривой в третьей и четвертой четвертях.

Функция = sin2 на отрезке [0; монотонно возрастает с 0 до 1 , а на отрезке [; ] монотонно убывает от 1 до 0. Таким образом, мы получили лепесток розы, лежащий в первой четверти. Остальные три лепестка получатся, если построить кривую в оставшихся четвертях.

Отметим следующие интересные свойства четырехлепестковой розы:

• четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок длиной 1, концы которого скользят по координатным осям;

• площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна .

Розы Гранди нашли свое применение в технике, в частности, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки — центра колебаний, то траектория этой точки будет розой.

Вообще, если k — натуральное число, то роза состоит из 2k лепестков при четном k и из k: лепестков при k нечетном. Если k — рациональное число (k=, то роза состоит из т лепестков в случае, когда оба числа т и п нечетные, и из 2т лепестков, когда одно из этих чисел является четным; при этом лепестки частично перекрываются. Если k - иррациональное число, то роза состоит из бесконечного множества частично перекрывающихся лепестков.

Лемниската Бернулли

р2 = 2соs2.

Лемниската Бернулли — одна из самых замечательных алгебраических линий. Из вида уравнения кривой следует, что кривая состоит из двух симметричных лепестков (по внешнему виду эта кривая напоминает перевернутую восьмерку или бантик). Для точек лемнискаты должно выполняться нера-венство соs2, поэтому она расположена между прямыми у=±х. Отметим также, что = при = 0.

Покажем, как построить лемнискату Бернулли. Но сначала отметим, что, поскольку квадрат полярного радиуса неотрицателен, должно выполняться неравенство соs2. Решая это неравенство, находим область допустимых углов:

0≤ ,

В силу периодичности функции соs2 (ее период равен π) достаточно построить график для углов в промежутке а в остальных случаях использовать периодичность

Итак, пусть Если угол изменяется от до π ,то cos2 изменяется от 0 до 1 и, следовательно, изменяется от 0 до