Xreferat.com » Рефераты по математике » Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Тюменский государственный университет

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра информатики и математики


КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине «Математический анализ»

на тему:

Дифференцирование в линейных нормированных пространствах


Выполнила: студентка 393 гр.

Жукова И.А.

Проверил: доцент кафедры МиИ

Салтанова Т.В.


Тюмень 2010


Оглавление


Введение

Основные понятия

Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)

Слабый дифференциал (дифференциал Гато)

Формула конечных приращений

Связь между слабой и сильной дифференцируемостью

Дифференцируемые функционалы

Абстрактные функции

Интеграл

Производные высших порядков

Дифференциалы высших порядков

Формула Тейлора

Заключение

Список литературы:


Введение


Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства и их отображения.

Понятие нормированного пространства – одно из самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С. Банахом в 20-х годах 20 века. Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся, настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже трудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит дифференцирование линейных нормированных пространств.


Основные понятия


Определение 1. Непустое множество Дифференцирование в линейных нормированных пространствах называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Й. Для любых двух элементов Дифференцирование в линейных нормированных пространствах однозначно определен элемент Дифференцирование в линейных нормированных пространствах, называемый их суммой, причем


1. Дифференцирование в линейных нормированных пространствах(коммутативность)

2. Дифференцирование в линейных нормированных пространствах(ассоциативность)


В Дифференцирование в линейных нормированных пространствах существует такой элемент 0, что Дифференцирование в линейных нормированных пространствахдля всех Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

4. Для каждого Дифференцирование в линейных нормированных пространствахсуществует такой элемент Дифференцирование в линейных нормированных пространствах, что Дифференцирование в линейных нормированных пространствах.

II. Для любого числа Дифференцирование в линейных нормированных пространствах и любого элемента Дифференцирование в линейных нормированных пространствах определен элемент Дифференцирование в линейных нормированных пространствах, причем


5. Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

6. Дифференцирование в линейных нормированных пространствах


III. Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:


7. Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

8. Дифференцирование в линейных нормированных пространствах


Определение 2. Линейное пространство Дифференцирование в линейных нормированных пространствах называется нормированным, если на нем задана неотрицательная функция Дифференцирование в линейных нормированных пространствах, называемая нормой, удовлетворяющая условиям:


Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

Дифференцирование в линейных нормированных пространствах


для любого Дифференцирование в линейных нормированных пространствах и любого числа Дифференцирование в линейных нормированных пространствах;


Дифференцирование в линейных нормированных пространствах


для любых Дифференцирование в линейных нормированных пространствах (неравенство треугольника).

Определение 3. Оператором называется отображение


Дифференцирование в линейных нормированных пространствах,


где Дифференцирование в линейных нормированных пространствах- это линейные пространства.

Определение 4. Оператор Дифференцирование в линейных нормированных пространствахДифференцирование в линейных нормированных пространствах называется линейным, если для любых элементов Дифференцирование в линейных нормированных пространствах и любых чисел Дифференцирование в линейных нормированных пространствахR выполняется равенство:


Дифференцирование в линейных нормированных пространствах


Определение 5. Пусть Дифференцирование в линейных нормированных пространствах - линейные нормированные пространства,

Дифференцирование в линейных нормированных пространствахДифференцирование в линейных нормированных пространствах – линейный оператор,


Дифференцирование в линейных нормированных пространствах


Линейный оператор непрерывен в точке Дифференцирование в линейных нормированных пространствах, если из того, что


Дифференцирование в линейных нормированных пространствах следует, что Дифференцирование в линейных нормированных пространствах.


Определение 6. Линейный оператор Дифференцирование в линейных нормированных пространствах непрерывен, если он непрерывен в каждой точке Дифференцирование в линейных нормированных пространствах.

Определение 7. Линейный оператор называется ограниченным, если


Дифференцирование в линейных нормированных пространствах Дифференцирование в линейных нормированных пространствах Дифференцирование в линейных нормированных пространствах


Утверждение. Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильна его ограниченности.

Определение8. Наименьшая из констант M таких, что Дифференцирование в линейных нормированных пространствах, называется нормой оператора А и обозначается Дифференцирование в линейных нормированных пространствах.

В частности, выполняется


Дифференцирование в линейных нормированных пространствах


Справедливо следующее утверждение: для любого ограниченного линейного оператора


Дифференцирование в линейных нормированных пространствах Дифференцирование в линейных нормированных пространствах


Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)


Пусть X и У — два нормированных пространства и F — отображение, действующее из X в Y и определенное на некотором открытом подмножестве О пространства X. Мы назовем это отображение дифференцируемым в данной точкеДифференцирование в линейных нормированных пространствах, если существует такой ограниченный линейный оператор LxДифференцирование в линейных нормированных пространствахж (X, Y), что для любого е> 0 можно найти д > 0, при котором из неравенства ||h||< д следует неравенство


|| F(x + h)-F(x)-Lxh ||<е||h|| (1)


То же самое сокращенно записывают так:


А(ч + р)-А(ч)-Дчр = щ(р)ю(2)


Из (I) следует, что дифференцируемое в точке х отображение непрерывно в этой точке. Выражение Lxh (представляющее собой, очевидно, при каждом hДифференцирование в линейных нормированных пространствахX элемент пространства У) называется сильным дифференциалом (или дифференциалом Фреше) отображения F в точке х. Сам линейный оператор Lx называется производной, точнее, сильной производной отображения F в точке х. Мы будем обозначать эту производную символом F'(x).

Если отображение F дифференцируемо в точке, то соответствующая производная определяется единственным образом. В самом деле, равенство


||L1h — L2h|| = o(h) для операторов

Li Дифференцирование в линейных нормированных пространствахж (X, У), i = 1, 2,


возможно, лишь если L1= L2.

Установим теперь некоторые элементарные факты, непоcредственно вытекающие из определения производной.


Если F(x) = y0 = const, то F'(x) = О (т. е. F'(х)


в этом случае есть нулевой оператор).

Производная непрерывного линейного отображения L есть само это отображение:


L '(x)=L (3)


Действительно, по определению имеем


L(x + h)-L(x) = L(h).


3. (Производная сложной функции). Пусть X, У, Z — три нормированных пространства, U(x0)—окрестность точки х0Дифференцирование в линейных нормированных пространствахХ, F — отображение этой окрестности в У, у0 = F(x0), V(yo) — окрестность точки у0 Дифференцирование в линейных нормированных пространствахУ и G — отображение этой окрестности в Z. Тогда, если отображение F дифференцируемо в точке хо, a G дифференцируемо в точке уо, то отображение Н = GF (которое определено в некоторой окрестности точки х0) дифференцируемо в точке хо и


H' (x0)=G' (y0)F' (x0) (4)


Действительно, в силу сделанных предположений


А(ч0 +о) = А(ч0) + Аэ (ч0) о +о1 (о ) и

G (уо + з) = G (уо) + G' (уо) з + о2 (з).


Но F'(x0) и G'(yo) — ограниченные линейные операторы. Поэтому


H (х0 + о) = G (уо + F' (x0) о + о1 о ) = G (уо) + G' (у0) (F' (х0) о + +о1 о)) +

+о2 (F' (x0) о + о1 (о )) = G (у0) + G' (уо) F' (х0) о + о3 (о).


Если F, G и Н — числовые функции, то формула (4) превращается в известное правило дифференцирования сложной функции.

4. Пусть F и G — два непрерывных отображения, действующих из X в Y. Если F и G дифференцируемы в точке х0, то и отображения F + G и aF (а — число) тоже дифференцируемы в этой точке, причем


(F + G)'(х0) = F'(х0) + G'(х0) (5)

(aF)'(x0) = aF'(x0).(6)


Действительно, из определения суммы операторов и произведения оператора на число сразу получаем, что


(F+G)(x0 + h) = F(x0 + h) + G(x0 + h) = F (х0) + G (х0) + F' (х0) h +

+G' (х0) h + o1 (h) и

aF (x0 + h) = aF (x0) + aF' (x0) h + o2 (h),


откуда следуют равенства (5) и (6).


Слабый дифференциал (дифференциал Гато)


Пусть снова F есть отображение, действующее из X в У. Слабым дифференциалом или дифференциалом Гато отображения F в точке х (при приращении h) называется предел


DF(x,h)=Дифференцирование в линейных нормированных пространствахt=0=Дифференцирование в линейных нормированных пространствахДифференцирование в линейных нормированных пространствахДифференцирование в линейных нормированных пространствах,


где сходимость понимается как сходимость по норме в пространстве У.

Иногда, следуя Лагранжу, выражение DF(x,h) называют первой вариацией отображения F в точке х.

Слабый дифференциал DF(x,h) может и не быть линеен по h. Если же такая линейность имеет место, т. е. если


DF (х, h) = F'c (х) h,


где F'c (х) — ограниченный линейный оператор, то этот оператор называется слабой производной (или производной Гато).

Заметим, что для слабых производных теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря, неверна.


Формула конечных приращений


Пусть О — открытое множество в X и пусть отрезок [х0, х] целиком содержится в О. Пусть, наконец, F есть отображение X в У, определенное на О и имеющее слабую производную F'c в каждой точке отрезка [х0, x]. Положив Дх = х — хо и взяв произвольный функционал Дифференцирование в линейных нормированных пространствахУ*, рассмотрим числовую функцию


f(t) = Дифференцирование в линейных нормированных пространствах(F(x0+t Дх)),


определенную при Дифференцирование в линейных нормированных пространствах.Эта функция дифференцируема по t. Действительно, в выражении


Дифференцирование в линейных нормированных пространствах


можно перейти к пределу под знаком непрерывного линейного функционалаДифференцирование в линейных нормированных пространствах. В результате получаем


F'(t) = Дифференцирование в линейных нормированных пространствах (F'c(x0+tДx) Дx)


Применив к функции f на отрезке [0, 1] формулу конечных приращений, получим


f(l) = f(0) + f'(и), где 0< и <1,

Дифференцирование в линейных нормированных пространствах(F(x)-F(x0))= Дифференцирование в линейных нормированных пространствах( F'c(x0+ и Дx) Дx)(7)


Это равенство имеет место для любого функционала Дифференцирование в линейных нормированных пространствахУ* (величина и зависит, разумеется, отДифференцирование в линейных нормированных пространствах). Из (7) получаем


|Дифференцирование в линейных нормированных пространствах(F(x)-F(x0))|Дифференцирование в линейных нормированных пространствах Дифференцирование в линейных нормированных пространствахДифференцирование в линейных нормированных пространствах|| F'c(x0+ и Дx)|| Дифференцирование в линейных нормированных пространствах|| Дx|| (8)


Выберем теперь ненулевой функционал Дифференцирование в линейных нормированных пространствах так, что


Дифференцирование в линейных нормированных пространствах (F (х) - F (х0)) = ||Дифференцирование в линейных нормированных пространствах|| Дифференцирование в линейных нормированных пространствах || F (х) - F (хо) ||


(такой функционал Дифференцирование в линейных нормированных пространствах существует в силу следствия 4 теоремы Хана — Банаха (см. п. 3 § 1 гл. IV)). При этом из (8) получаем


||(F (х) - F (x)||Дифференцирование в линейных нормированных пространствах Дифференцирование в линейных нормированных пространствах || F'c(x0+ и Дx)|| Дифференцирование в линейных нормированных пространствах ||Дx|| (Дx =x-x0) (9)


Это неравенство можно рассматривать как аналог формулы конечных приращений для числовых функций. Применив формулу (9) к отображению


х —Ю А (х) — Аэс (хо) Дч


получим следующее неравенство:


||F(x-Fо)-F'cо) Дx || Дифференцирование в линейных нормированных пространствах Дифференцирование в линейных нормированных пространствах || F'c(xo+иДx) -F'c(x0) ||Дифференцирование в линейных нормированных пространствах|| Дx || (10)


Связь между слабой и сильной дифференцируемостью


Сильная и слабая дифференцируемость представляют собой различные понятия даже в случае конечномерных пространств. Действительно, из анализа хорошо известно, что для числовой функции


f(x) = f(x1,…,xn)


при nДифференцирование в линейных нормированных пространствах 2 из существования производной


Дифференцирование в линейных нормированных пространствах


при любом фиксированном h = (f1,...,fn) еще не следует диф- ференцируемость этой функции, т. е. возможность представить ее приращение f(x+h)- f(x) в виде суммы линейной (по h) части и члена выше первого порядка малости относительно h.

Простейшим примером здесь может служить функция двух переменных


Дифференцирование в линейных нормированных пространствах(11)


Эта функция непрерывна всюду на плоскости, включая точку (0,0). В точке (0,0) ее слабый дифференциал существует и равен 0, поскольку


Дифференцирование в линейных нормированных пространствах


Вместе с тем этот дифференциал не является главной линейной частью приращения функции (11) в точке (0,0). Действительно, если положить h2=h12, то


Дифференцирование в линейных нормированных пространствах


Однако если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают. Действительно, для сильно дифференцируемого отображения имеем


А(ч + ер) — А (ч) = Аэ (ч) (ер) + о (ер) = еАэ (ч)р +о (ер) и

Дифференцирование в линейных нормированных пространствах


Выясним условия, при которых из слабой дифференцируемости отображения F следует его сильная дифференцируемость.

Теорема 1. Если слабая производная F'c (х) отображения F существует в некоторой окрестности U точки х0 и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от х, непрерывную в x0, то в точке x0 сильная производная F'(x0) существует и совпадает со слабой.

Доказательство. По е>0 найдем д>0 так, чтобы при ||h||< д бвыполнялось неравенство:


|| F'c(xo + h)-F'c(xo) || Дифференцирование в линейных нормированных пространствахе


Применив к отображению F формулу (10), получим:


|| F(x0 + h)-F (хо) - F'c (хо) h || Дифференцирование в линейных нормированных пространствахДифференцирование в линейных нормированных пространствах ||F'c(xo + иh)- F'c(xo)||

||h||Дифференцирование в линейных нормированных пространствах е||h||


Тем самым имеет место теорема 1, т. е. доказано как существование сильной производной F'(xо), так и ее совпадение со слабой производной.


Дифференцируемые функционалы


Мы ввели дифференциал отображения F, действующего из одного нормированного пространства X в другое нормированное пространство У. Производная F'(х) такого отображения при каждом х — это линейный оператор из X в У, т. е. элемент пространства о(X, У). В частности, если У — числовая прямая, то F — принимающая числовые значения функция на X, т. е. функционал. При этом производная функционала F в точке х0 есть линейный функционал (зависящий от х0), т. е. элемент пространства X*.

Пример. Рассмотрим в действительном гильбертовом пространстве Н функционал F(x) = ||х||2. Тогда


||x + h||2-||x||2 = 2(x, h) + || h ||2;


величина 2(x,h) представляет собой главную линейную (по h) часть этого выражения, следовательно,


F' (x) = F'c(x) = 2х.


Абстрактные функции


Предположим теперь, что к числовой прямой сводится пространство аргументов X. Отображение F(x), сопоставляющее числу х элемент некоторого банахова пространства У, называется абстрактной функцией. Производная F'(х) абстрактной функции (если она существует) представляет собой (при каждом х) элемент пространства У — касательный вектор к кривой F(x). Для абстрактной функции (представляющей собой функцию одного числового аргумента) слабая дифференцируемость совпадает с сильной.


Интеграл


Пусть F — абстрактная функция действительного аргумента t со значениями в банаховом пространстве У. Если F задана на отрезке [а, b], то можно определить интеграл функции F по отрезку [а,b]. Этот интеграл понимается как предел интегральных сумм


Дифференцирование в линейных нормированных пространствах,


отвечающих разбиениям


ф = е0Бе1Б ююю Бет = иб олДифференцирование в линейных нормированных пространстваххелбел+1ъб


при условии, что max(tk+1-tk)Дифференцирование в
										<div class=

Похожие рефераты: