Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах
Министерство образования и науки Украины
Кафедра КИТ
“ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРОЦЕССЫ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА В АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ”
2008
РЕФЕРАТ
Пояснительная записка к расчетно-графической работе: 29 стр., 9 рис., 1 прил., 5 источников.
Объект исследования – оптимальный предел прочности алюминиевых деформируемых сплавов при испытании на растяжение.
Метод исследования – применение математико-статистических методов в автоматизированных системах, реализация программ статистической обработки эксперимента на ЭВМ.
Многие детали и конструкции испытывают нагрузки на растяжение. При чем эти нагрузки часто являются основным фактором, влияющим на выход из строя деталей и конструкций. Поэтому очень важной и актуальной является задача нахождения оптимального состава материала, в течение длительного времени испытующего нагрузки на растяжение.
ДЕФОРМИРУЕМЫЙ АЛЮМИНИЕВЫЙ СПЛАВ, ЛИТИЙ, ТЕМПЕРАТУРА СТАРЕНИЯ, ВРЕМЯ СТАРЕНИЯ, МНОГОФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1 Постановка задачи
2 Этапы планирования и статической обработки результатов эксперимента для построения модели 2-го порядка
2.1 Построение модели плана II порядка
2.2 Кодирование факторов
2.3 Составление план – матрицы
2.4 Проверка воспроизводимости опытов
2.5 Расчет коэффициентов регрессии
2.6 Определение значимости коэффициентов
2.7 Проверка адекватности модели
3 Выбор и описание метода условной оптимизации
3.1 Выбор метода условной оптимизации
3.2 Описание метода условной оптимизации (Фиако-МакКормика)
4 Описание программы
4.1 Общие сведения
4.2 Функциональное назначение
4.3 Описание логической структуры программы
4.4 Используемые технические средства
4.5 Вызов и загрузка
4.6 Входные данные
4.7 Выходные данные
5 Результаты обработки данных эксперимента
6 Графики зависимости отклика
7 Кривые равного выхода
Заключение
Список использованных источников
Приложение
Введение
Развитие современной техники связано с созданием новых и постоянным совершенствованием существующих технологических процессов. Основой их разработки и оптимизации является эксперимент. Заметное повышение эффективности экспериментальных исследований и инженерных разработок достигается использованием математических методов планирования экспериментов. Использование математико-статистических методов при постановке задач. В процессе экспериментирования и при обработке полученных данных существенно сокращает сроки решения, снижает затраты на исследования и повышает качество полученных результатов.
Встречающиеся на практике реальные задачи весьма разнообразны. Достаточно грубо их можно разделить на три основных задачи:
1 Выявление количественных зависимостей между параметрами процесса – задачи описания;
2 Определение оптимальных условий протекания процесса – экстремальные задачи;
3 Выбор оптимального состава многокомпонентных смесей.
Часто, приступая к изучению какого-либо процесса экспериментатор не имеет исчерпывающих сведений о механизме процесса. Можно только указать параметры определяющие условия протекания процесса, и, возможно требования к его результатам. Поставленная проблема является задачей кибернетики. Действительно, если считать кибернетику «наукой, изучающей системы любой природы, способные воспринимать, хранить и перерабатывать информацию для целей оптимального управления» [1], то такую систему можно представить в виде черного ящика.
Черный ящик – объект исследования, имеющий (k+p) входов и m выходов.
X – управляемые параметры, Z – неуправляемые параметры.
Зависимость между выходными параметрами (откликом) и входными параметрами (факторами) называется функцией отклика.
Математическая запись функции отклика представлена в виде формулы (1):
(1)
Этому уравнению в многомерном пространстве соответствует гипперповерхность, которая называется поверхностью отклика, а само пространство – факторным пространством.
Эксперимент можно проводить по разному. В случае, когда исследователь наблюдает за каким-то неуправляемым процессом, не вмешиваясь в него, или выбирает экспериментальные точки интуитивно, на основании каких-то привходящих обстоятельств, эксперимент считают пассивным. В настоящее время пассивный эксперимент считается неэффективным.
Гораздо более продуктивно проводится эксперимент, когда исследователь применяет статистические методы на всех этапах исследования, и, прежде всего, перед постановкой опытов, разрабатывая схему эксперимента, а также в процессе экспериментирования, при обработке результатов и после эксперимента, принимая решение о дальнейших действиях. Такой эксперимент считают активным, и он предполагает планирование эксперимента.
Под планированием эксперимента понимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Основные преимущества активного эксперимента связаны с тем, что он позволяет:
1 Минимизировать общее число опытов;
2 Выбирать четкие логически обоснованные процедуры, последовательно выполняемые экспериментатором при проведении исследования;
3 Использовать математический аппарат, формализующий многие действия экспериментатора;
4 Одновременно варьировать всеми переменными и оптимально использовать факторное пространство;
5 Организовать эксперимент таким образом, чтобы выполнялись многие исходные предпосылки регрессионного анализа;
6 Получать математические модели, имеющие лучшие в некотором смысле свойства по сравнению с моделями, построенными из пассивного эксперимента;
7 Рандомизировать условия опытов, то есть многочисленные мешающие факторы превратить в случайные величины;
8 Оценивать элемент неопределенности, связанный с экспериментом, что дает возможность сопоставлять результаты, полученные разными исследователями [1].
Целью данной работы является освоение анализа плановых экспериментов и анализ данных, полученных при выполнении этих экспериментов.
1. Постановка задачи
Изучали механические свойства одного из алюминиевых деформируемых сплавов в зависимости от содержания в нем лития Х1 (основной уровень 1%, интервал варьирования 0,5%), температуры старения Х2 (основной уровень 175 гр.С, интервал варьирования 25 гр.С) и времени старения Х3 (основной уровень 4 ч., интервал варьирования 2 ч.). В качестве отклика выбран предел прочности сплавов, определяющийся при испытании на растяжение (Y, кгс/кв.мм).
Задание на расчетно-графическую работу:
1) Найти уравнение регрессии 2-го порядка и выполнить статистический анализ модели.
2) Исследовать модель 2-го порядка на выпуклость и вогнутость методами дифференциального исчисления.
3) Определить тип поверхности отклика.
4) Построить графики зависимости отклика от каждого из факторов Y=f(Xi) при фиксированных значениях остальных факторов (каждый рисунок должен содержать 3-4 кривые).
5) Применяя один из методов оптимизации, найти в исследованной области оптимальные сочетания факторов, обеспечивающие максимальное и минимальное значения отклика.
6) Построить двумерные сечения поверхности отклика, соответствующие пересечению поверхности с плоскостями Xi=Ximax. Для этого в уравнение регрессии необходимо подставить значение этого фактора, и по полученным двухфакторным уравнениям рассчитать, а потом построить изолинии поверхности отклика (кривые равного выхода).
7) Определить типы кривых равного выхода.
8) Используя двумерные сечения поверхности, выполнить анализ влияния факторов в изученных интервалах их изменения на функцию отклика.
2. Этапы планирования и статической обработки результатов эксперимента для построения модели 2-го порядка
2.1 Построение модели плана II порядка
Для построения плана II порядка можно использовать следующую модель:
(2)
Для этого необходимо провести эксперимент так, чтобы каждый фактор варьировался на трех уровнях. Простейшим решением этой задачи является план типа 3k. Реализация этого плана для k>3 требует большого числа опытов.
Для построения модели второго порядка обычно используют ортогональный план первого порядка в качестве ядра, на котором достраивается план второго порядка, поэтому такие планы называются композиционными и соответствуют шаговой идее построения планов.
Для удобства работы с приведенной моделью II порядка, с помощью обозначений (3) преобразуем ее к виду (2’):
(3)
(2’)
Задача заключается в том, чтобы по результатам наблюдений определить значения коэффициентов bi, дисперсии и доверительные границы для них, а также определить их значимость.
Согласно МНК, для нахождения коэффициентов bi, необходимо минимизировать функцию:
(4)
где N – количество опытов;
xui –значение i-й переменной в u-м опыте;
yu – значение экспериментальных y в u-м опыте;
Из условия минимизации функции ss, можно получить систему нормальных уравнений МНК:
(5)
Представив все результаты в матричной форме, получим:
, , , (6)
где X – матрица условий эксперимента; Y – матрица результатов опытов; B – матрица коэффициентов.
Умножив транспонированную матрицу X на матрицу X, получим матрицу системы нормальных уравнений, которая называется информационной матрицей Фишера (матрицей моментов):
(7)
Умножив транспонированную матрицу X на матрицу Y, получим:
(8)
Используя данные обозначения, систему нормальных уравнений можно записать в матричной форме:
(9)
Обозначая обратную матрицу моментов как:
(10)
получим выражение для матрицы коэффициентов:
(11)
Все статистические свойства коэффициентов линии регрессии определяется матрицей дисперсий ковариаций.
(12)
где cov(bi, bj) – ковариации коэффициентов bi, и bj;
S2(bi) – дисперсия коэффициента bi;
S2(y) – дисперсия опыта.
Дисперсию опыта можно определить по формулам:
(13)
(14)
где m – количество параллельных опытов.
Если параллельные опыты не проводятся, то для оценки дисперсии опыта ставятся эксперименты в центре плана. Тогда дисперсия определяется по формуле:
(15)
где - количество опытов в центре плана.
Так как ядро плана ортогонально, то для сохранения ортогональности композиционного плана необходимо при построении матрицы планирования обеспечить условия:
Величина зависит от фактора и от плеча d:
;
Для k=3 ядро =15, =11/15=0.7303, d=1.2154
2.2 Кодирование факторов
Кодирование факторов используется для перевода натуральных факторов в безразмерные величины, чтобы построить стандартную план – матрицу эксперимента.
Для перевода заполняется таблица кодирования факторов на двух уровнях. В качестве 0-го уровня обычно выбирается центр интервала, в котором предполагается вести эксперимент.
Связь между кодовым и натуральным значениями фактора:
(16)
где Xi – натуральное значение фактора;
Xi0 –значение этого фактора на нулевом уровне;
dI – интервал варьирования факторов.
Составим таблицу кодирования факторов, используя исходные данные.
Таблица 1 - Таблица кодирования факторов
2.3 Составление план – матрицы
В план – матрице должны быть указаны все возможные комбинации уровней факторов.
Таблица 2 – Расширенная план – матрица ортогонального плана
2.4 Проверка воспроизводимости опытов
При одинаковом числе параллельных этапов воспроизводимость опытов определяется по критерию Кохрена.
Для этого сначала считаются дисперсии, характеризующие рассевание результатов на каждом u-м опыте.
Проверка воспроизводимости опытов показана на рисунке 2.
Рисунок 2- Воспроизводимость опытов
2.5 Расчет коэффициентов регрессии
Поскольку план ортогонален, то коэффициенты регрессии будут определяться независимо друг от друга по формулам:
Значения при ядре плана :
Матрица дисперсий (ковариаций) коэффициентов регрессии рассчитывается по формуле (10).
2.6 Определение значимости коэффициентов
Значимость коэффициентов регрессии проверяют по критерию Стьюдента:
(17)
Дисперсия коэффициентов определяется по формуле
2.7 Проверка адекватности модели
Адекватность модели проверяется с помощью критерия Фишера:
(17)
, (18)
где Sад2 – дисперсия адекватности, рассчитываемая по формуле (18);
Sy2 – дисперсия опыта;
a=0.05;
fад=N-l, число свободы дисперсии адекватности;
fy=N(m-1), число свободы дисперсии опыта;
l – количество значимых коэффициентов.
Если неравенство (17) выполняется, значит модель адекватна.
3. Выбор и описание метода условной оптимизации
3.1 Выбор метода условной оптимизации
При решении поставленной задачи оптимизации был использован метод Фиако-МакКормика, который относится к непрямым методам решения задач нелинейного программирования. Непрямые методы преобразуют задачи с ограничениями в последовательность задач безусловной оптимизации путем введения в целевую функцию штрафных функций.
3.2 Описание метода условной оптимизации (Фиако-МакКормика)
Алгоритм метода Фиако-Маккормика
Этап 1. Задание ,, .
Этап 2. Нахождение методом прямого поиска минимума вспомогательной функции , т.е. .
Этап 3. Проверка условий окончания поиска . Если условие выполняется по переход на этап 6, иначе переход на этап 4.
Этап 4. Уменьшение значения , , .
Этап 5. Увеличение . Переход на этап 2.
Этап 6. Оптимальное решение , .
4. Описание программы
4.1 Общие сведения
Обозначение программы - vpRgr.exe.
Наименование программы - “Расчетно – графическая работа № 1 по дисциплине “ВПиМСвАС”.
Программное обеспечение, необходимое для функционирования программы – Windows 95/98/NT/2000/ME.
Для написания программы была использована интегрированная среда разработки приложений (IDE-Integrated Development Environment) – Delphi 6.0.
4.2 Функциональное назначение
1 Назначение программы: определение оптимального состава алюминиевых деформируемых сплавов из условия получения максимального предела прочности при испытаниях на растяжения
2 Классы решаемых задач: анализ и статистическая обработка полнофакторного эксперимента с ортогональными планами второго порядка, в которую входят нахождение коэффициентов регрессии, оценка из значимости, проверка адекватности и воспроизводимости модели; поиск сочетаний факторов в кодовых и натуральных переменных; построения графиков отклика от изменения каждого параметра; построения кривых равного выхода при фиксировании одного из параметров.
3 Сведения о функциональных ограничениях на ее применение: данная программа корректно функционирует при количестве параметров равном 3. При небольшой модификации программы (замены названий факторов на новые) можно решать общую задачу анализа и статистической обработки полнофакторного эксперимента с ортогональными планами второго порядка.
4.3 Описание логической структуры программы
При программировании с использованием средств визуального программирования (Delphi, Visual Basic и др.), приложение становится событийно – управляемым, поэтому невозможно построить алгоритм программы, как это имело место при традиционном программировании на Pascal, C++. В связи с этим наиболее полное представление о программе дает ее укрупненная структурная схема с описанием функций составных частей и связи между ними.
Для того, чтобы разделить фазы “конструирования пользовательского интерфейса” и “непосредственного программирования математической модели”, была использована блочно – модульная структура. При этом каждый структурный элемент выносился в отдельный модуль, поддерживающий интерфейс с пользователем и между собой.
Рисунок 1.-логическая связь процедур модуля
Описание структурных элементов программы
type mas=array[1..3] of real;
var x:array[0..9,1..15] of real; //переменные
x2:array[1..3,1..15] of real;//квадраты переменных
x0,ix, //нулевые уровни и интервалы варьирования
xc, //значения координат центра
la, //канонические козффициенты
m,l,n,ml,nl, //направляющие косинусы углов поворота осей и их частные
xp1,xp2,xp3,xh,
xlocmax,xlocmin:mas; //координаты локальных максимума и минимума
y,ys:array[1..2,1..20] of real; //значения функции отклика
x12,x23,x13, //попарные произведения переменных
yc,ycs, //усредненная функция отклика
s2u:array[1..15] of real; //дисперсии эксперементив
b, //коэффициенты модели
s2b, //дисперсии коэффициентов
db:array[0..9] of real; //пределы значимости коэффициентов
kk: d,xc2,
S2UMax, //максимальное значение дисперсии эксперемента
s2y, //дисперсия опыта
ycen, //функция отклика в центре
ylocmax,ylocmin:real;
4.4 Используемые технические средства
Для оптимальной работы программы необходима следующая конфигурация компьютера:
1) процессор Intel Pentium III|| 500;
2) ОЗУ 64 Мб;
3) SVGA монитор (разрешение 800х600);
4) свободное место на жестком диске не менее 2 Mb;
4.5 Вызов и загрузка
Для инсталляции программы необходимо выполнить следующие шаги:
1) убедиться в том, что компьютер, на который устанавливается система, отвечает всем требованиям, изложенным в разделе «Минимальные системные требования»;
2) убедиться в исправности накопителей на гибких магнитных носителях;
3) перекопировать программу на жесткий диск компьютера;
4) запустить файл Rgr.exe.
4.6 Входные данные
Входными данными к программе являются:
1) таблица кодирования (таблица 1);
2) результаты экспериментов.
Входные данные заданы в программе.
4.7 Выходные данные
Выходными данными являются:
1) дисперсии опытов;
2) коэффициенты линии регресии;
3) расчетные значения выходов;
4) заключения о воспроизводимости опытов, значимости коэффициентов модели, адекватности модели;
5) графики отклика при двух постоянных значениях факторов;
6) кривые равного выхода при одном постоянном факторе;
7) наилучшие и наихудшие сочетания факторов.
5. Результаты обработки