Xreferat.com » Рефераты по математике » Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Размещено на /

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Пермский государственный педагогический университет

Кафедра математического анализа


Курсовая работа

Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра


Пермь 2010

Оглавление


Введение

1. Регулярность интегралов, зависящих от параметра

2. Интеграл коши на кривой

3. Интеграл коши на области

3.1 Аналитическая зависимость от параметра

3.2 Существование производных всех порядков у аналитической функции

3.3 Вывод формулы Коши

3.2 Следствия из формулы Коши

Заключение

Список литературы


Введение


Понятие «интеграл» непосредственно связано с интегральным исчислением − разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.

Так как целью моей прошлой курсовой работы являлось изучение некоторых аспектов темы, таких как интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Цель данной курсовой работы является изучение новых аспектов по теме «интегралы, зависящие от параметров» и накопление материалов для следующих работ по данной тематике.

В данной курсовой работе я рассмотрел интегралы Коши по кривой Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра и интегралы Коши по плоскости Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, также была рассмотрена аналитическая функция, аналитическая зависимость от параметра.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

Найти и изучить литературу по данной теме

Накопить и систематизировать полученную информацию по теме

Изучить основные понятия.

Объектом исследования являются различные виды интегралов зависящих от параметра в курсе ВУЗов.

В работе использованы следующие методы исследования:

Анализ научной литературы по теме «интегралы, зависящие от параметров»

Синтез полученных знаний

Обобщение полученных знаний

Работа насчитывает 26 страницы, состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка используемой литературы и содержащего 10 наименований, вспомогательные указатели, а также содержит 2 иллюстрации.

1. Регулярность интегралов, зависящих от параметра


Рассмотрим интеграл


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.(1)


Теорема 1. [7, c. 111] Пусть выполнены условия:

1) Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра - конечная кусочно-гладкая кривая;

2) функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра непрерывна по Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра при Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, где Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра - область в комплексной плоскости;

3) при каждом фиксированном Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра регулярна по Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра в области Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Тогда интеграл (1) есть регулярная в области Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметрафункция.

Доказательство. В силу условий 1, 2 функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра непрерывна в области Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Возьмем произвольную точку Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра и построим круг Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, который содержит точку Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра и лежит внутри Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Применим теорему Морера. Пусть Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра - замкнутая кривая, лежащая в круге Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Тогда


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра,(2)


так как порядок интегрирования можно переставить, а интеграл по Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра равен нулю (интегральная теорема Коши). По теореме Морера функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра регулярна в круге Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра; следовательно, Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра регулярна в области Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Следствие 1. Пусть Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра - неограниченная кусочно-гладкая кривая, пусть выполнены условия 2, 3 и следующее условие:

4) интеграл (1) сходится равномерно по Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, где Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра - любая замкнутая подобласть области Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Тогда функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра регулярна в области Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Следствие 2. Пусть условия 1, 3 выполнены, но функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра может имеет особенности в концах кривой Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Если функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра непрерывна по Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра при Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра не принадлежит концам Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра и выполнено условие 4, то функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра регулярна в области Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Доказательство следствий 1 и 2 проводится точно также, как и в теореме 1; интегралы в (2) можно переставлять в силу равномерной сходимости интеграла (1).

Теорема 2. [7, c.112] Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.(3)


Доказательство. Пусть Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра - круг Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, лежащий в области Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра и Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра - его граница. Тогда при Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра имеем


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра


Перестановка порядка интегрирования возможна в силу непрерывности подынтегральной функции и конечности кривых Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Замечание. Теорема 2 остается в силе, если выполнены условия следствия 1 или 2, и интеграл (3) сходится равномерно по Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, где Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра - любая замкнутая подобласть области Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Аналитические свойства интегральных преобразований.

Наиболее употребляемыми в математической физике интегральными преобразованиями являются преобразования Лапласа, Фурье и Меллинга.

Пусть функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра определена на полуоси Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Ее преобразованием Лапласа называется функция


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.(4)


Теорема 3. [7, c.113] Пусть функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра непрерывна при Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра и удовлетворяет оценке


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра(5)


Тогда ее преобразование Лапласа Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра есть функция, регулярная в полуплоскости Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Доказательство. Воспользуемся следствием 1 из теоремы 1. Условия 2, 3 теоремы 1 выполнены. Пусть Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Тогда


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.


Так как Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметрасходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл (4) сходится равномерно по Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра при Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра и функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра регулярна в этой полуплоскости. В силу произвольности Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра регулярна при Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Преобразованием Фурье функции Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра определенной на действительной оси, называется функция


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра(6)

Теорема 4. [7, c.113] Пусть функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра непрерывна при Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра и удовлетворяет оценкам


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, (7)


где Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Тогда ее преобразование Фурье Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра есть функция, регулярная в полосе Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Доказательство. Разобьем интеграл (6) на два интеграла:


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.


В силу условия (7) и теоремы 3 функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра регулярна в полуплоскости Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, а функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра - в полуплоскости Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, что и доказывает теорему.

В частности, если функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра финитна, т.е. Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра при Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, и непрерывна при Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, то ее преобразование Фурье является целой функцией. Это следует из теоремы 1, поскольку в этом случае


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.


Преобразованием Меллина функции Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, определенной на полуоси Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, называется функция


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра(8)


Здесь Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Теорема 5. [7, c.114] Пусть функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра непрерывна при Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра и удовлетворяет оценкам:


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, (9)


где Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Тогда ее преобразование Меллина является функцией, регулярной в полосе Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Доказательство. Разобьем интеграл (8) на два интеграла


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.


Пусть Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра и Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра; тогда


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.


Так как Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра сходится при Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, то, по признаку Вейерштрасса, интеграл Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра сходится равномерно по Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра при Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. В силу следствия 2 функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра регулярна в полуплоскости Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Далее, при Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра и Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра имеем


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра


Из сходимости интеграла Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра и следствия 1 вытекает, что функция Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра регулярна в полуплоскости Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Преобразования Фурье и Меллина связаны следующим соотношением:

Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, (10)


где Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра - преобразование Меллина, а Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра- преобразование Фурье функции Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Действительно, делая замену переменной Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, получаем


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра


(мы предполагаем, что все интегралы сходятся). Последний интеграл совпадает с правой частью формулы (10).

В частности, с помощью соотношения (10) можно вывести теорему 5 из теоремы 4.


2. Интеграл коши на кривой


Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра(11)


Интеграл называется интегралом типа Коши.