Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

loading="lazy" src="https://xreferat.com/image/54/1306458922_69.gif" alt="Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра" width="207" height="25" align="BOTTOM" border="0" />, (10)

где - преобразование Меллина, а - преобразование Фурье функции . Действительно, делая замену переменной , получаем

(мы предполагаем, что все интегралы сходятся). Последний интеграл совпадает с правой частью формулы (10).

В частности, с помощью соотношения (10) можно вывести теорему 5 из теоремы 4.

2. Интеграл коши на кривой

(11)

Интеграл называется интегралом типа Коши. Исследуем его аналитические свойства в предположении, что функция непрерывна на кривой .

1. Пусть - конечная кривая. Тогда дополнение к состоит из конечного или бесконечного числа областей. В каждой из этих областей интеграл типа Коши является регулярной функцией в силу теоремы 1. Однако эти регулярные функции, вообще говоря, различны, т.е. не являются аналитическими продолжениями друг друга. Например,

Покажем, что функция, представленная интегралом (11) регулярна в бесконечно удаленной точке. Делая замену и полагая , получаем

.

Так как - конечная кривая, то знаменатель при достаточно малых и функция регулярна в точке в силу теоремы 1.

2. Пусть - бесконечная кривая. Ограничимся, для простоты случаем, когда - вещественная ось; тогда

(12)

Пусть функция удовлетворяет оценке

(13)

Покажем, что тогда формула (12) определяет две функции , которые регулярны в полуплоскостях , соответственно. Воспользуемся следствием 1. Рассмотрим случай . Пусть лежит в полуполосе : , где , . При вещественных и при имеем , если . Следовательно,

Поскольку интеграл сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл сходится равномерно по . В силу следствия 1 функция регулярна при ; так как можно выбрать сколь угодно большим, а - сколь угодно малым, то интеграл (12) представляет функцию , регулярную в верхней полуплоскости. Аналогично доказывается, что интеграл (12) представляет функцию , регулярную в нижней полуплоскости.

Пример 1. [7, c.119] Пусть функция непрерывна на полуоси и удовлетворяет оценке . Тогда интеграл типа Коши представляет функцию, регулярную в плоскости с разрезом по полуоси .

3. Если функция регулярная на контуре интегрирования , то интеграл типа Коши допускает аналитическое продолжение через точки контура. Прием, который при этом используется, заключается в том, что мы сдвигаем контур интегрирования.

Пример 2. [7, c.119] Пусть

.

Функция регулярна в круге . Покажем, что функцию можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость . Положим при

.

Функция регулярна в круге . Покажем, что

.

тем самым наше утверждение будет доказано. Подынтегральная функция регулярна в кольце , если , так как функция регулярна при всех .

Следовательно, в силу интегральной теоремы Коши интегралы по окружностям и от функции равны при что и требовалось доказать.

Этот пример допускает следующее обобщение. Рассмотрим интеграл типа коши (11), где - простая замкнутая кривая. Тогда этот интеграл определяет функцию, регулярную в области , лежащей внутри .

Пусть функция регулярна в замкнутой области , ограниченной кривыми и , где - простая замкнутая кривая, и лежит внутри . Тогда формула

дает аналитическое продолжение функции в область , лежащую внутри . Действительно, функция регулярна в области , если , так что в силу интегральной теоремы Коши

.

Интеграл в левой части этой формулы задает функцию, регулярную в , а интеграл в правой части равен . Следовательно, , и наше утверждение доказано.

Аналогичный метод применим к интегралам вида (12).

Теорема 6. [7, c.120] Пусть функция регулярна в полосе и удовлетворяет условию

.

Тогда интеграл (2) допускает аналитическое продолжение в полуплоскость и это продолжение дается формулой

3. Интеграл коши на области

3.1 Аналитическая зависимость от параметра

Аналитическая зависимость от параметра. Рассматривая интеграл Коши, мы видим, что подынтегральная функция зависит от двух комплексных переменных: переменной интегрирования и фиксированного значения переменной . Тем самым интеграл Коши является интегралом, зависящим от параметра. Естественно поставить вопрос об общих свойствах интегралов по комплексной переменной, зависящих от параметра.

Пусть задана функция двух комплексных переменных , однозначно определенная для значений комплексной переменной из области и для значения комплексной переменной , принадлежащих некоторой кусочно-гладкой кривой С. Взаимное расположение области и кривой может быть совершенно произвольно. Пусть функция двух комплексных переменных удовлетворяют следующим условиям:

Функция при любом значении является аналитической функцией в области .

Функция и ее производная являются непрерывными функциями по совокупности переменных при произвольном изменении в области и