Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

loading="lazy" src="https://xreferat.com/image/54/1306458949_189.gif" alt="Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра" width="18" height="25" align="BOTTOM" border="0" /> внутри себя. Рассмотрим вспомогательную функцию

(21)

Функция , очевидно, является аналитической функцией всюду в области , за исключением точки . Поэтому, если мы в области возьмем такой замкнутый контур , лежащий внутри , чтобы точка попала внутрь области, ограниченной контуром , то функция будет аналитической в двухсвязной области , заключенной между контурами и . Согласно теореме Коши интеграл от функции по кривой равен нулю:

Изменив направление интегрирования во втором интеграле, это равенство можно переписать в виде

(22)

Поскольку интеграл, стоящий слева, не зависит от выбора контура то этим свойством обладает и интеграл, стоящий справа. Для дальнейших рассмотрений удобно в качестве контура интегрирования выбрать окружность некоторого радиуса с центром в точке (Рис. 1). Положив ,имеем.

Последний интеграл преобразуем следующим образом:

(23)

Устремим теперь к нулю. Так как - аналитическая, а следовательно, непрерывная функция в области , то для любого положительного числа можно указать такое значение , что для . Отсюда следует, что при существует предел

Так как в формуле (23) последнее слагаемое не зависит от то

, а следовательно и согласно (22)

(24)

Интеграл, стоящий в правой части, выражает значение аналитической функции в некоторой точке через ее значения на любом контуре , лежащем в области аналитичности функции и содержащем точку внутри. Этот интеграл и называется интегралом Коши. Формула (24) часто называется формулой Коши.

Замечание 1. В формуле (24) интегрирование производится по замкнутому контуру , целиком лежащему в области аналитичности функции и содержащему внутри точку . При дополнительном условии непрерывности в замкнутой области аналогичная формула имеет место в силу теоремы 6 (стр. 56) и при интегрировании по границе области .

Замечание 2. Проведенные рассмотрения остаются справедливыми и в случае многосвязной области . При этом для вывода основной формулы (24) следует рассматривать такой замкнутый контур , который может быть стянут к точке , все время оставаясь в области . Тогда легко показать, что при условии непрерывности функции в замкнутой области с кусочно-гладкой границей формула (24) остается справедливой при интегрировании в положительном направлении по полной границе данной многосвязной области.

3.2 Следствия из формулы Коши

Сделаем ряд замечаний по поводу формулы (24).

1. Интеграл вида по замкнутому контуру целиком лежащему в области аналитичности функции , имеет смысл для любого положения точки на комплексной плоскости при условии, что эта точка не лежит на контуре . При этом, если точка лежит внутри , то значение интеграла равно ; если точка лежит вне , значение интеграла равно нулю, поскольку в этом случае подынтегральная функция является аналитической всюду внутри . Итак,

(25)

При интеграл в обычном смысле не существует, однако при дополнительных требованиях на поведение функции на контуре этому интегралу может быть придан определенный смысл. Так, если функция удовлетворяет на контуре условию Гёльдера*

то существует главное значение по Коши интеграла

где представляет собой часть контура , лежащего вне круга . При этом

2. Пусть - аналитическая функция в односвязной области и - некоторая внутренняя точка этой области. Опишем из этой точки как из центра окружность радиуса , целиком лежащую в области . Тогда по формуле Коши получим

Но на окружности , поэтому

(26)

Или

(27)

Эта формула носит название формулы среднего значения и выражает значение аналитической функции в центре окружности как среднее из ее граничных значений.

3. Принцип максимума модуля аналитической функции. Пусть функция является аналитической в области и непрерывной в замкнутой области . Тогда или , или максимальные значения достигаются только на границе области.

Действительная функция двух действительных переменных

по условию является непрерывной в замкнутой области. Поэтому она достигает своего максимального значения в какой-либо точке данной области. То есть

(28)

Предположим, что точка - внутренняя точка области . Построим в области круг некоторого радиуса с центром в точке и запишем формулу среднего значения для и .

Учитывая формулу (28), получим

.

Следовательно,

(29)

Из этого соотношения в силу непрерывности функции на контуре интегрирования и неравенства (28) следует, что

.(30)

Действительно, по (28) функция не может быть больше ни в одной точке контура интегрирования. Если мы предположим, что в какой-либо точке контура интегрирования функция