Xreferat.com » Рефераты по математике » Шпора по математике

Шпора по математике

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(a±b)І=aІ±2ab+bІ

(a±b)і=aі±3aІb+3abІ±bі

aІ-bІ=(a+b)(a-b)

aі±bі=(a±b)(aІ∓ab+bІ),

(a+b)і=aі+bі+3ab(a+b)

(a-b)і=aі-bі-3ab(a-b)

xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+aІxn-3+...+an-1)

axІ+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

где x1 и x2 — корни уравнения

axІ+bx+c=0


Степени и корни :

ap·ag = ap+g

ap:ag=a p-g

(ap)g=a pg

ap /bp = (a/b)p

apbp = abp

a0=1; a1=a

a-p = 1/a

pa =b => bp=a

papb = pab

a ; a ≥ 0

____

/ __ _

p ga = pga

___ __

pkagk = pag

p ____

/ a pa

/  = 

 b pb

a 1/p = pa

pag = ag/p


Квадратное уравнение

axІ+bx+c=0; (a0)

x1,2= (-bD)/2a; D=bІ -4ac

D>0 x1x2 ;D=0 x1=x2

D<0, корней нет.

Теорема Виета:

x1+x2 = -b/a

x1 x2 = c/a

Приведенное кв. Уравнение:

xІ + px+q =0

x1+x2 = -p

x1x2 = q

Если p=2k (p-четн.)

и xІ+2kx+q=0, то x1,2 = -k(kІ-q)

Нахождение длинны отр-ка

по его координатам

((x2-x1)І-(y2-y1)І)

Логарифмы:

loga x = b => ab = x; a>0,a0

a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0

loga x = b; x = ab

loga b = 1/(log b a)

logaxy = logax + loga y

loga x/y = loga x - loga y

loga xk =k loga x (x >0)

logak x =1/k loga x

loga x = (logc x)/( logca); c>0,c1

logbx = (logax)/(logab)

Прогрессии

Арифметическая

an = a1 +d(n-1)

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n

Геометрическая

bn = bn-1 q

b2n = bn-1 bn+1

bn = b1qn-1

Sn = b1 (1- qn)/(1-q)

S= b1/(1-q)


Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (-) = sin

sin (/2 -) = cos

cos (/2 -) = sin

cos ( + 2k) = cos

sin ( + 2k) = sin

tg ( + k) = tg

ctg ( + k) = ctg

sinІ + cosІ =1

ctg = cos / sin , n, nZ

tg ctg = 1, (n)/2, nZ

1+tgІ = 1/cosІ , (2n+1)/2

1+ ctgІ =1/sinІ ,  n

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y /2 + n

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y /2 + n

Формулы двойного аргумента.

sin 2 = 2sin cos

cos 2 = cosІ - sinІ = 2 cosІ - 1 =

= 1-2 sinІ

tg 2 = (2 tg)/ (1-tgІ)

1+ cos = 2 cosІ /2

1-cos = 2 sinІ /2

tg = (2 tg (/2))/(1-tgІ(/2))

Ф-лы половинного аргумента.

sinІ /2 = (1 - cos )/2

cosІ/2 = (1 + cos)/2

tg /2 = sin/(1 + cos ) = (1-cos )/sin

  + 2n, n Z

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

sin (x+y)

tg x + tg y = —————

cos x cos y

sin (x - y)

tg x - tgy = —————

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = Ѕ(cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = Ѕ(cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = Ѕ(sin (x-y)+ sin (x+y))


Соотнош. между ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)

cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tgІ x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)

sinІ = 1/(1+ctgІ) = tgІ/(1+tgІ)

cosІ = 1/(1+tgІ) = ctgІ / (1+ctgІ)

ctg2 = (ctgІ-1)/ 2ctg

sin3 = 3sin -4sinі = 3cosІsin-sinі

cos3 = 4cosі-3 cos=

= cosі-3cossinІ

tg3 = (3tg-tgі)/(1-3tgІ)

ctg3 = (ctgі-3ctg)/(3ctgІ-1)

sin /2 = ((1-cos)/2)

cos /2 = ((1+cos)/2)

tg/2 = ((1-cos)/(1+cos))=

sin/(1+cos)=(1-cos)/sin

ctg/2 = ((1+cos)/(1-cos))=

sin/(1-cos)= (1+cos)/sin


sin(arcsin ) =

cos( arccos ) =

tg ( arctg ) =

ctg ( arcctg ) =

arcsin (sin) = ;  [-/2 ; /2]

arccos(cos ) = ; [0 ; ]

arctg (tg ) = ; [-/2 ; /2]

arcctg (ctg ) = ; [ 0 ; ]

arcsin(sin)=

1) - 2k; [-/2 +2k;/2+2k]

2) (2k+1) - ; [/2+2k;3/2+2k]

arccos (cos) =

1) -2k ; [2k;(2k+1)]

2) 2k- ; [(2k-1); 2k]

arctg(tg)= -k

(-/2 +k;/2+k)

arcctg(ctg) = -k

(k; (k+1))

arcsin = -arcsin (-)= /2-arccos =

= arctg /(1-І)

arccos = -arccos(-)=/2-arcsin =

= arc ctg/(1-І)

arctg =-arctg(-) = /2 -arcctg =

= arcsin /(1+І)

arc ctg = -arc cctg(-) =

= arc cos /(1-І)

arctg = arc ctg1/ =

= arcsin /(1+І)= arccos1/(1+І)

arcsin + arccos = /2

arcctg + arctg = /2

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| ≤ 1

x = (-1)n arcsin m + k, k Z

sin x =1 sin x = 0

x = /2 + 2k x = k

sin x = -1

x = -/2 + 2 k

cos x = m; |m| ≤ 1

x = arccos m + 2k

cos x = 1 cos x = 0

x = 2k x = /2+k

cos x = -1

x = + 2k

tg x = m

x = arctg m + k

ctg x = m

x = arcctg m +k

sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg

cos x/2 = (1-tІ)/(1+tІ)

Показательные уравнения.

Неравенства: Если af(x)>(<) aа(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы : неравенства:

logaf(x) >(<) log a (x)

1. a>1, то : f(x) >0

(x)>0

f(x)>(x)

2. 00

(x)>0

f(x)<(x)

3. log f(x) (x) = a

ОДЗ: (x) > 0

f(x) >0

f(x ) 1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - 3 cos x = 0

2sin x cos x -3 cos x = 0

cos x(2 sin x - 3) = 0

....

2. Решения заменой ....

3.

sinІ x - sin 2x + 3 cosІ x =2

sinІ x - 2 sin x cos x + 3 cos І x = 2 sinІ x + cosІ x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x


Тригонометрические нер-ва :

sin m

2k+1 2+ 2k

2k+2 (1+2)+ 2k

Пример:

I cos (/8+x) < 3/2

k+ 5/6< /8 +x< 7/6 + 2k

2k+ 17/24 < x< /24+2k;;;;

II sin ≤ 1/2

2k +5/6 ≤≤ 13/6 + 2k

cos () m

2k + 1 < < 2+2 k

2k+2< < (1+2) + 2k

cos - 2/2

2k+5/4 ≤≤ 11/4 +2k

tg () m

k+ arctg m arctg m + k

ctg () m

k+arcctg m < < +k


Производная:

(xn) = n xn-1

(ax)’ = ax ln a

(lg ax )’= 1/(xln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cosІ x

(ctg x)’ = - 1/sinІx

(arcsin x)’ = 1/ (1-xІ)

(arccos x)’ = - 1/ (1-xІ)

(arctg x)’ = 1/ (1+xІ)

(arcctg x)’ = - 1/ (1+xІ)

Св-ва:

(u v)’ = u’v + uv’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ vІ

Уравнение касательной к граф.

y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0)

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k =

= производная в данной точке x

3. Подставим X0, f(x0), f ‘ (x0), выразим х


Интегралы :

 xn dx = xn+1/(n+1) + c

 ax dx = ax/ln a + c

 ex dx = ex + c

 cos x dx = sin x + cos

 sin x dx = - cos x + c

 1/x dx = ln|x| + c

 1/cosІ x = tg x + c

 1/sinІ x = - ctg x + c

 1/(1-xІ) dx = arcsin x +c

 1/(1-xІ) dx = - arccos x +c

 1/1+ xІ dx = arctg x + c

 1/1+ xІ dx = - arcctg x + c


Площадь криволенейной трапеции.


Геометрия

Треугольники

 + + =180

Теорема синусов

aІ = bІ+cІ - 2bc cos

bІ = aІ+cІ - 2ac cos

cІ = aІ + bІ - 2ab cos

Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса - угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=Ѕ(a+b+c)

_____________

S = p(p-a)(p-b)(p-c)

S = Ѕab sin

Sравн.=(aІ3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.


S = (a+b)/2 h

Круг

S=

Sсектора=()/360

Стереометрия

Параллепипед

V=SоснР

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3Sосн.H

Sполн.= Sбок.+ Sосн.

Усеченная :

H . _____

V = 3 (S1+S2+S1S2)

S1 и S2 — площади осн.

Sполн.=Sбок.+S1+S2

Конус

V=1/3 RІH

Sбок. =Rl

Sбок.= R(R+1)

Усеченный

Sбок.= l(R1+R2)

V=1/3H(R12+R1R2+R22)

Призма

V=Sосн.H

прямая: Sбок.=Pосн.H

Sполн.=Sбок+2Sосн.

наклонная :

Sбок.=Pпсa

V = Sпсa, а -бок. ребро.

Pпс — периметр

Sпс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=RІH ; Sбок.= 2RH

Sполн.=2R(H+R)

Sбок.= 2RH

Сфера и шар .

V = 4/3 Rі - шар

S = 4Rі - сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 RіH

H - высота сегм.

Шаровой сегмент

V=HІ(R-H/3)

S=2RH



град



0

30

45

60

90

120

135


180

-/2

-/3

-/4

-/6

0

/6

/4

/3

/2

2/3

3/4

3/6

sin

-1

-3/2

-2/2

- Ѕ

0

Ѕ

2/2

3/2

1

- Ѕ

0

cos





1

3/2

2/2

Ѕ

0

- Ѕ

-2/2

- 3/2

-1

tg

-3

-1

-1/3

0

1/3

1

3

-3

-1
0

ctg





---

3

1

1/3

0

-1/3

-1
--

n 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 9 16 25 36 49 64 81
3 8 27 64 125 216 343 512 729
4 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561
5 32 243 1024 3125 7776 16807 32768 59049
6 64 729 4096 15625 46656
7 128 2181
8

256

6561


-

-

+

/2-

/2+

3/2 -

3/2+

sin

-sin

sin

-sin

cos

cos

-cos

-cos

cos

cos

-cos

-cos

sin

-sin

-sin

sin

tg

-tg

-tg

tg

ctg

-ctg

ctg

-ctg

ctg

-ctg

-ctg

ctg

tg

-tg

tg

-tg


Файл придуман и сделан Денисом Павлюком (C). Коммерческое распространение не приветствуется без моего согласия и запрещается. Все предыдущие ошибки исправлены. Успешно тестировано в МАИ.  [email protected] , [email protected], [email protected] , 2:5020/[email protected]


Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: