Xreferat.com » Рефераты по математике » Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Размещено на /

Федеральное Агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования


Московский Государственный Институт Стали и Сплавов

(технологический университет)


Кафедра экономики и менеджмента


Курсовая работа по высшей математике на тему:

«Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач».


Выполнила:

Рашидуллина А.Г.

группа МЭ-07-3

Проверил(а):

Дьяченко О. Н.


Москва

2005

Задание № 1

экстремум непериодическая функция фурье

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x,y)= y2 +x2+6x+ -4y в замкнутой ограниченной области D: x2+y2Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач4; x+yПриложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач2.

Теория:

I). Если из уравнения связи найти y как функция x, т.е f(x, y(x)) тогда задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной на заданном отрезке.

Находим значение функции в точках, в которых выполнено необходимое условие наличия экстремумов функции (точки попадания в данную область)

Из найденных значениях выбираем наибольшее и наименьшее значения.

(x0,y0) – точка условного экстремума f(x;y)

Для максимума:

1. (x0;y0) – удовлетворяет уравнению связи Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

2. Существует такая окрестность точки (x0;y0), что для любых (х;у), таких что


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


(Аналогично для минимума).

II). Нахождение точек в которых выполнено необходимое условие наличия экстремума функции методом множителей Лагранжа.

z=f(x;y), Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач.

Составляем функцию 3-х переменных Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Для функции F находим точки в которых выполнено необходимое условие обычного экстремума:


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задачПриложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


Решение.


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


1). Находим точки в которых выполнено необходимое условие наличия экстремума.


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задачПриложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


Точка (-3, 2) Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач(т.е не принадлежит области определения).

2). Находим наибольшее и наименьшее значения на границе области.

а) Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


б). Находим точки в которых выполнено необходимое условие условного экстремума с помощью теоремы Лагранжа.


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач.


x y z
0 2 -4
2 0 16

Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

-1,5

Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

-10,4

Ответ:

zнаиб.(2;0)=16.

Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


Задание № 2


Завод производит два вида продукции : А и В. Единица продукции вида А требует 2 часа на обработку деталей, 4 часов на сборку и 82 часов на упаковку. А единица продукции типа В требует соответственно 3, 12 и 6 часов. Оборудование завода позволяет потратить на эти операции соответственно 48, 168 и 144. Единица продукции первого вида даёт прибыль в размере $11, а второго - $10. Требуется составить план выпуска продукции, обеспечивающий заводу максимальную прибыль. Решить задачу двумя способами ( геометрическим методом и симплексным методом).



На обработку деталей,час На сборку,час На упаковку, час Прибыль с ед. продукции
Продукция типа А 2 4 8 11
Продукция типа В 3 12 6 10
Завод позволяет,час 48 168 144

Геометрический метод:

X-количество продукции типа А

Y-количество продукции типа В

Тогда 11X+10Y – общая выручка, максимизируя ее, получаем целевую функцию.

11X+10YПриложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задачmax - целевая функция, обеспечивающая заводу максимальную прибыль.

Условия ограниченности времени:


2X+3YПриложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач48,

4X+12YПриложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач168,

8X+6YПриложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач114,

X>0, Y>0


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задачРассмотрим вначале геометрический метод. В общем случае, он применим лишь в том случае, если ЗЛП содержит не более 2-х переменных величин (не считая самого значения целевой функции). В некоторых случаях ЗЛП с числом переменных более двух может быть сведена к ЗЛП с двумя переменными, однако здесь мы не будем касаться этих возможностей. Суть геометрического метода заключается в следующем:

На плоскости, по осям которой отложены искомые переменные величины, строится система ограничений, указанная в задаче (то есть фактически решаем графически систему неравенств). Если она не имеет решения, то соответственно ЗЛП также не имеет решения. Если имеет, то обычно мы получаем некоторый многоугольник (он может быть не замкнут). Этот многоугольник представляет собой область допустимых решения ЗЛП.

Находим градиент целевой функции. Он представляет собой вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции.

Строим так называемую линию уровня. Для этого приравниваем целевую функцию какой-либо константе. Очевидно, что мы получаем прямую, перпендикулярную градиенту.

Возможны два варианта:

Целевая функция на максимум: перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента. Для простоты будем считать, что ЗЛП имеет единственное оптимальное решение. Тогда последняя точка, лежащая на границе области допустимых решений ЗЛП, через которую пройдет линия уровня и будет представлять собой оптимальное решение.

Целевая функция на минимум: все аналогично пункту 1 за исключением того, что линию уровня нужно перемещать в сторону, противоположную градиенту.


2X+3Y=4, (1)

4X+12Y=168, (2)

8X+6Y=114. (3)


В данном случае многоугольник ODABC представляет собой область допустимых решений ЗЛП. Как можно видеть из рисунка оптимальным решением ЛЗП является точка A с координатами (12;8).

На пересечении графиков (1) и (3) достигается максимальное значение функции:

Решаем систему из (1) и (3) уравнения


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


Получаем: X=12; Y=8.

Подставим в целевую функцию:

11*12+10*8=132+ 80=242.

Т.е. максимальная прибыль в 212$ будет достигаться при следующем плане выпуска 12 единиц товара А и 8 единиц товара В.

Симплексный метод:

Однако ЗЛП с двумя переменными на практике встречаются редко. В реальных задачах их число может доходить до сотен. Мощным инструментом для решения подобных задач является симплекс-метод. Он, в отличие от геометрического, является полностью аналитическим, что позволяет использовать его в ЗЛП с практически любым конечным числом переменных. Здесь мы не будем останавливаться подробно на симплекс-методе. Укажем лишь основные его черты. Для его использования все ограничения задачи должны представлять собой равенства. Чтобы добиться этого обычно вводят дополнительные переменные. Симплекс-метод основан на том, что оптимальным решением ЗЛП является какая-либо вершина многогранника допустимых решений ЗЛП. Вначале выбирается произвольно любая вершина многогранника (иногда это может быть сопряжено с определенными трудностями). Затем осуществляется переход к другим вершинам до тех пор, пока не обнаруживается оптимальная. Необходимо отметить, что главной отличительной чертой симплекс-метода по сравнению с простым перебором является то, что переход к следующей вершине осуществляется в направлении роста (или падения) целевой функции. Это позволяет значительно ускорить процесс поиска оптимального решения. Решим рассмотренную ранее задачу симплекс-методом.

Решение:


11X+10Y → max

Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач2X+3YПриложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач48, + U1

4X+12YПриложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач168, + U2

8X+6YПриложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач114 + U3


X(11) Y(10) U1(0) U2(0) U3(0) F(0)
U1(0) 2 3 1 0 0 48
U2(0) 4 12 0 1 0 168
U3(0) 8 6 0 0 1 144
Инд.строка 0 0 0 0
U1(0) 08.мар 0 1 -0,2222 0 8
Y(6) 01.мар 1 0 янв.18 0 6
U3(0) 28.мар 0 0 -0,4444 1 36
Инд.строка -2 0 0 01.мар 0 36
X(4) 1 0 03.авг -0,0833 0 3
Y(6) 0 1 -0,125 01.дек 0 5
U3(0) 0 0 -9,3333 01.мар 1 8
Инд.строка 0 0 03.апр 01.июн 0 42

При введении дополнительных переменных получаем:


4X+4Y+0·U1+0·U2+0·U3→max

4X+4Y+U1=32

6X+18Y+U2=108

12X+8Y+U3=84


Процесс перебора вершин многогранника допустимых решений в поисках оптимального отразим в следующей симплекс-таблице:

a22-разрешающий элемент

a11-разрешающий элемент

Т.к. в индексной строке мы достигли положительного (все элементы положительны), следовательно находимся в оптимальном решении.

В итоге получаем:

X=3; Y=5; U3=8 - базисные переменные

U1=0; U2=0 - свободные переменные

F max = 42 – достигнута максимальная прибыл


Задание № 3


Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x)=Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач на отрезке [0;2].

Теория:

Определение. Функциональный ряд вида Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

называется тригонометрическим рядом или рядом Фурье. Постоянные числа a0, an, и bn (n=1,2,…) называются коэффициентами тригонометрического ряда или коэффициентами Фурье.

Если дана периодическая функция f(x) с периодом 2π, то целью применения ряда Фурье является отыскание тригонометрического ряда, сходящегося к данной функции. Таким образом, мы отыскиваем функцию, являющуюся суммой ряда в интервале (-π, π):


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач.


При этом коэффициенты Фурье находят по формулам:

Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач, Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач,Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


Ряд Фурье для функции с периодом 2l.

Пусть f(x) есть периодическая функция с периодом 2l, вообще говоря, отличным от 2π. Тогда при разложении ее в ряд Фурье получим формулу:


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач,


где коэффициенты a0, an, и bn вычисляются по формулам:


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач, Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


О разложении в ряд Фурье непериодической функции.

Пусть на некотором отрезке Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач задана кусочнo-монотонная функция f(x). Покажем, что данную функцию в точках ее непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач с периодом Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач, совпадающую с функцией f(x) на отрезке Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач. Разложим функцию Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f(x), т.е. мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье на отрезке Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач.

Рассмотрим, далее, следующий важный случай. Пусть функция f(x) задана на отрезке [0,l]. Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке [-l,0] (сохраняя кусочно монотонность), мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы продолжим определение функции f(x) при Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач так: f(x) = Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач, то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам. (Функция f(x) “продолжена нечетным образом”).

Решение:

При разложении ряд Фурье по синусам функцию на интервале [0;2] продолжаем нечётным образом.

Доопределим функцию четным образом (симметрично относительно oy).

Найдем коэффициенты Фурье:

а0=

аn=0

bn=


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


Ответ : f(x)=Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задачПриложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Нарисовать график функции f(x) на отрезке [0;2].


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


Написать к чему сходится этот ряд Фурье в точках отрезка [0;2].

Теория: Определение. Функция f (x) называется удовлетворяющей условиям Дирикле на сегменте [a, b], если:

функция непрерывна на сегменте [a, b] или же имеет на нем конечное число точек разрыва 1 рода;

функция кусочно-монотонна на сегменте [a, b].

Теорема Дирикле: Пусть периодическая функция f (x) с периодом 2π удовлетворяет на любом сегменте условиям Дирикле. В таком случае ряд Фурье, соответствующий этой функции, сходится во всех точках числовой оси. При этом в каждой точке непрерывности функции f (x) сумма ряда S (x) равна значению функции в этой точке. В каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при x→x0 слева и справа, т.е.:


S(x) = 0,5[f(x0 + 0)+f(x0 - 0)]


Во всех точках непрерывности функции f(x) ряд сходится к значениям функции в этих точках, т.е. S(x)=f(x) на интервале [0,Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач; в точке x=0 (точка разрыва функции) ряд сходится к 0, т.к.


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


Ответ: S(0)=0

c) Нарисовать график суммы ряда на отрезке [-2;6] :

1) для четного


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


для нечетного

Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


Пользуясь равенством Парсеваля, найти сумму:

Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


Теория: Для функции f(x), такой, что f2(x)ОL(-p;p), справедливо равенство Парсеваля:


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


Решение: Период рассматриваемой функции равен p, поэтому поменяем пределы интегрирования с [0;2p] на [0;p], а коэффициент 2 вынесем, тогда:


Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач


Ответ: Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Размещено на

Похожие рефераты: