Xreferat.com » Рефераты по математике » Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами

Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами

Дисциплина: "Высшая математика"

Тема: "Решение матричных уравнений: Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами"

1. Базовые действия над матрицами


Определение 1. Две матрица называются равными, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Определение 2. Суммой двух матриц Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами (Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами) и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами (Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами) одинаковых порядков Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами называется матрица Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами (Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами) того же порядка, элементы которой равны Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

На письме это действие может быть записано так: Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Операция сложения обладает, очевидно, обычными свойствами: перестановочным Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами; сочетательным Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Определение 3. Произведением матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами на число Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами называется матрица Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, элементы которой равны Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Умножение матрицы на число может быть записано: Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами или Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Эта операция обладает следующими свойствами: сочетательным относительно числового множителя Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами; распределительным относительно суммы матриц Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами; распределительным относительно суммы чисел Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

После первых двух действий необходимо отметить, что вычитание матриц производится аналогично сложению, а деление матрицы на число может быть определено как умножение на обратное число.

Определение 4. Произведением матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами (Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами), имеющей порядок Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, на матрицу Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами (Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами), имеющую порядок Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, называется матрица Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами (Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами), имеющая порядок Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, элементы которой равны Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, где Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Записывается это действие так Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Из сказанного выше следует, что для нахождения элемента Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, в произведении Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами необходимо попарно перемножить все соответствующие элементы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами-ой строки матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами на элементы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами-го столбца матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, а затем все это сложить. Из определения также следует, что для умножения двух матриц необходимо, чтобы число столбцов матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами было равно числу строк матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Отсюда следует, что одновременно произведение Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами существует только лишь в том случае, когда число столбцов Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами равно числу строк Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, а число столбцов Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами равно числу строк Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. В этом случае Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами будут квадратными матрицами, но разных порядков. Чтобы оба произведения были одинакового порядка, необходимо, чтобы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами были квадратными матрицами одинакового порядка.

Произведение матриц Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами имеет свойства: сочетательное Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами; распределительное Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Перестановочным свойством в общем случае произведение матриц не обладает. Оно выполняется лишь в некоторых случаях.

Среди квадратных матриц необходимо выделить важный класс диагональных матриц.

Определение 5. Диагональной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны 0:


Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

В том случае, если Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, то для любой квадратной матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами порядка Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами справедливо Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Действительно, для Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами получаем Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Для Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами - Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Отсюда, Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Среди диагональных матриц с равными друг другу элементами особое место занимают две матрицы: единичная и нулевая. У единичной матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, обозначается она - Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, у нулевой Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, обозначается она - Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Как было показано Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Перемножив эти матрицы, можно убедиться, что Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами; Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Таким образом, матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами выполняют ту же роль, что и 1 и 0 среди чисел. Вообще нулевой называют любую матрицу, элементы которой равны нулю.


2. Обратная матрица


Кроме действий над матрицами как сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу есть также операция делении на матрицу. Она эквивалентна умножению на обратную матрицу. Рассмотрим, что же это такое.

Определение 1. Матрица Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, удовлетворяющая вместе с матрицей Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами равенствам Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, где Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами - единичная матрица, называется обратной к Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и обозначается Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Поскольку Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами обладают в произведении перестановочным свойством, то обе матрицы должны быть квадратными и одного порядка.

Прежде чем рассматривать вопрос о существовании обратной матрицы, введем некоторые понятия.

Определение 2. Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной. В противном случае она называется вырожденной.

Определение 3. Пусть дана квадратная матрица

Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.


Матрицей союзной или присоединенной к матрице Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами называется матрица


Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами,


где Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами алгебраические дополнения элементов Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами данной матрицы.

Необходимо обратить внимание на то, что в матрице Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами алгебраические дополнения к элементам Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами-ой строки расположены в Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами-ом столбце.

Теорема 1. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то есть Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Теорема 2. Матрица Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами имеет обратную Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами только в том случае, если она невырожденная.

Доказательство. Пусть для матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами существует обратная Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, тогда Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Отсюда следует, что


Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами,


иначе единицы справа быть не может.

Теорема 3. У каждой невырожденной матрицы существует единственная обратная Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Доказательство. Пусть Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами имеет две обратные матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Тогда


Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.


Теорема 4. У каждой невырожденной квадратной матрицы существует обратная, равная Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Докажем эту теорему, вычисляя Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Очевидно, что мы должны получить при этом матрицу Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, элементы которой находятся по формуле


Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.


В полученном выражении, если Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг.
										<div class=

Похожие рефераты: