Xreferat.com » Рефераты по математике » Формулы сложения вероятностей

Формулы сложения вероятностей

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Из пункта 2 аксиомы, по которой вводилось определение вероятности события, следует, что если A1 и A2 несовместные события, то

   P(Формулы сложения вероятностей) = P(A1) + P(A2)

Если A1 и A2 — совместные события, то Формулы сложения вероятностей=(A1 A2)Формулы сложения вероятностей, причем очевидно, что A1A2 и A2 — несовместные события. Отсюда следует:

   P(Формулы сложения вероятностей) = P(A1 A2) + P(A2)        (*)

Далее очевидно: A1=(A1 A2)Формулы сложения вероятностей, причем A1 A2 и Формулы сложения вероятностей– несовместные события, откуда следует: P(A1) = P(A1 A2) + P(Формулы сложения вероятностей) Найдем из этой формулы выражение  для P(A1 A2) и подставим его в правую часть формулы (*). В результате получим формулу сложения вероятностей:

   P(Формулы сложения вероятностей)= P(A1) + P(A2) – P(Формулы сложения вероятностей)

Из последней формулы легко получить формулу сложения вероятностей для несовместных событий, положив Формулы сложения вероятностей = Æ.

Пример 1. Найти вероятность вытащить туза или червовую масть при случайном отборе одной карты из колоды в 32 листа.

   Р( ТУЗ ) = 4/32 = 1/8; Р( ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ ) = 8/32 = 1/4;

   Р(ТУЗЧЕРВЕЙ )=1/32;

    Р(( ТУЗ ) Формулы сложения вероятностей (ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ ))  = 1/8 + 1/4 – 1/32 =11/32

Того же результата можно было достичь с помощью классического определения вероятности, пересчитав число благоприятных исходов.

Условные вероятности.

Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене вытащил билет с номером, не превышающим 20. Какова вероятность, что студент вытащил выученный билет?

Определим пространство элементарных исходов: W=(1,2,3,...,28,29,30). Пусть событие А заключается в том, что студент вытащил выученный билет: А=(1,...,5,25,...,30,), а событие В — в том, что студент вытащил билет из первых двадцати: В=(1,2,3,...,20)

Событие Формулы сложения вероятностей состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность равна 5/30. Это число можно представить как произведение  дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 – это вероятность события B. Число 5/20 можно рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В произошло (обозначим её Р(А/В)). Таким образом, решение задачи определяется формулой

   Р(А/В) = P(АÇВ) /Р(B)           (1)

Р(А/В) называется условной вероятностью события A при условии, что событие В произошло. Формулу (1) можно рассматривать, как определение условной вероятности. Эту же формулу можно переписать в виде

   P(АÇВ)=Р(А/В)Р(B)   (2)

Формула (2) называется формулой умножения вероятностей (теоремой умножения вероятностей), а условная вероятность Р(А/В) здесь должна восприниматься просто по смыслу.

Пример 2. Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шаров, наудачу один за другим извлекают (без возвращения) два шара. Какова вероятность того, что первый шар будет белым, а второй черным?

Пусть X – событие, состоящее в извлечении первым белого шара, а Y — событие, состоящее в извлечении вторым черного шара. Тогда Формулы сложения вероятностей –  событие, заключающееся в том, что первый шар будет белым, а второй — черным. P(Y/X) =3/9 =1/3 — условная вероятность извлечения вторым черного шара, если первым был извлечен белый. Учитывая, что P(X) = 7/10, по формуле умножения вероятностей получаем: P(Формулы сложения вероятностей) = 7/30

Событие А называется независимым от события В (иначе: события А и В называются независимыми), если Р(А/В)=Р(А). За определение независимых событий можно принять следствие последней формулы и формулы умножения

   P(АÇВ)= Р(А) Р(B)

Докажите самостоятельно, что если А и В — независимые события, то Формулы сложения вероятностей и Формулы сложения вероятностей тоже являются независимыми событиями.

Пример 3. Найти вероятность того, что при трёх бросках игральной кости три раза выпадет шестёрка. Очевидно, что при каждом броске результат не зависит от результатов предыдущих бросков, и искомая вероятность равна (1/6)3=1/216.

Определим в условиях этой задачи вероятность того, что при трёх бросках в сумме выпало 4 очка. Выпишем благоприятные исходы: “1,1,2”, “1,2,1”, “2,1,1”. Вероятность каждого из этих исходов равна 1/216. Так как все эти исходы несовместимы, интересующая нас вероятность будет равна 3/216=1/72.

Пример 4. Из колоды карт в 32 листа извлекается одна карта. Пусть А – событие, состоящее в том, что извлечённая карта – дама. Событие В состоит в том, что извлечённая карта пиковой масти. Очевидно, что Р(А)=4/32=1/8. Вычислим величину вероятность того, что извлечённая карта –дама при условии, что эта карта пиковой масти, то есть Р(А/В). Очевидно, что Р(АÇВ)=1/32, и Р(В)=8/32. Тогда Р(А/В)=Р(АÇВ)/ Р(В)=1/8, то есть Р(А)=Р(А/В). Отсюда следует, что события А и В независимы.

Пусть событие С заключается в том, что извлечённая карта не туз. Покажем, что события А и С зависимы. Очевидно, что Р(АÇС)=Р(А)=1/8. Р(С)=28/32=7/8. Отсюда получаем Р(А/С)=1/7, и это не равно величине Р(А), следовательно, события А и С зависимы.

Пример 5. Рассмотрим задачу, аналогичную задаче из примера 2, но с одним дополнительным условием: вытащив первый шар, запоминаем его цвет и возвращаем шар в урну, после чего все шары перемешиваем. В данном случае результат второго извлечения никак не зависит от того, какой шар – черный или белый появился при первом извлечении. Вероятность появления первым белого шара (событие А) равна 7/10. Вероятность события В – появления вторым черного шара – равна 3/10. Теперь формула умножения вероятностей дает: P(АÇВ)=21/100.

Извлечение шаров способом, описанным в этом примере, называется выборкой с возвращением или возвратной выборкой.

Следует отметить, что если в двух последних примерах положить изначальные количества белых и черных шаров равными соответственно 7000 и 3000, то результаты расчетов тех же вероятностей будут отличаться пренебрежимо мало для возвратной и безвозвратной выборок.Формулы сложения вероятностей

Рассмотрим некоторые задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.

1. Три стрелка стреляют в мишень. Каждый попадает в мишень или не попадает в мишень независимо от результатов выстрелов остальных стрелков. Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,8, а третий – с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена?

Вопрос можно поставить иначе: какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадёт в мишень? Очевидно, что мишень будет поражена, если все трое попадут в мишень, если в мишень попадут любые двое стрелков, а третий не попадёт и т. д. Пусть событие А состоит в том, что хотя бы один из стрелков попал в мишень. Тогда противоположное событие Формулы сложения вероятностей заключается в том, что все трое не попали в мишень. Если первый не попадает в мишень с вероятностью 0,1, второй – с вероятностью 0,2, а третий – с вероятностью 0,3, то по теореме умножения вероятностей Р(Формулы сложения вероятностей)=0,1×0,2×0,3=0,006. Тогда Р(А)=1–Р(Формулы сложения вероятностей)=0,994.

2. При включении двигатель начинает работать с вероятностью р. а) Найти вероятность того, что двигатель начнёт работать с второго включения. б) Найти вероятность того, что для запуска двигателя потребуется не более двух включений.

а) Для того, чтобы двигатель начал работать со второго включения, нужно, во-первых, чтобы он не запустился при первом включении (событие А). Это происходит с вероятностью 1–р. При втором включении двигатель запустится (событие В) с вероятностью р. Нас интересует вероятность события АÇВ. Из условия задачи можно понять, что события А и В независимы. Отсюда P(АÇВ)=р(1–р).

б) Нас интересует вероятность события, состоящего в том, что двигатель запустится при первом включении или при втором включении. Противоположное событие заключается в том, что двигатель не запустится ни при первом, н при втором включении. Вероятность этого противоположного события равна (1–р)2. Отсюда вероятность интересующего нас события равна 1–(1–р)2.

3. В семье Ивановых 4 ребёнка. Известно, что один из детей – мальчик. Найти вероятность того, что все дети –мальчики. Принять вероятность рождения мальчика и вероятность рождения девочки равными 1/2 и не зависящими от того, какого пола дети уже имеются в семье.

Пусть событие В состоит в том, что все дети в семье – мальчики, событие А состоит в том, что в семье есть хотя бы один мальчик (именно так мы должны понимать условие задачи). Нас интересует величина Р(В/А). Для того, чтобы воспользоваться формулой условной вероятности, надо, во-первых, вычислить P(АÇВ). В нашем случае событие А является следствием события В, поэтому P(АÇВ)=Р(В) (смотри объяснение к теме 2). По условию задачи Р(В)=(1/2)4=1/16. Чтобы вычислить Р(А), заметим, что событие Формулы сложения вероятностей состоит в том, что все дети в семье –девочки. Очевидно, что Р(Формулы сложения вероятностей)=(1/2)4=1/16. Тогда Р(А)=1–Р(Формулы сложения вероятностей)=15/16. Теперь можно воспользоваться формулой для определения условной вероятности Р(В/А) = P(АÇВ)/Р(А). В результате получается Р(В/А)=(1/16)/( 15/16)=1/15.

Если бы в условии этой задачи был поставлен вопрос “чему равна вероятность того, что все дети мальчики, при условии, что второй ребёнок – мальчик?”, то ответ был бы 1/8.

4. В урне 7 белых и три чёрных шара. Без возвращения извлекаются 3 шара. Известно, что среди них есть чёрный шар. Найти вероятность того, что другие два шара белые.

Пусть событие А состоит в том, что в выборке есть два белых шара, событие В – в том, что в выборке есть чёрный шар. Всего в условии задачи существует Формулы сложения вероятностей возможных исходов. Отсюда Р(АÇВ)=Формулы сложения вероятностей. Чтобы вычислить вероятность Р(В), заметим, что Формулы сложения вероятностей состоит в том, что все извлечённые шары белые, и Р(Формулы сложения вероятностей)=Формулы сложения вероятностей. Искомая вероятность равна (Формулы сложения вероятностей)/(1–Формулы сложения вероятностей)=63/85.

5. Найти вероятность того, что при бросании трёх игральных костей хотя бы на одной выпадет 6 очков при условии, что на всех костях выпали грани с чётным числом очков.

Пусть событие А состоит в том, что хотя бы на одной кости выпало 6 очков, а событие В–в том, что на всех костях выпало чётное число очков. Вычислим вероятность события АÇВ. Общее число исходов, очевидно равно 63=216. Одним из благоприятных исходов является выпадение 6-ти очков на всех трёх костях. Имеется 6 исходов, состоящих в выпадении шестёрок на двух костях и выпадении чётного числа очков, но не шестёрки на третьей кости. Можно насчитать 12 исходов, когда на одной кости выпадает шестёрка, а на двух других–чётные числа очков, но не шестёрки. Таким образом, событию АÇВ благоприятствуют 19 исходов, откуда Р(АÇВ)=19/216. Очевидно, что Р(В)=(1/2)3=1/8. Искомая вероятность равна (19/216)/(1/8)=19/27.

6. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачёт сдан, если студент ответит не менее чем на 3 из 4-х вопросов в билете. Взглянув на первый вопрос, студент обнаружил, что знает его. Какова вероятность, что студент сдаст зачёт?

Пусть А – событие, заключающееся в том, что студент сдал экзамен;

В – событие, заключающееся в том, что студент знает первый вопрос в билете.

Очевидно, что Р(В) =20/25=4/5. Теперь необходимо определить вероятность Р(АÇВ). Из 25-ти вопросов всего можно составить Формулы сложения вероятностей различных билетов, содержащих 4 вопроса. Все билеты, выбор которых удовлетворял бы и событию А и событию В, должны быть составлены следующим образом: либо студент знает все вопросы билета (можно составить всего Формулы сложения вероятностей таких билетов), либо студент знает первый, второй и третий вопросы, но не знает четвёртого (можно составить всего 5Формулы сложения вероятностей таких билетов), либо студент знает первый, второй и четвёртый вопросы, но не знает третьего (тоже 5Формулы сложения вероятностей билетов), либо студент знает первый, третий и четвёртый вопросы, но не знает второго (тоже 5Формулы сложения вероятностей билетов). Отсюда получаем, что

   Р(АÇВ) = Формулы сложения вероятностей

Осталось только найти искомую вероятность р(А/В):

   Р(А/В) = Формулы сложения вероятностей

Задачи для самостоятельного решения.

1) Доказать формулу

   Р(АÈВÈС)=Р(А)+ Р(В)+Р(С)–Р(АÇВ)–Р(АÇС)–Р(ВÇС)+Р(АÇВÇС)

2) Вероятность попасть в самолёт равна 0,4, вероятность его сбить равна 0,1. Найти вероятность того, что при попадании в самолёт он будет сбит.

3) Из урны, содержащей 6 белых и 4 чёрных шара, наудачу извлекают по одному шару до появления чёрного шара. Найти вероятность того, что придётся производить четвёртое извлечение, если выборка производится а)с возвращением; б) без возвращения.

4) а) В условиях задачи 1 найти вероятность того, что в мишень попали двое стрелков. б) В условиях задачи 1 найти вероятность того, что в мишень попали не менее двух стрелков.

5) По самолёту производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем–0,8. При одном попадании самолёт будет сбит с вероятностью 0,3, при двух–с вероятностью 0,6, при трёх самолёт будет сбит наверняка. Какова вероятность того, что самолёт будет сбит?

6) В условиях задачи 4 найти вероятность того, что на всех костях выпала шестёрка, если известно, что а) по крайней мере, на двух костях выпало одинаковое число очков; б) на всех костях выпало одинаковое число очков.

7) Бросаются три игральных кости. Какова вероятность того, что на одной из них выпадет единица, если на всех трёх костях выпали разные грани?

8) Вероятность того, что случайным образом выбранный из студенческой группы студент знает английский язык, равна 5/6. Вероятность того, что студент знает французский язык, равна 7/12. Вероятность того, что студент знает и английский и французский языки, равна 1/2. а) Найти вероятность того, что студент не знает французского языка при условии, что он не знает английского. б) Найти вероятность того, что студент знает французский язык при условии, что он знает английский.

9) Известно, что при бросании десяти игральных

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Похожие рефераты: